圆锥曲线中的斜率问题-平移齐次化解析版

例题讲解圆锥曲线中的斜率问题—平移齐次化例题讲解已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点【详解】【平移+齐次化处理】步骤1.：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理将椭圆向下平移一个单位，（为了将平移到原点）椭圆方程化为，（左加右减，上减下加为曲线平移）设直线对应的直线为，椭圆方程化简为，为了把一次项化成二次结构，将乘上即可此时椭圆方程变成：步骤2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为－1，而点此时为原点，设平移后的，即,将椭圆方程两边同除以，令，得，结合两直线斜率之和为，即，得，步骤3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!知识点讲解直线恒过点，向上平移一个单位进行还原。在原坐标系中，直线过点．知识点讲解1．齐次化原理：情况1：当定点P在坐标原点时，若直线与二次曲线相交于，，如图所示，设点、的坐标分别为、，则，．现将二次曲线方程齐次化的方法如下：首先将直线化出“”：将直线化为截距式；其次利用“”构建关于、的齐次方程，操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以“”，常数项同乘以“”的平方，则可把二次曲线方程变为：最后我们对该齐次式两边同时除以可得：，因为，是直线与二次曲线的交点，所以点，点满足方程，因此，是方程的两个根，由韦达定理可得（）．情况2：当定点P不在坐标原点时，直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点．(因为三条直线形似手电筒，就叫手电筒模型)．处理问题的步骤：步骤1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程（左加右减，上减下加为曲线平移），设出直线方程，并齐次化处理，步骤2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，步骤3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!2．齐次化适用范围：由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，常见类型如：，，，，，，前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：，，．高考真题这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的．高考真题1.（2023年新课标Ⅱ卷第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）［方法一］：通性通法：由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.［方法二］：非对称韦达定理：由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

所以，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：由可得，即，据此可得点在定直线上运动.［方法三］：【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O点平移至点处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．由韦达定理得设，直线方程过点，所以．则。由于,则．设直线，联立方程得，可得，据此可得点在定直线上运动.2.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；［方法一］：通性通法：因为点在双曲线上,所以,解得,所以双曲线C的方程为,设,易知直线l的斜率存在,设,由得,,所以,,．由得,即,即,所以,化简得,,即,所以或,当时,直线过点,与题意不符,舍去,故．［方法三］：平移坐标系双曲线方程为，设，∵AP,AQ的斜率之和为0，∴，故将双曲线方程为变形为：，且设直线，由式有：,（两边同除以），即，而是此方程的两根.类型题讲解∴，故直线斜率为−1.类型题讲解类型一：定点在坐标原点的斜率问题【例1】已知过定点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，若，求该直线方程．［方法一］：齐次化处理：设，，步骤1：构建关于、的齐次式：将直线变形为代入进行“”的代换得，整理得；步骤2：构建关于斜率的方程：因为，方程两边同除以，得；步骤3：利用韦达定理转化目标：易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，故所求直线方程为．［方法二］通性通法：设，，联立，=1\*GB3①代入=2\*GB3②消去得，设，，则，，所以，解得，故所求直线方程为．变式训练1：已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线是否过定点。若过定点，求出定点坐标。【证明】因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即．设，，则，．将直线变形得，记，，则直线可化为，将“”代入抛物线的方程得，整理得，因为，方程两边同除以，得，易知和是方程的两个根，由韦达定理得，即，代入求直线方程得，即，当时，，故直线恒定过点．类型二：定点不在坐标原点的斜率问题（平移坐标系）【例2】已知椭圆过点，离心率为．（I）求椭圆的标准方程；（II），是椭圆上的两个动点，（1）如果直线的斜率与的斜率之和为，证明直线恒过定点；（2）如果直线的斜率与的斜率之积为，证明直线恒过定点．（I）椭圆的标准方程为，过程略；（II）［方法一］：平移坐标系平移坐标系，使得坐标原点和点重合，则，得新坐标系中，在新坐标系中，椭圆方程为，化简得=1\*GB3①，直线平移后变为，其方程不妨设为，代入=1\*GB3①构建齐次式得，整理得，两边同除以得=2\*GB3②，易知和是方程=2\*GB3②的两个根，由韦达定理得，化简得，代入直线得，整理得，直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点．(2)，即，直线的方程为，直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点．［方法二］：平移直线与平移椭圆设直线的方程为，即，变形得，将椭圆变形为展开整理得，将直线进行“”的代换得，去分母化简得，等式同除以得，因此是方程的实数根，设，，则和是方程的两个实数根，=1\*GB3①由韦达定理得：，即，即，代入直线的方程得，所以直线恒定过定点．=2\*GB3②由韦达定理得，所以，代入直线的方程为，所以直线恒定过定点．［方法三］：通性通法：设，，直线的方程为，联立得，由韦达定理得，．由题意知，，即，去分母得，整理得，代入韦达定理得，去分母整理得，即，即，即，故，或．当时，直线恒过定点；当时，直线的方程为恒过定点与点重合，不符合题意，舍去．综上：直线恒过定点．变式训练2：若，为抛物线：上两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点．【证明】因为以为直径的圆过点，所以，即．设，，则，．令，代入抛物线方程得：，整理得：，不妨设直线的方程为：，将其代入式得：，化简得：，因为，方程两边同除以，得=1\*GB3①，易知和是方程=1\*GB3①的两个根，由韦达定理得，即，代入求直线方程得，所以直线过和的交点，即，利用变换将其平移回原坐标系得，故直线恒定过点．变式训练3：已知椭圆C：的右焦点坐标为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．［方法一］：通性通法（1）由题意可得：解得：，故椭圆方程为：.（2）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，

所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在