山西省晋中市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

2023年1月山西省高二年级期末调研测试数学（时间：120分钟满分：150分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中有且只有一个选项符合题目要求）1.经过点SKIPIF1<0的直线的斜率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.2【答案】D【解析】【分析】利用斜率公式即可求得经过点SKIPIF1<0的直线的斜率.【详解】由斜率公式可得：SKIPIF1<0，则经过点SKIPIF1<0的直线的斜率为2故选：D2.已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，则点SKIPIF1<0的坐标为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据关于啥轴对称啥不变，其它坐标变相反的对称变换口诀，结合点SKIPIF1<0的坐标即可求解.【详解】依题意，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0.故选：A.3.曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0更接近圆的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.相同 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别求出两个曲线的离心率进行比较，进而得出结论.【详解】分别将曲线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0化为标准方程可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的性质可得，曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，因此曲线SKIPIF1<0更接近圆.故选：A.4.已知SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.4 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义与性质运算求解.【详解】设等比数列的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.5.已知函数SKIPIF1<0的图象是下列四个图象之一，且其导函数SKIPIF1<0的图象如图所示，则该函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即得.【详解】由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左至右先减小后增大，且SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0处的切线的斜率为0，故BCD错误，A正确.故选：A.6.与两圆SKIPIF1<0及SKIPIF1<0都外切的圆的圆心的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆【答案】B【解析】【分析】设所求动圆圆心为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，设所求动圆圆心为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，由于动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0、圆SKIPIF1<0均外切，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此动圆的圆心SKIPIF1<0的轨迹为双曲线的一支.故选：B.7.洛书（如图）是一种关于天地空间变化脉络图案，SKIPIF1<0年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五为中，形成如图所示的九宫格.将自然数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0填入SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的方格内，使各行、各列、各条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“SKIPIF1<0阶幻方”.洛书就是一个三阶幻方，若记SKIPIF1<0阶幻方的对角线上数的和为SKIPIF1<0，例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0阶幻方的对角线上数的和为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】计算出SKIPIF1<0阶幻方中对角线的数字之和，然后令SKIPIF1<0即可得解.【详解】在SKIPIF1<0阶幻方中，共有SKIPIF1<0个数，这些数的和为SKIPIF1<0，每一条对角线上的数字和与每一行的数字和相等，均为SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：B.8.已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0为双曲线上一点，满足SKIPIF1<0，则该双曲线的右焦点SKIPIF1<0到渐近线的距离的平方为（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.2 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】求出双曲线SKIPIF1<0的焦点，结合已知求出点SKIPIF1<0的坐标，进而求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0到渐近线的距离作答.【详解】双曲线SKIPIF1<0的半焦距SKIPIF1<0，则焦点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中垂线上，设点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的渐近线为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到渐近线的距离为SKIPIF1<0，所以该双曲线的右焦点SKIPIF1<0到渐近线的距离的平方为SKIPIF1<0.故选：D二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.SKIPIF1<0是空间的一个基底，与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0构成基底的一个向量可以是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断即可.【详解】由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面，无法构成空间的一个基底，故B错误；因为SKIPIF1<0是空间的一个基底，由于不存在实数对SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，若成立则SKIPIF1<0，显然方程组无解，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可以作为空间的一个基底，故A正确，同理可得C、D正确；故选：ACD10.关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0表示的轨迹可以是（）A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.抛物线【答案】BC【解析】【分析】对实数SKIPIF1<0取值进行分类讨论，化简原方程，结合圆的方程以及圆锥曲线方程可得出结论.【详解】当SKIPIF1<0时，该方程表示的轨迹是直线SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，该方程表示的轨迹是直线SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，原方程可化SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，该方程表示的轨迹是双曲线；当SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时方程为SKIPIF1<0，该方程表示圆；综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.故选：BC.11.已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小C.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小D.存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】AC【解析】【分析】选项A，利用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再利用条件即可得得到结果；选项B和C，利用等比数列的性质，结合条件即可判断出B和C的正误；选项D，结合条件，利用数列的单调性即可得出结果.【详解】对于选项A，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选项A正确；对于B和C，由等比数列的性质，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，故选项B错误，选项C正确；对于D，因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是单调递增数列，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.12.设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增C.SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0D.方程SKIPIF1<0无解【答案】ACD【解析】【分析】求得SKIPIF1<0的值判断选项A；求得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调性判断选项B；求得SKIPIF1<0的最大值和最小值判断选项C；求得方程SKIPIF1<0解的个数判断选项D.