云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

保山市文山州2022~2023学年秋季学期期末高二年级质量监测试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数SKIPIF1<0（i为虚数单位），则共轭复数SKIPIF1<0的虚部是（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.i【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再利用共轭复数及复数的概念求解.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的虚部是SKIPIF1<0，故选：B．2.设集合SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据定义分别判断充分性和必要性.【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时有SKIPIF1<0，则条件具有充分性；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，故不具有必要性，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件，故选：A．3.已知数列SKIPIF1<0是等差数列，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为d，可得SKIPIF1<0，解方程即可得出答案.【详解】设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为d，∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．解得:SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：B．4.若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0或1 B.SKIPIF1<0 C.1 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行得：SKIPIF1<0，解方程即可得出答案.【详解】由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：C．5.已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.3 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据题意可得SKIPIF1<0，结合基本不等式运算求解，注意等号成立的条件.详解】∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：C.6.设SKIPIF1<0，夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A.37 B.13 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的数量积和模的运算求解.【详解】解：∵SKIPIF1<0．夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D．7.已知点P为双曲线SKIPIF1<0右支上一点，点SKIPIF1<0分别为双曲线的左、右焦点，点I是SKIPIF1<0的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有SKIPIF1<0成立，则离心率的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据条件和面积公式得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系，从而得出离心率的范围.【详解】设SKIPIF1<0的内切圆的半径为r，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由双曲线的定义可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以双曲线的离心率的取值范围是SKIPIF1<0.故选：D8.设SKIPIF1<0，则下列正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】先通过符号判断SKIPIF1<0最小，再通过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0比较，确定SKIPIF1<0.【详解】∵SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最小．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.从SKIPIF1<0中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，不是对立事件的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】ABD【解析】【分析】根据对立事件得概念逐一判断.【详解】根据题意，从SKIPIF1<0中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是偶数不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件：④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件，故选:ABD．10.已知函数SKIPIF1<0的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0B.函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增C.函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称D.该图象向右平移SKIPIF1<0个单位可得SKIPIF1<0的图象【答案】BCD【解析】【分析】由图象可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，然后根据三角函数的性质对每个选项进行分析即可【详解】由图象可知：SKIPIF1<0，周期SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0．对于A：SKIPIF1<0，故A错误；对于B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为在SKIPIF1<0上，正弦函数SKIPIF1<0单调递增，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故B正确；对于C：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条对称轴，故C正确；对于D：SKIPIF1<0向右平移SKIPIF1<0个单位得SKIPIF1<0，故D正确，故选：BCD．11.设等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.数列SKIPIF1<0单调递增 D.对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0【答案】AD【解析】【分析】A.由SKIPIF1<0判断；B.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0判断；C.由SKIPIF1<0判断；D.由最值的定义判断.【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，A正确；而SKIPIF1<0，故无法判断SKIPIF1<0的正负，B错误；∵SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0单调递减，C错误；∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，D正确，故选：AD．12.一般地，我们把离心率为SKIPIF1<0的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（）A.若SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点的“黄金椭圆”上，则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0是“黄金椭圆”，则SKIPIF1<0C.若“黄金椭圆”的左焦点是SKIPIF1<0，右顶点和上顶点分别是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D.设过原点的直线与焦点在SKIPIF1<0轴上的“黄金椭圆”分别交于SKIPIF1<0两点，“黄金椭圆”上动点SKIPIF1<0（异于SKIPIF1<0），设直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】选项A由SKIPIF1<0的值可求得SKIPIF1<0，进而根据椭圆的定义可求得SKIPIF1<0的周长，选项B需分焦点在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上进行讨论，选项C，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0坐标用SKIPIF1<0表示，利用勾股定理可验证，选项D利用点差法可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0关系可求得结果.