处于平衡状态中的极值问题和临界问题

处于平衡状态中的极值问题和临界问题预备知识：1、极值问题：平衡物体的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。解决临界问题的方法：是解析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据临界条件求极值。另外图解法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平等四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。2、临界问题：由某种物理现象变化灰另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，往往利用"恰好出现”或"恰好不出现"的语句来表述。解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后再根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。例1（两物体刚好发生相对滑动模型）（单选）如图所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧，紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度。已知滑块与板的动摩擦因数及最大静摩擦因数均为笠，现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为。，3最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F随夹角最后直到竖直，此过程中弹簧的弹力大小F随夹角。的变化关系可能是图中的哪一个？分析：这是临界问题一两物体刚好发生相对滑动的模型。由关键词"缓慢”，可知滑块处于动态平衡。在板的右端缓慢抬起的过程中，可知在夹角。较小时，滑块与板相对静止;夹角。较大时，滑块相对板滑动。进而分析可知，板与水平面的夹角存在一临界值a，此时滑块所受的摩擦力恰为最大静摩擦力。易知，板与水平面的夹角小于临界角时，滑块所受的摩擦力为静摩擦力；大于临界角时，摩擦力为滑动力，从而问题得解。解析：设板与水平面的夹角为a时，滑块相对于板刚要滑动。则由mgsin以=日mgcos以得：tana=目=2以=3003，则。在0300的范围内，弹簧处于原长，弹力F=0。当板与水平面的夹角大于^时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得:F=mgsin0-^mgcosF=mgsin0-^mgcos0=mg(sin0-^cos0)=mgsin0- cos0kcosp)\o"CurrentDocument"^^(sin0cosP-sinPcos0)=mgsin(0-P)=mgsecPsin(0-P)cosp cosp=mg0+tan2Psin(0-P)=mg(1+日2sin(0-P)（注意：其中tanP=^）小结：解决这类问题的关键是寻找临界条件。本题滑块与木板间可能发生两种物理现象（相对静止和相对运动），中间必有一临界状态，找出临界条件：运动特征为木板"恰好"发生滑动，力学特征是所受的摩擦力"恰好"为最大静摩擦力，这是分析问题的养分所在。例2（绳子刚好拉直或松弛模型）物体A的质量为2kg，两I根轻b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成。角的拉力F,相关几何关系如§图所示，0=600。若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。堂(g=10m/s2)分析：绳子刚好拉直或松弛模型，利用力的正交分解，列平衡方程式，再运用数学知识即可求出F即可求出F的范围；也可采用假设法：分别假设b、c绳恰好伸直但不受力，根据三力平衡知识，即可求得F范围。解析：方法一：正交分析法。作出物体A的受力分析图，如右图。由平衡条TOC\o"1-5"\h\z件可得：Fsin0+Fcos0-mg=0 （1）1Fcos0-F-Fcos0=0 （2）由（1）式得F=-m^-F……（3）sin0 1由（2、（3）式得：F=-^+—F^……（4）2sin02cos0要使两绳伸直，则有二>0,F>0所以由（3）式得：F=些=坐3Nmaxsin0 3由（4）式得:F=上土=坐3Nmin2sin0 3综合上面两式得F的取值范围：20*3N<F<40*3N33方法二：假设法假设b绳恰好伸直但不受力，受力分析如图甲所示：由三力平衡知识可知：F=冬=坐3Nmax sin0 3同理假设C绳恰好伸直但不受力，受力分析如图乙所示:由三力平衡知识可知：F=上导=坐9Nmin2sin0 3所以：

心京<亨N。小结:（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过客听分析，找出平衡的临界点和极值点。（2）临界条件必须在变化中去找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推身患极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而得出判断或导出结论。例3（物体唱好相互脱离）（单选）如图所示，一个同学用双手水平地夹住一叠书，已知他用手在这叠书的两端施加最大水平压力为F=300N,如每本书的质量为0.50kg,手与书间的动摩擦因数为p广0.40，书与书间的动摩擦因数为P2=0.25,则该同学最多能水平夹住几体书？（已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g=10m/s2）A、48B、30 C、32 D、50分析：这是两物体了脱离的模型，首先对所有的书整体分析，要使书宪不脱离，由平衡条件可知：总重力等于手对左边书的最大静摩擦力的二倍，其次对除最左边和最右边之外的剩余的书分析，由平衡条件也可列出方程，观察公式的特点会发现有一定的规律性，可归纳出递推公式，进而求解。解析：设一共有N本书，手与左边第一本书之间的最大静摩擦力为f1，手与右边第一本书之间的最大静摩擦力也为f1，对所有的书整体进行受力分析，得2f=NG,即f=气。i 1 2左边第一本书与第二本书之间的最大静摩擦力为f2，右边第一本书与右边第二本书之

间的最大静摩擦力也为f2，对中间的（N-2）本书整体受力分析，得2f2=（N-2）G,依次同理可得，左边第二本书与第三本书（或者右边第二本书与第三本书）之间的静摩擦力为：f擦力为：f=—-二G,

I22)可见f2>f3>f>依题意可知，手与书间的最大静摩擦力f=|i1F=120N书与书间的最大静摩擦力二密=u2F=75N，书能被夹住的条件是要求手与书之间