高三数形结合

高三数学数形结合专题要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．2．若方程x＋k＝eq\r(1－x2)有且只有一个解，则k的取值范围是()A．[－1,1)B．k＝±eq\r(2)C．[－1,1] D．k＝eq\r(2)或k∈[－1,1)3．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为()A．5B．6C．8 D．104.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是________.5．若偶函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，则方程f(x)＝sin|x|在[－10，10]内的根的个数为________．6.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－x2，x≥0，,\f(3,x)，x＜0，))若函数g(x)＝|f(x)|－3x＋n有三个零点，求实数n的取值范围．7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋3x2＋t，x＜0，,x，x≥0，))t∈R.若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．8.已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A．B．C．D．9.函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是（）A.B.C.D.要点二利用数形结合思想解决最值问题1．若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2y－1≥0，,x－1≤0，))则z＝x2＋2x＋y2的最小值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(3,4)2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．3、求y=的最大值,其中x∈（0,π）。4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为（）A．3 B．2 C． D．25．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，求四边形ABCD面积的最大值．6．设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝eq\r(3)，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为()A．3B．4C．eq\f(17,5)D．eq\f(19,5)7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．8.如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线Q．求的最大值．要点三利用数形结合思想解决不等式、参数问题1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2.设,,若对任意恒成立,求实数a的取值范围.高三数学数形结合专题要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．[解析]作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.[答案](3，＋∞)2．(2018·宝鸡质检)若方程x＋k＝eq\r(1－x2)有且只有一个解，则k的取值范围是()A．[－1,1)B．k＝±eq\r(2)C．[－1,1] D．k＝eq\r(2)或k∈[－1,1)[解析]令y1＝x＋k，y2＝eq\r(1－x2)，则x2＋y2＝1(y≥0)．作出图象如图：而y1＝x＋k中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k＝eq\r(2)或－1≤k<1，故选D．[答案]D3．记实数x1，x2，…，xn中最小数为min{x1，x2，…，xn}，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值为()A．5B．6C．8 D．10[解析]在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图：由图可知，在实数集R上，min{x2＋1，x＋3,13－x}为y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y＝13－x点C下方的部分的组合图．显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3,13－x}取得最大值．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋3，,y＝13－x))得点C(5,8)．所以f(x)max＝8.[答案]C4.设函数，若无最大值，则实数的取值范围是________.【解析】：如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，，，由，知是函数的极大值点，①当时，，因此的最大值是；②由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，∴所求的范围是，故填：．5．若偶函数y＝f(x)，x∈R，满足f(x＋2)＝－f(x)，且x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，则方程f(x)＝sin|x|在[－10，10]内的根的个数为________．答案：10.解析：偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，故函数f(x)的周期为4.当x∈[0，2]时，f(x)＝2－x2，故当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x2.则方程f(x)＝sin|x|的根的个数等于函数y＝f(x)的图象与函数y＝sin|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y＝f(x)与函数y＝sin|x|在[0，10]上的图象，可知有5个交点，故函数y＝f(x)的图象与函数y＝sin|x|的图象在[－10，10]上有10个交点．6.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－x2，x≥0，,\f(3,x)，x＜0，))若函数g(x)＝|f(x)|－3x＋n有三个零点，求实数n的取值范围．解析：令g(x)＝0，即|f(x)|＝3x－n，设函数y＝|f(x)|，y＝3x－n，分别作出两个函数的图象，问题转化为所作的两个函数有三个不同的交点，求n的取值范围问题．当x≥0时，直线y＝3x－n过原点，即n＝0时，两曲线恰有三个交点，当直线y＝3x－n(n＜0)与y＝4x－x2相切时，两条曲线有2个交点，即方程x2－x－n＝0的判别式Δ＝1＋4n＝0，即n＝－eq\f(1,4)，所以当－eq\f(1,4)＜n≤0时，g(x)＝0有三个零点．当x＜0时，直线y＝3x－n(n＜0)与y＝－eq\f(3,x)相切时，两曲线有2个交点，当直线y＝3x－n与y＝－eq\f(3,x)相交时，两曲线有3个交点，即方程3x2－nx＋3＝0的判别式Δ＝n2－36＞0，解得n＜－6，当n＜－6时，g(x)＝0有三个零点．综上所述，当n∈(－∞，－6)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))时，g(x)＝0有三个零点．7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋3x2＋t，x＜0，,x，x≥0，))t∈R.若函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．解析：当x＜0时，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＜0，所以f(x)在x＜0时单调递减，如图，作出函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x3＋3x2＋t，x＜0，,x，x≥0))的图象，设f(x)－1＝m，则f(x)＝1＋m①，f(m)＝0②.若t≥0，则函数g(x)＝f(f(x)－1)恰有1个或2个不同的零点，不合题意，所以t＜0.由②得，m＝0或m＝m1＜0，当m＝0时，由①得，f(x)＝1，此时f(x)＝1有2个不同的根；当m＝m1＜0时，由①得，f(x)＝1＋m1，此时f(x)＝1＋m1也必须有2个不同的根，所以1＋m1≥0，所以－1≤m1＜0，又－m13＋3m12＋t＝0，所以t＝m13－3m12，且t＝m13－3m12在－1≤m1＜0时单调增，所以t的取值范围为[－4，0)．8.已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A．B．C．D．【答案】C

9.函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,∴,∴或,∴由图像可知：的取值范围是.要点二利用数形结合思想解决最值问题1．若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2y－1≥0，,x－1≤0，))则z＝x2＋2x＋y2的最小值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(3,4)[解析]画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为eq\f(1,2)，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝eq\f(1,4)－1＝－eq\f(3,4)，选D．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋\f(4×3,2)d≥10，,5a1＋\f(5×4,2)d≤15，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋3d≥5，,a1＋2d≤3.))又a4＝a1＋3d，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图阴影部分所示．作出直线a1＋3d＝0，经平移可知当直线a4＝a1＋3d过可行域内点A(1,1)时，纵截距最大，此时a4取最大值4.[答案]43、求y=的最大值,其中x∈（0,π）。分析：由k=可知表示两点（sinx,cosx）和（0，2）的斜率，数形结可知y=-.4.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为（）A．3 B．2 C． D．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，根据等面积公式可得圆的半径即圆的方程是，若满足即设即点在圆上，所以圆心到直线的距离即解得所以的最大值为3.5．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，求四边形ABCD面积的最大值．[解]把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化为标准方程：(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心(1，－1)，半径r＝eq\r(3).直线l与圆M相交，圆心到直线l的距离d＝eq\f(|1×1－1×－1－1|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，所以弦长|AC|＝2×eq\r(\r(3)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\r(10).又B，D两点在圆上，且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S＝eq\f(1,2)|AC|×|BE|＋eq\f(1,2)|AC|×|DE|＝eq\f(1,2)|AC|×|BD|＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×2eq\r(3)＝eq\r(30).6．设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝eq\r(3)，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为()A．3B．4C．eq\f(17,5)D．eq\f(19,5)[解析]设AB的中点为D，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PD,\s\up6(→)).∴当且仅当O，D，P三点共线时，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|取得最小值，此时OP⊥AB，且OP⊥l.∵圆心到直线的距离为eq\f(12,\r(9＋16))＝eq\f(12,5)，|OD|＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)－\f(1,2)))＝eq\f(19,5).[答案]D7．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．[解析]因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|