甘肃省张掖市甘州区甘州中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

数学一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据俯视图画法进行判断．【详解】解：从上面看到的视图为：故答案为：D．【点睛】本题考查了几何体的俯视图，解题的关键是注意看不见的线要画成虚线．2.矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（）A.对角线垂直 B.对角线互相平分C.四个角都是直角 D.对角线相等【答案】B【解析】【详解】解：对角线垂直，是菱形和正方形才有的性质，故A错误；对角线互相平分是矩形、菱形、正方形都有的性质，故B正确；四个角都是直角，是矩形和正方形才有的性质，故C错误；对角线相等，是矩形和正方形才有的性质，故D错误；故答案为：B．【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．3.如图，与是位似图形，位似中心为，，，则的面积为（）更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请家威杏MXSJ663A.12 B.16 C.21 D.49【答案】D【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出面积比，即可得出答案．【详解】解：∵ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD=3：4，

∴OA：OD=3：7，

∴S△ABC：S△DEF=9：49，

∵S△ABC=9，

∴△DEF的面积为：49．

故选：D．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出三角形面积比是解题关键．4.已知，且是锐角，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知30度角的余弦值为是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵是锐角，∴，故选D．5.在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球、记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是，则估计盒子中大约有黄球（）A.14个 B.16个 C.18个 D.20个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率是，据此利用概率计算公式建立方程求解即可．【详解】解：设估计盒子中大约有黄球x个，∵通过大量重复摸球试验发现，摸到红球的频率是，∴摸到红球的概率是，∴，解得，∴估计盒子中大约有黄球16个，故选B．6.已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（）A1 B.0 C. D.2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程求出m的值即可．【详解】解：∵关于x的方程的一个根是1，∴，∴，故选D．7.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形找到对边和斜边即可解题.【详解】解：由网格纸可知,故选A.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.8.如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直于轴B点，若S△AOB＝3，则的值为（）A.6 B.3 C. D.不能确定【答案】A【解析】【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．【详解】由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB=|k|=3；

