高三数学模拟卷及答案

高级中学高三数学（理科）试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1、已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈Z|x2≤1}，则A∩B=（

）A、[﹣1，1]B、[﹣2，2]C、{﹣1，0，1}D、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C

解：根据题意，|x|≤2⇒﹣2≤x≤2，则A={x∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，x2≤1⇒﹣1≤x≤1，则B={x∈Z|x2≤1}={﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}；故选：C．2、若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（

）A、3B、﹣3C、0D、【答案】A

解：∵=是纯虚数，则，解得：a=3．故选A．

3、命题“∃x0∈R，”的否定是（

）A、∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0B、∀x∈R，x2﹣x﹣1＞0

C、∃x0∈R，D、∃x0∈R，【答案】A

解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，”的否定为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0．故选：A

4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（

）A、18B、20C、21D、25【答案】C

解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．5、已知二项式的展开式中常数项为32，则a=（

）A、8B、﹣8C、2D、﹣2【答案】D

解：二项式（x﹣）4的展开式的通项为Tr+1=（﹣a）rC4rx4﹣r，令4﹣=0，解得r=3，∴（﹣a）3C43=32，∴a=﹣2，故选：D

6、函数y=lncosx（﹣＜x＜）的大致图象是（

）A、B、C、D、【答案】A解：在（0，）上，t=cosx是减函数，y=lncosx是减函数，且函数值y＜0，故排除B、C；在（﹣，0）上，t=cosx是增函数，y=lncosx是增函数，且函数值y＜0，故排除D，故选：A．7、若数列满足，且与的等差中项是5，等于(B)（A）（B）（C）（D）8、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A、1B、C、D、【答案】B

解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，

四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，

∴四棱锥的体积是．故选B．9、设a＞0，b＞0，若2是2a与2b的等比中项，则的最小值为（

）A、8B、4C、2D、1【答案】C

解：∵2是2a与2b的等比中项，∴2a•2b=4，∴a+b=2，（a+b）=1，

而a＞0，b＞0，∴=（）（+）=1++≥1+2=2，

当且仅当a=b=1时取等号．故选：C．10、若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）•=（

）A、﹣32B、﹣16C、16D、32【答案】D

解：由f（x）=2sin（）=0可得∴x=6k﹣2，k∈Z，∵﹣2＜x＜10∴x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点∴B，C两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32故选D11、已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，若双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A、（1，2）B、（2，+∞）C、（1，）D、（，+∞）【答案】C

【解析】【解答】解：如图，由△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAx=45°，设其中一条渐近线与x轴的夹角为θ，则θ＜45°，即tanθ＜1，

又上述渐近线的方程为y=x，则＜1，又e=，∴1＜e＜，双曲线的离心率e的取值范围（1，），故选C．

12、已知函数f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，则k的最大值为（

）A、2B、3C、4D、5【答案】B

解：由k（x﹣1）＜f（x）对任意的x＞1恒成立，得：k＜，（x＞1），

令h（x）=，（x＞1），则h′（x）=，令g（x）=x﹣lnx﹣2=0，得：x﹣2=lnx，画出函数y=x﹣2，y=lnx的图象，如图示：

∴g（x）存在唯一的零点，

又g（3）=1﹣ln3＜0，g（4）=2﹣ln4=2（1﹣ln2）＞0，

∴零点属于（3，4）；∴h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，而3＜h（3）=＜4，＜h（4）=＜4，∴h（x0）＜4，k∈Z，∴k的最大值是3．填空题：（每小题5分，共20分）13、若x，y满足则z=x+2y的最大值为________．【答案】2

解：由足约束条件作出可行域如图，

由z=x+2y，得y=﹣+．

要使z最大，则直线y=﹣+的截距最大，

由图可知，当直线y=﹣+．

过点A时截距最大．

联立，解得，∴A（0，1），∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．故答案为：2．14、已知向量=（1，2），⊥（+），则向量在向量方向上的投影为________．【答案】﹣

