必修四13三角函数的诱导公式(教案)

1.3 三角函数的诱导公式A教学目标一、学问与技能理解诱导公式的推导过程；通过诱导公式的具体运用，娴熟正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．进一步领悟把未知问题化归为问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的力量．二、过程与方法利用三角函数线，从单位圆关于x轴、y轴、直线y x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性动身，通过学生的探究，明白三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱三、情感、态度与价值观化的方法将事物转化为我们熟知的事物，从而到达了解事物的目的，并使学生养成乐观探究、科学争论的好习惯．教学重点、难点教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的敏捷运用，三角函数式的求值、化简和证明等．教学难点：六组诱导公式的敏捷运用．教学关键：五组诱导公式的探究．教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究．教法与学法导航教学方法：探究式，讲练结合．学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中．充分利用多媒体引导学生完善从特别到一般的认知过程；强调记忆规律，加强公式的记忆；通过对例题的学习，完成学习目标．教学预备教师预备：多媒体，投影仪、直尺、圆规．学生预备：练习本、直尺、圆规．教学过程一、创设情境，导入课我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称1教师备课系统──多媒体教案x轴、y轴、直线y=x的轴对O的中心对称性等动身，获得一些三角函数的性质呢？二、主题探究，合作沟通提出问题α的终边与+α角的终边位置关系如何？②它们与单位圆的交点的位置关系如何？α为π+αα的终边的反向延长线，所以先选择π+α为争论对象．利用图形还可以直观地解决问题②，角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原P1(x，y)P2(x，y)．指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式二：sin(+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα．提出问题：αα的终边位置关系如何？αα的定义，启发学生思考．ααx轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．从而完成公式三的推导，即：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα．教师点拨学生留意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立．并进一步引导学生观看分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．提出问题：π-αα的终边位置关系如何？π-αααπ-α的终边的位置关系；它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标：π-α角αy轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．从而完成公式四的推导，即：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．引导学生观看分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求π-αα的三角函数值．让学生分析总结诱导公式的构造特点，概括说明，加强记忆．我们可以用下面一段话来概括公式一～四：2α+k·2π(k∈Z)，-α，π±αα的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”．点拨、引α是任意角．提出问题αy=x对称的角有何数量关系？αy=x对称的角的数量关系．教师充分让学生探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y=x对称的y=x对称的两个点的坐标之间的关系进展引导．παP1的坐标为(x，y)2απαy=x2αP2P1关于πy=x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有sinα=y，cosα=x，cos(2α)=y，πsin(2α)=x．从而得到公式五：π πcos(2α)=sinα，sin(2α)=cosα．提出问题π2+αα的正弦、余弦之间的关系式？π π师生互动：教师点拨学生将2+α转化为π(2α)，从而利用公式四和公式五到达π π π2+απ(2α)2+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导出公式六：πsin(2+α)=cosα，πcos(2+α)=-sinα．提出问题你能概括一下公式五、六吗？3教师备课系统──多媒体教案师生互动：结合上一堂课争论公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进展概括．争论结果：π±α的正弦(余弦)α的余弦(正弦)函数值，前面加上2α看成锐角时原函数值的符号．进一步可以简记为：函数名转变，符号看象限．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．公式一～六都叫做诱导公式．三、拓展创，应用提高1利用公式求以下三角函数值：〔1〕cos225〔sin1π3〕sin(16π〔〕cos2040．3 3解〔〕cos225=cos(180+45)=-cos45= 2；2〔2〕sin11π=sin(4ππ)=-sinπ= 3；3 3 3 2〔3〕sin(16π)=-sin16π=-sin(5π+π)=-(-sinπ)= 3；3 3 3 3 2〔4〕cos(-2040°)=cos2040°=cos(6×360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=1．2点评：利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按以下步骤进展：上述步骤表达了由未知转化为的化归的思想方法．例2化简 cos(180)sin(360) .sin(1800)cos(180)解：sin(180)sin[(180)] sin(180)(sin)sin4cos(180)cos[(180)]cos(180)cos.所以，原式 cossin sin(cos)3π 3π例31〕sin(2-)=co〕cos(2-)=-si．3π π π1〕sin(2)=sin[π+(2--sin(2-)=-co；3π π π〔2〕cos(2-α)=cos[π+(2-α)]=-cos(2-α)=-sinα．3π点评：由公式五及六推得22k1

±αα而进一步可以推广到用．

2 π(k∈Z)的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式直接使4化简

sin(2πa)cos(πa)cos(πa)cos(11πa)2 2 .cos(πa)sin(3πa)sin(πa)sin(9πa)2(sina)(cosa)(sina)cos[5π(πa)]解：原式= 2 π(cosa)sin(πa)[sin(πa)]sin[4( a)]2πsin2acosa[cos(2a)] sinaπ=四、小结

(cosa)sina[(sina)]sin(πa)2

=cosa

=-tana．①熟记诱导公式；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；并进展简洁的求值；③运用诱导公式进展简洁的三角化简．课堂作业在△ABC中，以下等式肯定成立的是( )AB Csin 2

