吉林省长春市汽开区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

2023-2024学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2sin45A.2 B.1 C.322.将二次函数y=x2−6xA.y=(x−3)2+23.若点A在二次函数y=(x−5)A.(−5,0) B.(54.某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室.已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元.设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，根据题意可列方程为(

)A.10000(1+x)2=14400 5.已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为A.2 B.4 C.6 D.86.如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳(AC=BD)可测量零件的内孔直径AB.若OA：OA.2cm

B.1.5cm

C.

7.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB的长为10米，梯子与地面形成的夹角为∠BAC=41°A.10cos41°米

B.10sin418.如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面.具体操作如下：作⊙O的任意一条直径FC，以点F为圆心、OF长为半径作圆，与⊙O相交于点E、A；以点C为圆心、OC长为半径作圆，与⊙O相交于点D、B；连结EF、FA、BC、CD，得到两个扇形，并裁剪下来.若⊙O

A.200π3cm2 B.100π二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.关于x的方程x2−2x+k=10.抛物线y=3(x−11.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上.若线段AB=2cm，则线段BC=

12.如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连结OM、ON.若∠N=36°

13.如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=4，则弧BQ

14.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线.如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是(0,1).身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶.若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，则m三、计算题：本大题共1小题，共6分。15.解方程：x2−4四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题6分)

现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽(卡片分别记为A1，A2，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”(卡片记为B)，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)17.(本小题6分)

已知二次函数y=ax2+bx18.(本小题7分)

在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍.如图，无人机在空中A处的飞行高度为AC，地面观测点B处观测无人机在空中A处的仰角α=18°，已知BC=70米，求此时无人机的飞行高度AC.(结果精确到0.1米)19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE/​/AC．

(2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F20.(本小题7分)

如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．

(1)求证：DE是⊙O的切线．

(221.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(0,22.(本小题9分)

【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长．

【问题解决】以下是小华的方法：

如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．

理由如下：在⊙O上取点P′(异于点P)，连结AP′、OP′．

接下来只需证明AP>AP′．

请你补全小华的证明过程．

【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长为m，则线段AP长度的最大值为______，线段AP长度的最小值为______.(用含r、m的代数式表示)

【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=10，点D为边AC的中点，动点P从点A出发，沿折线AB−BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒5个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，连结PD，将△APD沿PD翻折得到△A′PD.设点P的运动时间为24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+nx+n经过点A(4,−6).点P是该抛物线上一点，其横坐标为m.以AP为对角线作矩形ABPC，AB⊥y轴．

(1)求抛物线所对应的函数表达式．

(2)当抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为______．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：2sin45°=2×2.【答案】B

【解析】解：y=x2−6x+2

=x2−3.【答案】B

【解析】解：二次函数y=(x−5)2−4图象的对称轴为x=5，

∵点A在二次函数y=(x−5)2−4图象的对称轴上，

∴点4.【答案】A

【解析】解：由题意可得，

10000(1+x)2=14400．

故选：5.【答案】D

【解析】解：∵点A是⊙O外一点，

∴OA>6，

∴OA的长可能为8．

故选：D．

根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断．

本题考查了点与圆的位置关系：若半径为r，点到圆心的距离为d6.【答案】C

【解析】解：∵OA：OC=OB：OD=2，∠AOB=∠COD，

∴△AOB∽△COD，

∴AB：CD=2，

∴AB：57.【答案】B

【解析】解：在Rt△ABC中，AB=10米，∠BAC=41°，

∵sin∠8.【答案】B

【解析】解：连接EB，AD，

∵EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，

∴图中阴影部分的面积=S扇形EDO+S扇形ABO，

∵OE=OD9.【答案】1

【解析】解：∵关于x的方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，

∴△=(−2)2−4×1×k10.【答案】(2【解析】解：∵抛物线y=3(x−2)2+9，

∴该抛物线的顶点坐标为11.【答案】6

【解析】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，

∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，

∴ABBC=ADDE，

即2BC=26，

∴BC=12.【答案】54

【解析】解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，

∴OM⊥MN，

∴∠OMN=90°，

∵∠13.【答案】π

【解析】解：连接OQ，

∵∠P=45°，

∴∠QOB=2∠P=90°，

∵AB=4，

∴14.【答案】1.5<【解析】解：由题意，设解析式为y=a(x−2)2+k，

又由小丽的坐标(1,1.6)，且过(0,1)，

∴a=−15，k=95．

∴解析式为y=−15(x−15.【答案】

x2−4x+1=0，

解：x2−4x=−1，

x【解析】本题主要考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是知道运用配方法解一元二次方程的方法，先把x2−416.【答案】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：

共有9种等可能出现的结果，其中两张卡片上的图案都是“蓉宝”的只有1种，

所以两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”的概率为19．

【解析】用树状图表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行解答即可．

本题考查列表法活树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．17.【答案】解：把(−1,−4)、(1,6)分别代入数y=a【解析】把2个已知点的坐标分别代入y=ax2+bx18.【答案】解：在Rt△ACB中，BC=70米，∠ABC=α=18°【解析】根据正切的定义求出AC．

本题考查的是解直角三角形的应用−19.【答案】解：(1)如图1中，线段DE即为所求；

(2)如图2中，线段DF即为所求；

(3)【解析】(1)利用网格特征作出BC的中点E，连接DE即可；

(2)利用网格特征作出线段AC的中点F，连接DF即可；

(320.【答案】6

【解析】(1)证明：连结OD，如图，

∵BD平分∠ABC，

∴∠OBD=∠EBD，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠ODB=∠EBD，

∴OD/​/BE，

∵DE⊥BE，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

(2)解：∵AB=8，

∴OA=OB21.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c经过点A(−1,0)和点B(0,52)，

∴−12−b+c=【解析】(1)把A点和B点坐标代入y=−12x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c22.【答案】m+r

m−【解析】解：【问题解决】如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．

理由如下：在⊙O上取点P′(异于点P)，连结AP′、OP′．

在△AOP′AOP中，OA+OP′>APAP′，

∵OP=OP′，

∴OA+OP>AP′，

即AP>AP′；

【类比结论】如图，线段AO交⊙O于点P′，AO的延长线交⊙O于点P，

由【问题解决】知，此时AP长度最大为OA+OP=m+r，

当点P在P′位置时，AP长度最小为OA−OP′=m−r，

∴线段AP长度的最大值为m+r，线段AP长度的最小值为m−r，

故答案为：m+r；m−r；

【拓展延伸】解：如图②，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵∠23.【答案】解：(1)∵∠A=90°，AB=5，AC=10，

∴BC=AB2+AC2=52+102=55，

∴BC的长为55；

(2)当0<t≤5时，P在AB上，BP=5−t；

当5<t≤10时，P在BC上，BP=5(t−5)=5t−55；

∴BP=5−t(0<t≤5)5t−55(5<t≤10)；

(3)∵△A′PD是将△APD沿PD翻折得到，

∴当△A′PD与△ABC相似时，△APD与△ABC相似；

当P在AB上时，如图：

∵AB=5，AC=10，

∴APAD=ABAC=510=12，即AP5【解析】(1)由勾股定理可得BC的长为55；

(2)分两种情况：当0<t≤5时，P在AB上，BP=5−t；当5<t≤10时，P在BC上，BP=5(t−5)=5t−55；

(3)当△A′PD与△ABC相似时，△APD与△ABC相似；分两种