中考数学二轮培优复习《几何模型》专题12 斜截模型解直角三角形（教师版）

专题12斜截模型解直角三角形【精典例题】1、如图，两座建筑物的水平距离BC为40m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)解析：延长CD，交AE于点E，则DE⊥AE，得矩形ABCE.在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°，∴ED＝AE·tan45°＝40m.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m，∴AB＝40eq\r(3)m.则CD＝EC－ED＝AB－ED＝40eq\r(3)－40≈29.3(m)．答：这两座建筑物AB，CD的高度分别为69.3m和29.3m.

2、为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上)．然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)．解析：(1)过点F作FG⊥EC于点G，依题意，知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°.∴四边形DEGF是矩形．∴FG＝DE.在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30°＝2eq\r(3).∴点F到直线CE的距离为2eq\r(3)米．(2)∵斜坡CF的坡度i＝1∶1.5.∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2eq\r(3)×1.5＝3eq\r(3).∴FD＝EG＝CG＋CE＝3eq\r(3)＋6.在Rt△BCE中，BE＝CE·tan60°＝6eq\r(3).在Rt△AFD中，AD＝DF·tan45°＝3eq\r(3)＋6.∴AB＝AD＋DE－BE＝3eq\r(3)＋6＋2eq\r(3)－6eq\r(3)＝6－eq\r(3)≈4.3.答：宣传牌的高度AB约为4.3米．

3、如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．求：（1）P到OC的距离．（2）山坡的坡度tanα．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）解析：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD•tan∠BPD＝PD•tan26.6°；在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝31°，∴CD＝PD•tan∠CPD＝PD•tan31°；∵CD﹣BD＝BC，∴PD•tan31°﹣PD•tan26.6°＝40，∴0.60PD﹣0.50PD＝40，解得PD＝400（米），∴P到OC的距离为400米；（2）在Rt△PBD中，BD＝PD•tan26.6°≈400×0.50＝200（米），∵OB＝240米，∴PE＝OD＝OB﹣BD＝40米，∵OE＝PD＝400米，∴AE＝OE﹣OA＝400﹣300＝100（米），∴tanα＝＝＝0.4，∴坡度为0.4．4、如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝5m，坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高(结果用含有根号的式子表示)．解析：如图，过点D作DH⊥BC于点H，则四边形DHCE是矩形，∴DH＝EC，DE＝HC＝5m.设建筑物BC的高度为xm，则BH＝(x－5)m.在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝eq\r(3)(x－5)m，AC＝EC－EA＝[eq\r(3)(x－5)－30]m.在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)∴eq\f(x,\r(3)（x－5）－30)＝eq\r(3)，解得x＝eq\f(15＋30\r(3),2).答：建筑物BC的高为eq\f(15＋30\r(3),2)m.

5、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）解析：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3．CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．答：旗杆AB的高度约为18.4米．

6、太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角(θ)确定玻璃吸热管的倾斜角(太阳光与玻璃吸热管垂直)．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于点E，若∠θ＝37°，求EF的长．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)[xk.Com]解析：如图，延长ED交BC的延长线于点H.[∵太阳光线与玻璃吸热管垂直，∴∠1＋∠θ＝90°又∠1＋∠H＝90°，∴∠H＝∠θ＝37°.在Rt△CDH中，HC＝eq\f(CD,tan37°)，∴HF＝HC＋CF＝eq\f(CD,tan37°)＋CF.在Rt△EFH中，EF＝HF·sin37°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,tan37°)＋CF))·sin37°≈76.答：EF的长为76cm.

7、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向．轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向，这时，E处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）解析：由题意得：∠BAP＝37°，∠CAP＝35°，AD＝40海里，BE＝20海里，∠PDE＝45°，∠DPE＝90°，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，设PD＝PE＝x海里，则PA＝4