初中中考数学模型详解汇总

初中数学几何模型

几何是初中数学中非常重要的内容,一般会在压轴题中进行考察,而掌握几何模型能够为测试节省不少时间，小

编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦

1、全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共

顶点旋转对称全等模型

角分线模型

过加假设战基点作

■,挂角南边作玄姓

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等.两边进行边或

者角的等量代换,产生联系.垂直也可以做为轴进行对称全等.

对称半角模型

说明：上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角三角形的对称（翻折），翻折成

正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等.

2、旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全

等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二

分之一的角拼接在一起,成对称全等.

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点,造旋转全等

遇中点旋180度，造中央对称

B

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容.通过，8，，字模型可

以证实.

3、模型变形

B

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形

与正方形的混用.

当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公

共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等.

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶

点连线的中点，证实另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形.证实方法是倍长所要

证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证实的等腰直角三角形和的等腰直角三角形（或者

正方形）公旋转顶点，通过证实旋转全等三角形证实倍长后的大三角形为等腰直角三角形从

而得证.

4、几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

*”x'艮*

出网

■1A"IW

同删.异恻两线段之和最矩模型同侧.异网两线段之差最小模型

轴对称模型

三线段之和过拼模型四边形周长苣角的周长最小模型

对称最值（点到直线垂线段最短）

i差为曷小花.

5、剪拼模型

三角形今四边形

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状.

矩形今正方形

形今正方形

E

7、旋转相似模型

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似.推

广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似.第三边所成夹角符合旋转8〃字的规

律.

8、相似模型

说明：注意边和角的对应,相等线段或者相等比值在证实相似中起到通过等量代换来构造相

似三角形的作用.

C

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多.

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变,注意之间的相同与不同之处.另外，相似、射影定

理、相交弦定理（可以推广到圆塞定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比

值、等乘积进行代换,进行证实得到需要的结论.

说明：相似证实中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平

行线.

A模型一：手拉手模型-旋智型全等

A至广均为繇边三用形

A品论；GMOlCfaAOJZ）（@LAEB-60"③0E钞ZJm中

<3）等腰仃4

>条件：自&以均为等腰直第三角形

A芸论士①“Mr•“加八②&£B,9%

a③QE平分ZJ.儿

?3）仟筮Hit三由形

»Sfr=均为邻一形

尸拮论二（DA5C,-0JiD；②乙旭日-JLAOB.

A③f小平方乙4£,L

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

⑴况

>条件,CD%"九将A.［表旋转至右图位置

A结论：

?右图中①△OCTMA04占QV)4？AOBD.a②延长TC交

6D于点E,必有乙BEC-LBOA

⑵特殊情况

>条件：S",乙，，朋♦取〕'将A"CQ旋转至右图位置

a结论右图申①△OCDsAQ，f8cA°r!C408D；②延长加交劭

于点已必有&EC-CHOA.

丝°P°htanZ<X7)

"o/Tu}

©ii装皿BC,痛心十％、而十c%⑥e里大△仙,

?两角学上互相垂直的四边

形〕

4模型三：对角互补模型

⑴全等型

辘二①乙40"-LIKE-90.j②OC平分LAOB结

论：①CD=CE②"〉+.卜:~0.*@

SW1£*SF♦SMKL-O(J

泅嬲示：

◎乍垂直,如鼠证实A""八A?E.Vj

②过点C作C/r,OQ如上图〔右〕，证实AOZ>r-MECjA

当乙DC?的一边交/.的延长线于点D时：

以上三个结论：［DCD=C£C不变〕$

②。£.OD•&Og③

11谴论刷方法项I一种If况一致,可自彳点也

(2)±W-120°

?轴：①s。"-2ZOC%-120°,

>②0C平分乙4003

?结论；①('力-C%j②0+

S(mCF=♦sV7CF

fl(AlAITrMnz.