=-cos2

sin(2A+2B)=-cos2Csin(A+B)=-sinC D．sin(A+B)=sinC2．假设f(sinx)=cosx，那么f(-cosx)等于( )5教师备课系统──多媒体教案A．sinx B．cosx C．-sinx D．-cosx3．计算以下各式的值：〔1〕sin(-1200°)cos(1290°)+cos(-1020°)sin(-1050°)+tan945°；sin(540a)tan(a270)cos(sin(540a)tan(a270)cos(a270).cos(a180)tan(810a)sin(a360)4．化简：参考答案：1．D 2．A3〔〕2〔2-．4．-tana．B教学目标一、学问与技能牢记诱导公式.理解和把握公式的内涵及构造特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进展简洁三角函数式的化简和证明.二、过程与方法通过诱导公式的推导，培育学生的观看力、分析归纳力量，领悟数学的归纳转化思想方法.通过诱导公式的推导、分析公式的构造特征，使学生体验和理解从特别到一般的数学归纳推理思维方式.通过根底训练题和力量训练题的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.三、情感、态度与价值观通过诱导公式的推导，培育学生主动探究、勇于觉察的科学精神，培育学生的创意识和创精神.通过归纳思维的训练，培育学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特别到一般、把未知转化为的辨证唯物主义思想.教学重点、难点教学重点：用联系的观点，觉察并证明诱导公式，进而运用诱导公式解决问题．教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性和任意角终边的对称性中，觉察问题，提出争论方法．学法与教学用具学法：在教师的组织和引导下学生以自主探究、动手实践、合作沟通的方式进展学习．在学习中了解和体验公式的发生、进展过程，让学生领悟到诱导公式是前面三角函数定义、单位圆对称性等学问的连续和拓展，应用迁移规律，引导学生联想、类比、归6纳推导公式．教学用具：电脑、投影机、三角板．教学设想：一、创设情境在前面的学习中，我们知道终边一样的角的同名三角函数值相等，即公式一，并且利用公式一可以把确定值较大的角的三角函数转化为0°360°(02π)内的角的三角函π数值，求锐角三角函数值，我们可以通过查表求得，对于90°360°(22π)范围内的角的三角函数怎样求解，能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解，这一节就来探讨这个问题．二、探究知诱导公式二：1〕锐角的终边与180的终边位置关系如何？〔2〕写出的终边与180的终边与单位圆交点PP的坐标．〔3〕任意角与180呢？

P(x,yP”(xy，由正弦函数、余弦函数的定义可知：siny， cosx；sin(180

y， cos(180

x．)))))sin(180

sin；cos(180

cos．说明：①公式中的指任意角；②假设是弧度制，即有sin(π)sincos(π)cos；③公式特点：函数名不变，符号看象限；)④可以导出正切：)用弧度制可表示如下：

sinsin(180sin(180)cos(180)

tan．sin(πsin(π〕-sin；cos(π〕-cos；tan(π〕tan．诱导公式三：1〕360的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先争论；7教师备课系统──多媒体教案〔2〕任意角与的终边位置关系如何？结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin；cos()cos．说明：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；tan()tan．诱导公式四：sin(180)sin；cos(180)cos．说明：①公式四中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限；tan(180)tan．用弧度制可表示如下：sin(πsin；cos(π；tan(πtan．终边与角y=x对称的角有何数量关系．的终边与单位圆π的交点P12的终边与角y=xπ的终边与单位2P2P1y=xP2的坐标是，，于是我们有sin=y，cos=x；π πsin(2)=x，cos(2)=y．从而得到诱导公式五：πsin(2)=cos，πcos(2)=sin．π π由于2+=-(2，由公式四及五可得8公式六πsin(2+)=cos，πcos(2+)=sin．公式五和公式六可以概括如下：π2±的正弦〔余弦〕函数值，分别等于的余弦〔正弦〕函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一～六都叫做诱导公式.三、例题讲解例1求以下三角函数值〔〕sin960；〔2〕cos(4)．6sin(960720)sin(960720)sin240sin(18060)sin60 3．2〔2〕cos(43π)cos43πcos(7π6π)cos7π6 6 6 63cos(ππ)cosπ ．36 6 22tan32cos(π)3sin(π)的值.4cos()sin(2π)tan3，∴原式

23tan

7．4cossin 4tan3化简sin(nπsin(nπ(nZ．sin(nπ)cos(nπ)解：①当n2k，kZ时，原式sin(2kπ)sin(2kπ) 2 ．sin(2kπ)cos(2kπ) cos②当n2k1,kZ时，9教师备课系统──多媒体教案原式

sin[(2k1)π]sin[(2k1)π] 2sin[(2k1)π]cos[(2k1)π] cos4π2π

cos(πm(m0)，求tan(2π)的值．6 3 3 33 2ππ(π