又由于函数图象位于一、三象限，则k=6．

故选A．9.如图所示，菱形的周长为，，垂足为E，，则下列结论正确的个数有（）①，②，③菱形的面积为，④．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】根据菱形性质可得，结合即可求出、即可判断①②③，再根据勾股定理即可判断④．【详解】解：由题意可得，∵菱形的周长为，∴，∵，∴，故①正确；∴，∴，故②正确∴菱形的面积为③正确；∴故④错误，故选C．【点睛】本题考查菱形性质，解三角形正玄的应用及勾股定理，解题的关键是先根据菱形性质求出边长，再根据三角函数求出相应边，最后根据勾股定理计算．10.已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限．【详解】解：若反比例函数经过第一、三象限，则．所以．则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限；若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故选项A正确；故选A．【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（共8题，每题4分，共32分）11.已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为________．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴，∵，，，∴，故答案为：4．12.已知关于x的一元二次方程的两根为，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出，再代值计算即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根为，∴，∴，故答案为：．13.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．【答案】（或）【解析】【分析】将点，，代入可得，以此比较，，的大小关系即可．【详解】将点，，代入可得∴∴（或）故答案为：（或）．【点睛】本题考查了反比例函数的问题，掌握代入法和实数大小的比较方法是解题的关键．14.一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进，则此时小球距离地面的高度为________【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形实际应用，勾股定理，过点B作，根据，则设，，由勾股定理得，，即，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图所示，斜坡的坡度为，，过点B作，在，，∴设，，由勾股定理得，，∴，解得（负值舍去），∴，即此时小球距离地面的高度为，故答案为：．15.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵方程是一元二次方程，∴，∴a的范围是：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是要考虑两方面：一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．16.已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝__（结果保留根号）．【答案】5﹣5【解析】【分析】根据黄金分割比的定义计算即可．【详解】根据黄金分割比，有故答案为：．【点睛】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比的定义是解题的关键．17.已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是________．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可．【详解】解；∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x的增大而增大，∴，∴，故答案为：．18.若对于任意正整数x均满足y＝1．则当x分别取2，3，…，2021时，所对应y值的乘积是_____．【答案】【解析】【分析】分别将x=2，3，…，2021代入，利用平方差公式因式分解得：【详解】当x＝2时，y＝1（1）（1），当x＝3时，y＝1（1）（1），当x＝4时，y＝1（1）（1），当x＝2021时，y＝1（1）（1），∴．故答案为：．【点睛】本题考查了代入求值和平方差公式的运用，数字类规律问题，正确代入并利用平方差公式得到规律是本题的关键．三、解答题（共10小题，共88分）19.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算方法是解题的关键．（1）先把方程右边的式子移到左边，再利用提公因式法把方程左边分解因式，再解方程即可；（2）先计算出特殊角三角函数值，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【小问1详解】解；∵，∴，∴，∴或，解得；【小问2详解】解：．20.已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，AB在阳光下的投影．（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影；（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知连接，过点作，即可得出就是的投影；（2）利用三角形得出比例式，求出即可．【小问1详解】解：作法：连接，过点作，交直线于，如图所示，线段就是的投影．【小问2详解】解：太阳光线是平行的，∴．．又，．，，，，，．【点睛】此题主要考查了平行投影的画法以及相似三角形的应用，根据已知得出是解题关键．要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．21.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为2万件，2021年12月的销量为2.42万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．【答案】（1）10%（2）2.662万件【解析】【分析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，利用2021年12月的销量年10月的销量月平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）利用2022年1月的销量年12月的销量月平均增长率），即可求出2022年1月“冰墩墩”的销量．【小问1详解】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．【小问2详解】解：（万件）．答：2022年1月“冰墩墩”的销量为2.662万件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．22.（ElectronicTollCollection）不停车收费系统是目前世界上最先进路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站，（1）小李通过A通道的概率为__________；（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，再由概率公式即可求解．【小问1详解】解：小李通过A通道的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如图：由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，（小李和小赵经过相同通道）．【点睛】本题考查了列表法和树状图法，概率公式，正确的画出数状图是解题的关键．23.如图，矩形的对角线、相交于点，点、在上，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，则的长为______．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案；（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．【小问1详解】证明：在矩形中，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形．【小问2详解】解：由（1）可知：，∵，∴，∵，∴∴在中，．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定．24.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4.9【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE－AD=4.9．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．25.某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【答案】13.6米【解析】【分析】如图，连接EF，交BD于点M，用DM的长度分别表示EM和FM的长度，再根据EM和FM的和等于AC的长度，求出DM的长，在用DM和BM的和求出BD的长度即可．【详解】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，∴EM＝DM，设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，在Rt△DFM中，tan37°＝，即≈0.75，解得x＝12，经检验，x＝12是原方程的根，即DM＝12米，∴DB＝12+1.6＝13.6（米），答：树BD的高度为13.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角和俯角问题．准确的构造出直角三角形是解题的关键，在解题的过程中可以巧用公共边列方程进行计算．26.如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若y1＜y2，直接写出x的取值范围．【答案】（1），y2＝2x+6，过程见解析；（2）15，过程见解析；（3）﹣4＜x＜0或x＞1，过程见解析．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论；（2）设直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C，利用直线AB解析式求得点C，D的坐标，用△AOC，△OCD和△OBD的面积之和表示△AOB的面积即可；（3）利用图象即可确定出x的取值范围．【小问1详解】解：点A（1，8）在反比例函数上，∴k1＝1×8＝8．∴．∵点B（﹣4，m）在反比例函数上，∴﹣4m＝8．∴m＝﹣2．∴B（﹣4，﹣2）．∵点A（1，8）、B（﹣4，﹣2）在一次函数y2＝k2x+b的图象上，∴，解得：．∴y2＝2x+6．【小问2详解】解：设直线AB与y轴交于点C，如图，由直线AB:y2＝2x+6，令x＝0，则y＝6，∴C（0，6）．∴OC＝6．过点A作AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E，∵A（1，8），B（﹣4，﹣2），∴AF＝1，BE＝4．∴=15答：△AOB的面积是15．【小问3详解】解：由图象可知，点A右侧的部分和点B与点C之间的部分y1＜y2，∴若y1＜y2，x的取值范围为：﹣4＜x＜0或x＞1．【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长和利用数形结合的思想方法求得x的取值范围是解题的关键．27.如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）猜想线段DP与PE位置关系，并证明你的结论；（3）把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变（如图②），若∠ABC=60°，求∠DPE度数．（直接写出答案即可）【答案】（1）见解析（2）DP⊥PE，证明见解析（3）∠DPE=60°【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，即可求证；（2）由△BCP≌△DCP，可得∠CBP=∠CDP，再由PE=PB，可得∠CDP=∠E，然后根据三角形内角和定理，即可求解；（3）设PE交CD于点F，先证明△BCP≌△DCP，可得∠CBP=∠CDP，再由PE=PB，可得∠CDP=∠E，然后根据三角形内角和定理，即可求解．【小问1详解】证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；【小问2详解】证明：DP⊥PE，理由如下∶由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，∵∠1=∠2，∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC=90°，∴∠DPE=∠ABC=90°，∴DP⊥PE；【小问3详解】解：如图，设PE交CD于点F，在菱形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP，AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC=60°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，∵∠PFD=∠CFE，∴∠DPE=∠DCE=60°，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三