证僻示：①可参考“全等型-90.〃证法一j

为等解蜂在.6上取一点F,使.尸=0C,证实八.1产

⑶全等型丑意角”

a①乙/”用■2a工IX0-2a503-CE.

a结论:①.L平分LAOH,OCD+0E.20（,«,

A③％cis+S40nt=OC'•siW8sa

A当"ME的一边交X.的延长线千点.时（如右上图）；

原结论变成,①3

②“

@J

可爹者上述第②种万法西亍证实.语思考初始条件微化对模型的蹦.

＞对角互书隈型总结：

①常见初始条件：四边形对角互扑；注意网点：四点共图及直角三由形斜边中线;

②初始条件'，角平分线"与“两边相等”的区别；

⑸两种常见初图睫号作法3

④注意“平分乙K阳时,-LCED-LCOA,2CO相等如何推导？

A模型四，角含半角模型90.

（D角含半角模型90°T

a条件：①正方形.j②LEAF-45°,

»第论：①/②ACE"的周长为正方形.486周长的一半;

也可以这样：

＞条件；①正方形,②EF=DF+HE

a结论：LEAF-^6

（2）角含半鱼模型90°，

a条件：①正方形ABCD.©LEAF-450*

a恰论；EF-DF-HE

a崛族如下融标：

\'

W角含半角触90。-3

条件二①RZBC若乙"1£•451结论:EE，+CE-底“'左

=DE

KD£,RD)E<

假设旋转到AJ8c外部时,结论MCE=巫明然成立.

＜4＞角含半角艇1%"变形

试映：连靴JC(方法不唯

一〕

7勿"：4"•45”•小〃-4：

VNJ"1•NJ(E75,,5"s\l(E

＞条件：①正方形"8微②2日尸-45。.a结论,A”比为等蜉亘角三龟形。

4A模型五二倍长中线类模型

而跳申

A条件二①矩形，出CZ）;②”.，厅自③.厂•优

A话论：ZCF

模型拄取,①有平行线TQ/"②平行线I或戋段有中点.尸,£尸;

砌屣"8"字第•A"£*.

（2）倍长中线类段型-2

＞条件：.¥行四边形AaCD;②HC,;③AM-DM.©CELAD.

a结论：乙EMD•3乙MEA

■,财愎：/个什他.布中点d”,nw也：

④民EV/.构48小他连林C.V杓，sr

6C8

遑号膜,W,AA/T尸

通过构通8只£尊髓及牝我庾air关用..1的火

小*化

“模型六：相似三角形360.旋转模型

(1)才出队三角形?等腰直角?36片旋转模型•售长中线法”也白：MHZFMAG.(tFG-PF.造

，灰；.W>U*!XJJJX；

A条件，①人""：、一’均为等腰直

角三角形3②EF-CF4域4方

＞结论，①/T=BF.②DF1BF

〈*A:u<nmi?.亚匕

(Dt版三角形(等腹直角)360^蓝桂模型一陛过

壬条件：①A,〃比、M仅'均为等原直箱三角形，②，(修

A结论:①”•g②OrBp

Ml助翅：峋遗可糅立用zVIEG.A.I〃C

横劝代，.明潞：拼/V与/"「朴生到4(；玲1-71

(2)任郡葩直角三鲁膨360,旋转模型T侄法

“财”：坦长物时点(?•便.2♦切•世长

4科：①MMBs/WVK'J②乙.48-ZO/)C-90°;471打点〃优INI=。.彳仝MM；A.

③HE-CE、

(KH均谨至"很曼.HftJED£«CG

>鳍论：®AE=/比；②LAED-2Z,480

ABH.电总&"ftWJED

(3＞任意I眼直角三角的360.旋转模星圄3

“劝阳；总长庞£M•傀I成•/＞:.科M

＞条件：①ACM3sA(")(j^)L0AB・£(")(■90.•(§)检的马外瓶件杯化勾：/叫，配

REP.