【详解】对于SKIPIF1<0选项，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，故A正确；对于B选项，当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0，故B不正确；对于C选项，由题意可得SKIPIF1<0，要使椭圆为“黄金椭圆”，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D选项，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0由点差法可得SKIPIF1<0，因为动点P在“黄金椭圆”上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确；或对于D选项，由题意及椭圆的性质，可得SKIPIF1<0为定值，故可取SKIPIF1<0，设P点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为点P在椭圆上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为动点P在“黄金椭圆”上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0﹐所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确，故选：ACD．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分、共20分）13.抛物线SKIPIF1<0的准线方程为________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】将方程化为标准方程，得到p，进而得到准线方程.【详解】抛物线SKIPIF1<0化为标准方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故准线方程为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14.等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该数列通项公式为SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由SKIPIF1<0得到公比SKIPIF1<0,结合条件求得SKIPIF1<0,写出通项公式.【详解】设等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0,首项为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0故答案为:SKIPIF1<0.15.已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线与C相交于A，B两点，若直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，则C的离心率等于_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】设SKIPIF1<0，将坐标代入椭圆方程，并且两式作差，化简可得SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0以及离心率公式求解即可．【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<016.半正多面体（又称作“阿基米德体”），是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，其构成体现了数学的对称美．如图，这是一个棱数为24，棱长为SKIPIF1<0的半正14面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体沿共顶点的三条棱的中点截去八个相同的三棱锥所得，则这个半正多面体的体积为______﹔若点E为线段BC上的动点，则直线DE与平面AFG所成角的正弦值的取值范围为__________【答案】①.SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】首先根据题意得到该几何体是由边长为2的正方体截去8个正三棱锥所得，即可得到该几何体的体积，把几何体放入正方体中，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.【详解】由题意得该几何体棱长为SKIPIF1<0，所以该几何体是由边长为2的正方体截去8个正三棱锥所得，从而它的体积为SKIPIF1<0；如图所示，把几何体放入正方体中，建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.则设直线DE与平面AFG所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆M的圆心为SKIPIF1<0，它过点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0相切．（1）求圆M的标准方程；（2）若过点SKIPIF1<0且斜率为k的直线l交圆M于A，B两点，若弦AB的长为SKIPIF1<0，求直线l的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设圆M的标准方程为：SKIPIF1<0，由圆心M到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，解方程即可得出答案.（2）设直线l的方程为SKIPIF1<0，圆心M到直线l的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解方程即可得出答案.【小问1详解】由题意，设圆M的标准方程为：SKIPIF1<0，则圆心M到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．所以圆M的方程为SKIPIF1<0．【小问2详解】设直线l的方程为SKIPIF1<0，则圆心M到直线l的距离为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．则直线的方程为SKIPIF1<0．18.某校为了解学生对食堂满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取40名同学进行询问打分，将最终得分按SKIPIF1<0，分成6段，并得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；（2）若分数在区间SKIPIF1<0的同学视为对食堂不满意的同学，从不满意的同学中随机抽出两位同学做进一步调查，求抽出的两位同学来自不同打分区间的概率．【答案】（1）SKIPIF1<0，77.5（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据概率和为1计算得到SKIPIF1<0，再根据中位数定义计算即可.（2）根据分层抽样得到分别取2人和4人，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【小问1详解】因为频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因为前三组的频率之和为SKIPIF1<0，所以中位数为SKIPIF1<0【小问2详解】打分区间在SKIPIF1<0的同学共有SKIPIF1<0人，分别记为A，B，打分区间在SKIPIF1<0的同学共有SKIPIF1<0人，分别记为a，b，c，d，从这6人中随机抽出两位同学，共有以下15种情况：SKIPIF1<0，其中，抽出的两位同学来自不同打分区间共有8种情况：SKIPIF1<0，所以抽出的两位同学来自不同打分区间的概率为SKIPIF1<019.已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列．（1）求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）先由数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列求解即可；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，利用错位相减法求解即可.【小问1详解】因为数列SKIPIF1<0是等比数列，故设首项为SKIPIF1<0，公比为q，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0是首项为1，公差为2的等差数列，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；【小问2详解】由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．20.在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（1）求角A的大小；（2）若BC边上的中线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）根据已知，利用正弦定理、两角和公式求解即可.（2）利用三角函数的性质、面积公式以及余弦定理建立方程组求解.【小问1详解】因为SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【小问2详解】如图，由(1)有：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①由余弦定理知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③由①②③，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0．21.如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点．（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）先证明四边形SKIPIF1<0是平行四边形，得到SKIPIF1<0根据线面平行判定定理可证得结论.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【小问1详解】证明：如图，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行且相等，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【小问2详解】解：令SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以可取SKIPIF1<0又因平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由图可知二面角钝二面角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0.22.已知点SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0