三重积分-柱坐标与极坐标

利用柱坐标计算三重积分的步骤考虑是否用柱坐标计算化为柱坐标系下三重积分积分次序：定限方法：化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时，将其余变量视为常数Ω的投影为圆或圆的一部分f(x,y,z)中含有或三变、一勿忘积分区域Ω柱坐标表示被积函数体积元素一个勿忘一般先z后ρ再θ投影、发射利用球坐标计算三重积分的步骤考虑是否用球坐标计算化为球坐标系下三重积分积分次序：定限方法：化为累次积分计算累次积分注意对一个变量积分时，将其余变量视为常数．Ω的球或球的一部分f(x,y,z)中含有三变、一勿忘积分区域Ω球坐标表示被积函数体积元素一个勿忘一般先r后φ再θ．观察、想象．三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）小结方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”2.确定上下曲面函数，得z的积分限;1.把Ω往xoy平面上投影,得积分区域D;3.先求关于z的定积分,得x,y的二元函数;4.再求关于x,y的二重积分.先一后二”积分法的基本步骤:对z∈[a,b]用过点(0,0,z)且平行xOy平面的平面去截Ω，得截面Dz;1.把Ω向z轴投影,得z的积分限[a,b];3.先求关于x,y的二重积分,得“先二后一”积分法的基本步骤:4.最后计算单积分第三节一、三重积分的概念

二、三重积分的计算三重积分

第十章回忆用投影法（先一后二）计算三重积分如果积分区域

在坐标面上的投影区域D

是圆域则二重积分应当考虑用极坐标计算.这就等于用柱面坐标计算三重积分.2.利用柱坐标计算三重积分

2.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面在柱面坐标系中体积元素为因此元素区域由六个坐标面围成如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.常见曲面的柱面坐标方程曲面直角坐标方程柱面坐标方程半球面圆锥面旋转抛物面圆柱面圆柱面圆柱面常见曲面的柱面坐标方程2、利用公式用柱面坐标计算三重积分的一般步骤：1、将区域

往xoy面上投影，确定平面区域D3、过D内任一点（x，y）做平行于z轴的直线，穿区域

确定z的上下限；4、在

D上分别确定r、

上下限（类同于平面极坐标）次序为：zr将

的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式；柱面坐标常用于：圆柱体和圆锥体上的三重积分。例1.

计算三重积分所围成.与平面其中

由抛物面在柱面坐标系下原式=解:

在xOy面上的投影区域D:

上边界曲面为z=4

下边界曲面为z.例2.计算解：故

在xOy平面得交线上投影区域为所围成.与平面其中

由圆锥面上边界曲面为z=4

下边界曲面为z.解:例3.

计算三重积分所围成.与抛物面其中

由球面知交线为由原式=上边界:下边界:其中

为例4.

计算三重积分所解:

在柱面坐标系下及平面由柱面围成半圆柱体.3.利用球坐标计算三重积分

就称为点M

的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面半平面

及+d

；

半径为r及r+dr的球面；圆锥面

及

+d

r

drd

rsin

xz

y0圆锥面

rd

球面r圆锥面+d

球面r+dr元素区域由六个坐标面围成：d

rsin

d

球面坐标下的体积元素元素区域由六个坐标面围成：球面坐标下的体积元素半平面

及

+d

；

半径为r及r+dr的球面；圆锥面

及+d

r

drd

xz

y0

d

rd

rsin

d

.dv如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中球面坐标直角坐标球体下面介绍一些区域的球面坐标的描述球面坐标直角坐标球体球面坐标直角坐标球顶锥体常见的曲面在球坐标下的方程次序为:

r

2.将区域

往xoy面上投影，确定平面区域D，4.过原点做射线，穿区域

确定r的上下限.1.关系式3.对任一

，过z轴做半平面，找出

角变化最用球面坐标计算三重积分的一般步骤：将

的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式；由D找出

的上下限；大的与

的截面，确定

的上下限注：当积分区域由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。例5.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中

与球面例6.

求半径为a

的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为

求半径为a的球面与半顶角为

的内接锥面所围成于是所求立体的体积为

此球面的方程为x2

y2

(z

a)2

a2

即x2

y2

z2

2az

例6.

的立体的体积

由圆锥面和球面围成,解:采用球面坐标，锥面方程为

在球面坐标下球面方程为r

2acos

,

例7.

计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中

面是由两个球解:

例7.

计算三重积分所围立体.其中

面是由两个球原式

z

Oxya.M.r

解:

在球面坐标系下10(2).计算其中

由不等式

所确定.

..解:

在球面坐标系下10(2).计算其中

由不等式

所确定.

所围成的闭区域.11(2).计算其中

是由球面解:

在球面坐标系下所围成的闭区域.10(1).计算其中

是由球面解:

在球面坐标系下所围成的在第一卦限内的闭区域.11(1).计算其中

为柱面解:

在柱面坐标系下及平面11(2).求曲面所围立体体积.解:

由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于

xOz

3.

设

由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标内容小结积分区域多由坐标面被积函数形式简洁,或坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系*说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.围成;作业P1649，10，11（1，2）。

第四节例7.求曲面所围立体体积.解:

由曲面方程可知,立体位于xOy面上部,利用对称性,所求立体体积为yOz面对称,并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于

xOz

3.

计算其中解:利用对称性1.将用三次积分表示,其中

由所提示:思考与练习六个平面围成,44例8解1解2例9解例10解备用题

1.计算所围成.其中

由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“三次积分”较好.所围,故可