【单元专题卷】2023-2024学年人教版初中数学8年级下册第17章·专题01 勾股定理、逆定理

第第页【单元专题卷】人教版数学8年级下册第17章专题01勾股定理、逆定理一、选择题（共15小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（）A．185 B．3 C．1252．如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为（）A．7 B．5 C．25 D．13．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论①∠AED＝∠ADC；②DEDA=34；③AC•BE＝12；④4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．125．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知直角三角形有两边为3和5，则第三边为（）A．4 B．5 C．4或34 D．3或347．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则四边形AFBD的面积为（）A．10 B．11 C．12 D．138．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（）A．24 B．20 C．15 D．129．如图△ABC中，∠BAC＝90°，点A向上平移后到A′得到△A′BC．下面说法错误的是（）A．△ABC的内角和仍为180° B．∠BA′C＜∠BAC C．AB2+AC2＝BC2 D．A′B2+A′C2＜BC210．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝20，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD＝3：2，则点D到线段AB的距离DE的长为（）A．4 B．8 C．10 D．1211．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、712．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，BC=7，则△ABCA．47 B．37 C．6 13．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，614．△ABC的三边分别为a，b，c，则无法判断△ABC为直角三角形的是（）A．b2＝a2﹣c2 B．∠A＝∠B+∠C C．a：b：c＝3：4：5 D．a：b：c＝1：2：315．下列各组数中，是勾股数的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．35，45C．3，4，5 D．4，5，6二、填空题（共18小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝23，则AC的长是．17．在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝2，BC=2，AC、BC的中垂线分别交AB于D、E两点，则△CDE的周长为18．已知平面直角坐标系中，点P（m﹣2，4）到坐标原点距离为5，则m的值为．19．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为．20．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为．21．如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝．22．一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为．23．如图，已知∠BAC＝90°，BC=3，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，若AC＝8，则AB边上的高为．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且CD＝2，AC＝6，则AB＝．26．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC于E，若AB＝6，BC＝9，则DE的长为．27．如图，在△ABC，∠C＝90°，c=3，则a2+b2+c2＝28．已知：点A（﹣1，4），点B（﹣4，﹣2），则AB＝．29．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是．30．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB垂足为E，AB＝12，AC＝8，则BE的长为．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，AE＝．32．如图：已知四边形ABCD中，AB＝AC，∠CAD＝2∠DBC，∠ACB＝60°+∠DBC，若CD＝2，AD＝7，则线段BC的长是．33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝3，BD＝2，则DE的长为．三、解答题（共18小题）34．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．求BC边上的高的长．35．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的长；（2）AD的长．36．如下列各图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为边向外作正三角形（如图①）、等腰直角三角形（如图②、图③），所作三角形的面积分别为S1，S2，S3，试求S1，S2，S3的关系．37．如图，当两个全等的直角三角形按一定方式摆放时，可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．证明：连接DB，过点D作边BC上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC=12b2+又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2．请参照上述证法，利用图②证明勾股定理．38．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°．求阴影部分的面积．39．如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，试判断△ABD的形状，并说明理由．40．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求AD的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．41．如图，已知△ABC，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．（1）如果α＝20°，β＝10°，那么△ADE是等边三角形？请说明理由；（2）若AD＝AE，试求α与β之间的关系．42．在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性：图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（12ab），即（a+b）2＝c2+4•（12ab）由此推出勾股定理a2+b2＝c（1）请你用图（Ⅱ）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2＝x2+2xy+y2．43．如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．（1）填空：正方形EFCH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求a+b的值．44．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE．45．如图，已知△ABC的边BC＝13cm，D是AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．求证：△BDC是直角三角形．46．如图，已知等腰△ABC的底边BC=85cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝16cm，CD＝8（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．47．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，连接CD，且CD＝12cm，BD＝5cm．（1）求证：△BDC是直角三角形；（2）求AB的长．48．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．49．如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在格点上．判断△ABC是什么形状，并说明理由．50．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．则∠ABC＝90°，请说明理由．51．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．

参考答案一、选择题（共15小题）1．C2．A3．B4．A5．D6．C7．C8．D9．D10．B11．D12．D13．C14．D15．C；二、填空题（共18小题）16．17．18．5或﹣1．19．45°20．1021．45°22．523．45°24．425．7.526．27．628．29．2030．431．532．333．1；三、解答题（共18小题）34．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，∴BD＝CD=12∴AD=A即BC边上的高的长为3．35．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=A∵CD⊥AB，∴S△ABC=∴CD=AC⋅BC（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=BAD＝25﹣9＝16．36．解：结论都是：S1＝S2+S3．理由：∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，如图①中，∵S1=34AB2，S2=34AC2，S3∴S1＝S2+S3．如图2中，∵S1=14AB2，S2=14AC2，S3∴S1＝S2+S3．如图3中，∵S1=12AB2，S2=12AC2，S3∴S1＝S2+S3．37．证明：连接BD，过点B作DE的垂线BF交DE的延长线于点F，则BF＝b﹣a．∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b又S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12∴12ab+12b2+12ab=12ab+12∴a2+b2＝c2．38．解：如图，连接AC．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=6∵CD＝24，AD＝26，AC＝10，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S阴影＝S△ACD﹣S△ABC=12×故阴影部分的面积是96．39．解：△ABD为直角三角形．理由如下：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝CB2+AC2＝42+32＝52，∴在△ABD中，AB2+AD2＝52+122＝132，∴AB2+AD2＝BD2，∴△ABD为直角三角形．40．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=B在Rt△BCD中，由勾股定理得AD=A（2）△ABC是直角三角形，理由：由（1）知：AD＝16，∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，在△ABC中，∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．41．解：（1）△ADE是等边三角形，理由：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣α＝80°﹣20°＝60°，∵β＝10°，∴∠DAE＝∠C+β＝60°，∴△ADE是等腰三角形；（2）若AD＝AE时，则α＝2β，证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∴∠ADE+β＝∠B+α，∴∠ADE＝∠B+α﹣β，∵∠AED＝∠C+∠CDE＝∠B+β，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠B+α﹣β＝∠B+β，∴α＝2β．42．解：（1）由图可得：大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2，四个直角三角形面积和为：4×12由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，则有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b即：c2＝a2+b2．（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，因为它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2，所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立．43．解：（1）∵HE＝b﹣a＝4，∴S正方形EFGH＝HE2＝16，∵AD＝c＝20，∴S正方形ABCD＝AD2＝400，∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝400﹣16＝384，故答案为：16；384；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为384，∴4×12ab＝384，解得2∵a2+b2＝c2＝400，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝400+384＝784．∴a+b＝28（负值舍去）．44．证明：连接BE，∵AE=12+32=10∴AE2+AB2＝BE2，∴∠BAE＝90°，∴AB⊥AE．45．证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝169，BD2+CD2＝169，即BC2＝BD2+CD2，∴△BDC为直角三角形．46．解：（1）△BDC是直角三角形，理由是：∵BC＝85cm，BD＝16cm，CD＝8cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠D＝90°，即△BDC是直角三角形；（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，即（16﹣x）2+82＝x2，解得：x＝10，∴AB＝AC＝10（cm），∵BC＝85cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+85=（20+85）（cm故△ABC的周长是（20+85）cm．47．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝132＝169，BD2+CD