【详解】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A正确；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，B错误；由SKIPIF1<0在在SKIPIF1<0上单调递增，区间SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时取极大值，在SKIPIF1<0时取极小值，当SKIPIF1<0增大时，SKIPIF1<0值不变，但SKIPIF1<0值增大，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0.所以C正确；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0无解，所以SKIPIF1<0选项正确.故选：ACD三，填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确答案填人答题卡中对应的位置）13.过点SKIPIF1<0，且垂直于SKIPIF1<0的直线的一般式方程为__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据直线垂直的条件，设所求直线方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入即可求解.【详解】又题意可设所求直线方程为SKIPIF1<0，因为直线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求直线的一般式方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.14.写出一个各项均小于SKIPIF1<0的无穷递增数列的通项公式：SKIPIF1<0__________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】【分析】根据数列的单调性以及题意可得出满足条件的一个数列的通项公式.【详解】对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为单调递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）.15.函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴相切，则SKIPIF1<0____.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】利用题给条件列出关于a的方程组，解之即可求得a的值.【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴相切，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<016.以抛物线SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0为圆心，半径为2的圆与直线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两个不同的点，则线段SKIPIF1<0长度的最大值为___.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】先求得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的最小值，进而利用垂径定理求得线段SKIPIF1<0长度的最大值.【详解】设点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，d取到最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）和圆弧构成，截面总高度为SKIPIF1<0，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有SKIPIF1<0米，已知行车道总宽度SKIPIF1<0.（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？【答案】（1）答案见解析（2）SKIPIF1<0米【解析】【分析】（1）以抛物线顶点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点SKIPIF1<0在圆上，求出SKIPIF1<0的等式，解之即可；（2）将SKIPIF1<0的方程代入圆的方程，求出SKIPIF1<0值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.【小问1详解】解：以抛物线的顶点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，故圆心在SKIPIF1<0轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为SKIPIF1<0易知，点SKIPIF1<0在圆上，将SKIPIF1<0的坐标代入圆的一般方程得SKIPIF1<0，则该圆弧所在圆的一般方程为SKIPIF1<0.【小问2详解】解：令SKIPIF1<0代入圆的方程得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），由于隧道的总高度为SKIPIF1<0米，且SKIPIF1<0（米），因此，车辆通过隧道的限制高度为SKIPIF1<0米.18.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：甲同学记得缺少的条件是首项SKIPIF1<0的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知______．（1）判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系；（2）若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，结合等比数列的基本量关系求解可得SKIPIF1<0，再代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0判断即可；（2）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代入可得SKIPIF1<0，再根据错位相减求和求得SKIPIF1<0即可证明.【小问1详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上可知缺少的条件是SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．【小问2详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上面两式相减可得SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．19.如图所示，在棱长为2的正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分别满足SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求出SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）先利用正四面体几何性质用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0；（2）先求得直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值，进而得到直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【小问1详解】连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【小问2详解】根据题意，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值即为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值的绝对值.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0.20.抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点SKIPIF1<0的直线（斜率存在且不为0）交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中垂线交抛物线的对称轴于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）不妨取抛物线的方程为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0中垂线方程，即可求出SKIPIF1<0点坐标，即可求出SKIPIF1<0，从而得解.【小问1详解】因为抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【小问2详解】在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响SKIPIF1<0的取值，因此不妨取抛物线的方程为SKIPIF1<0，此时焦点SKIPIF1<0，根据题意，直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为SKIPIF1<0，因此设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0联立，得关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，中垂线方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即中垂线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.21.在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，过SKIPIF1<0的平面截此正方体，得如图所示的多面体，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点.（1）点SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的位置，并说明理由；（2）若SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离.【答案】（1）SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，理由见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）利用线面平行性质定理和面面平行性质定理即可确定动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的位置；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离.【小问1详解】设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由正方体SKIPIF1<0知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0