解：由⊥（+），则•（+）=0，即2+•=0，则•=﹣丨丨2，

向量在向量方向上的投影为=﹣丨丨=﹣=﹣，故答案为：﹣．

15、斜率为k（k＞0）的直线l经过点F（1，0）交抛物线y2=4x于A，B两点，若△AOF的面积是△BOF面积的2倍，则k=________．【答案】2

【解析】【解答】解：∵S△AOF=2S△BOF，∴yA=﹣2yB，①∴设AB的方程为x=my+1（m＞0），与y2=4x联立消去x得y2﹣4my﹣4=0，∴yA+yB=4m②，yAyB=﹣4③由①②③可得m=，∴k=2。16、定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1,0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是.【解析】不妨设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即．因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即.三、解答题：17、（本小题满分12分）已知函数（其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．(1)求y=f（x）的单调递增区间；在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．解：∵，

=，∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为，

∴T=π，∴，∴ω=1，∴．∵得：，∴函数f（x）单调增区间为；

（2）解：∵（2b﹣a）cosC=c•cosA，由正弦定理，

得（2sinB﹣sinA）cosC=sinC•cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），

∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，∴sinB（2cosC﹣1）=0，∴，

∵0＜C＜π，∴，∴，∴．∴，

根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，此时，即，∴，∴△ABC为等边三角形。18、（本小题满分12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，分为五个级别，T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图．（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？

（Ⅱ）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？

（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．解：（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18，这50路段为中度拥堵的有18个．（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，

事件B至少一个路段严重拥堵”，则P=（1﹣P（A））3=0.729．

P（B）=1﹣P（）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271．

（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X30364260P0.10.440.360.1E（X）=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96．

此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．19、（本小题满分12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，E是CB1上的点，且BE⊥平面ACB1．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C；

（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣C的平面角的余弦值．

证明：∵在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，

∴BB1⊥AC，∵直角三角形边满足AC=BC，∴AC⊥BC，又BC∩BB1，∴AC⊥平面BB1C．

（Ⅱ）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵侧面ABB1A1是边长为2的正方形，直角三角形边满足AC=BC，∴2AC2=4，解得AC=BC=，

B（0，，0），A（），B1（0，，2），C（0，0，0），

=（﹣，，2），=，设平面BAB1的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（1，1，0），，设平面AB1C的法向量=（a，b，c），，取b=，得=（0，，1），设二面角B﹣AB1﹣C的平面角为θ，cosθ=cos＜＞==

20、已知A（x0，0），B（0，y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足．(1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；(2)一条纵截距为2的直线l1与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；(3)直线l2：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l2，使△ABE的面积为？若存在，求出直线l2的方程；若不存在，说明理由．（1）解：因为，所以，

所以，又因为|AB|=1，所以，即：，

即，所以椭圆的标准方程为．

（2）解：直线l1斜率必存在，且纵截距为2，设直线为y=kx+2联立直线l1和椭圆方程，得：（3+4k2）x2+16kx+4=0，由△＞0，得（*），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

（1）

以PQ直径的圆恰过原点，所以OP⊥OQ，，即x1x2+y1y2=0，

也即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，

将（1）式代入，得﹣+4=0，即4（1+k2）﹣32k2+4（3+4k2）=0，

解得，满足（*）式，所以．所以直线方程为y=±x+2

（3）解：由方程组，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0（*）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

所以，

因为直线l：x=ty+1过点F（1，0），所以S△ABE=|EF|•|y1﹣y2|=×2×=

令==2，则不成立，故不存在直线l满足题意。21、已知函数f（x）=alnx+x2+bx（a为实常数）．(1)若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；(2)若b=0，且a＞﹣2e2，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；(3)设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．（1）解：a=﹣2，b=﹣3时，f（x）=﹣2lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），

，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调增区间为（2，+∞）；单调减区间为（0，2）；

（2）解：因为b=0，所以f（x）=alnx+x2，x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，

（i）若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），

故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1；

（ii）若﹣2e2＜a＜﹣2，a+2＜0，a+2e2＞0，，x∈[1，e]，

当时，f'（x）=0，，

当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；

当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．

故；

（3）解：b=0，f（x）=alnx+x2不等式f（x）≤（a+2）x，即alnx+x2≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．因为x∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]），令（x∈[1，e]），又，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g'（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（1）=﹣1，所以实数a的取值范围是[﹣1，+∞）。请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第