勺收住.哥XIML'AAItCtA惜”化为温明

)绪论：①/次；②"ED02LABO

4侵ffl沔过根比K依向带

It金单向A计口U7,m/»7,4Or)

楂助提二舟作p长十”C时体&.♦•Hit

F\）'PQ.itAlt4,J/zTlai

.1便，也生物7（*-上*为）

依线段以短A条件：①仅'平分乙丑加§②M为〔加上一定点J③P为C上一动

点：④Q为，融上一动点3A求；MP♦尸.最小时，月•的位矍？

(3)CA1MA2)

希/0,4).*-20).F[0.")

PS-¥—PA

问政：酎为何值时，5最小

求解方法：①X轴上取C（2,0）‘使'""""T,②过H作交F轴于点”即为所求3

tanLE/iO=ianCOAC

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＜〕」〕.

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口A模型九二相似三角形摸型

(0髻型脚三角形模型制交型

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以上“池均可以遇之加做三mW11行也那么

中点模型

【模型11倍长

1、倍长中线;2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形ABCD和正三角形比尸中,/ABC=60°G是DF的中点，连接GC、GE.

〔1〕如图1,当点E在外边上时,假设AB=10,BF=4,求犯的长;

〔2〕如图2,当点F在AB的延长线上时，线段犯、有怎样的数量和位置关系,写出你的

猜测；并给予证实；

〔3〕如图3,当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜测,并给予证实

二角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形

【例】如图，平行四边形ABCD中平分/BAD交/边于E,EF土AE交缈边于6交AD边于H,延长BA到

点G,使AG=CF,连接GF.假设BC=7,DF=3,EH=3AE,贝U6尸的长

为______,

三手拉手模型

【例】如图,正方形48刃的边长为6.点。是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE,

过点C作CF±BE,垂足为F,连接OF,那么OF的长为______.

四邻边相等的对角互补模型

工侬口

【条件】如图，四边形幺片5中,达公以口，£BAD-ABCI>=ZABC-ZADC=广’

E结论】平公ZBCD

JC«工u

EFUC

【睡2】

1条件】如图,四边形/BCD中，

AB=ADZBAD-ZBCD-<J0"

【结论】&ZACB=ZACD-4

3&BC±CD-二⑵C

E

.一『■*71

CF

【例】如图，矩形ABCD中.

DF为.AB=6,AD=5、G为面中点,DE=DG,FG±BE于F,那么

D7C

【例】如图,正方形加的边长为“延长CS至点、/梗团&连接月〃过点3作BN_AM,垂足为.

是对角线/43D的交点,连接口V,那么CW的长为-

【例1】如图,正方形的面积为&4,4是等边三角形，尸是小的中点,£取3F交于点G,那么0G的

长为.

五半角模型

【睡1】【条件】如图,四边形且BCD牛，且母虫口，加。-ZBCD=ZABC-ZADC=1.80;

14

/及停=耳々且以点碓直线巴ch点声在直线小

1结论】BE.DF、的茜足戴长补短关系./\

【睡2】

【条件】在正方形中』昂尸分别是边君GC□上的点』且满足上助白451的

总产分别与对角线3口交于点』MA：

【结论】

in版包』与(2)Su斯耳”所耳u中⑶/曰=且&抖)C*包产24号

⑸用快㈤NJfk/

(6)AAVVSADAFSAHE-UoAAEAo2k"Z4slla4跖

刃0：假设可得至叼'双弦和&1XF的相似比为拒)*

(7)zdi'.uxTEj(8)AZ妫?"MIA8AJ3E5

(9)AA区廿为等腰直角三角形,入4昨45、AA司W为等腰直角三角形，乙4巴£45*

(1.4A里45.m2/晶区*1：近3

(1.乂、,区只D四点共圆.4夙2N四点共图,AAMF、6瓦五点共圆一

【眦二翘】

【条件】在正方形月3四中，民『分别是边困DC延长线

上的点.，且满足/取

［结论］BE+EF=DF

【第2辿】

【条件】在正方形月近8中,三知见F分别是边CB.

■长卷上的点.•旦满足/加丹4手