甘肃省庆阳市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

高二数学考试注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册第一、二章约占30%，第三、四章约占70%．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.SKIPIF1<0（）A.10 B.5 C.20 D.4【答案】B【解析】分析】用排列数公式SKIPIF1<0展开即可求得.【详解】SKIPIF1<0．故选：B2.直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0（）A.－2 B.2 C.6或－1 D.3【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果.【详解】由题可知，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；经验证，符合题意．故选：B3.现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里.【详解】先排7位学员，共有SKIPIF1<0种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为SKIPIF1<0．故选：A4.等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.－2 B.2 C.－1 D.－4【答案】A【解析】【分析】求出SKIPIF1<0，根据等比数列的性质求出.【详解】因为SKIPIF1<0为等比数列，且前n项和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据等比数列的性质有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．故选：A5.在SKIPIF1<0的展开式中，系数为有理数的项是（）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项SKIPIF1<0可确定系数为有理数时SKIPIF1<0的取值，即可得出结果.【详解】在SKIPIF1<0展开式中，根据通项SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0时系数为有理数，即第五项为SKIPIF1<0．故选：C6.已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，抛物线C上有一动点P，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A.6 B.8 C.7 D.9【答案】D【解析】【分析】利用抛物线定义将焦半价SKIPIF1<0转化成到准线距离，再根据三点共线时满足题意即可求得结果.【详解】记抛物线C的准线为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于T，如下图所示：抛物线定义可知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0当P，Q，T三点共线时，SKIPIF1<0有最小值，最小值为SKIPIF1<0．故选：D7.跑步是一项有氧运动，能提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小刘最近给自己制定了一个280千米的跑步健身计划，他第一天跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）A.30天 B.31天 C.32天 D.33天【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前n项和公式求解【详解】依题意可得，小刘从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设他经过n天后完成健身计划，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：C.8.已知圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，则圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆的方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用圆与直线相切，求出SKIPIF1<0，然后求出过圆SKIPIF1<0圆心垂直于直线SKIPIF1<0的直线方程，联立求出交点，再利用中点公式求出关于直线对称后圆的圆心坐标，半径没有改变，即可解决问题.【详解】由圆SKIPIF1<0的圆心为原点SKIPIF1<0，半径为5，又圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设过SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0垂直的直线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得直线l与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，设圆心SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，由中点公式有SKIPIF1<0所以圆心SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，因此圆C关于直线l对称圆的方程为：SKIPIF1<0，故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知椭圆C：SKIPIF1<0的一个焦点为F，P为C上一动点，则（）A.C的短轴长为SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C.C的长轴长为6 D.C的离心率为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果.【详解】由标准方程SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以短轴长为SKIPIF1<0，长轴长为SKIPIF1<0，即选项AC正确；离心率SKIPIF1<0，即D正确；由椭圆性质得SKIPIF1<0，故选项B错误.故选：ACD10.下列命题为真命题的是（）A.SKIPIF1<0展开式的常数项为20 B.SKIPIF1<0被7除余1C.SKIPIF1<0展开式的第二项为SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0被63除余1【答案】BCD【解析】【分析】利用二项展开式的通项及二项式定理即可求解.【详解】对于A，SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展开式的常数项为SKIPIF1<0，故A错误；对于B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0的倍数，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的倍数，所以SKIPIF1<0被7除余1，故B正确；对于C，SKIPIF1<0的展开式的第二项为SKIPIF1<0，故C正确；对于D，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0的倍数，所以SKIPIF1<0是63的倍数，所以SKIPIF1<0被63除余1，故D正确.故选：BCD.11.用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（）A.个位是0的四位数共有60个 B.2与4相邻的四位数共有60个C.不含6的四位数共有100个 D.比6701大的四位数共有71个【答案】ABD【解析】【分析】对于A特殊元素法，先排零；对于B捆绑法，分零是否被选到两种情况讨论；对于C在0，1，2，4，7选排，先排首位；对于C，分别考虑首位为7，前两位为67.【详解】个位是0的四位数共有SKIPIF1<0个，A正确．若不含0，则2与4相邻的四位数有SKIPIF1<0个；若含0，则2与4相邻的四位数有SKIPIF1<0个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确．不含6的四位数共有SKIPIF1<0个，C错误．比6701大的四位数共有SKIPIF1<0个，D正确．故选：ABD12.若直线l与抛物线SKIPIF1<0有且仅有一个公共点SKIPIF1<0，且l与C的对称轴不平行，则称直线l与抛物线C相切，公共点P称为切点，且抛物线C在点P处的切线方程为SKIPIF1<0．已知抛物线SKIPIF1<0上有两点SKIPIF1<0．过点A，B分别作抛物线C的两条切线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，过抛物线C上异于A，B的一点SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0交于点M，N，则（）A.直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0 B.点A，Q，B的横坐标成等差数列C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根据已知得SKIPIF1<0，结合抛物线上点的坐标关系，可判断A,B选项；根据直线方程与抛物线方程，列方程组，解出SKIPIF1<0坐标，根据向量的坐标运算，可判断C,D选项；【详解】解：已知抛物线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，抛物线上两点SKIPIF1<0，过点A，B分别作抛物线C的两条切线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则由题意可知：SKIPIF1<0，对于A，联立SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故A正确；对于B，因为SKIPIF1<0在抛物线上，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由A得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，点A，Q，B的横坐标不成等差数列，故B不正确；对于C，由A，B可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是抛物线上一点，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D，由C得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0______．【答案】16【解析】【分析】利用两圆外切则圆心距等于两圆半径之和即可.【详解】由圆SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,由两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：16.14.已知等差数列SKIPIF1<0单调递减，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公差d的一个整数取值可以是______．【答案】－4（或－3，－2，－1，只需写出一个答案即可）【解析】【分析】根据数列SKIPIF1<0单调递减可知SKIPIF1<0，利用通项公式可得SKIPIF1<0即可求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，由等差数列的通项公式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是单调递减数列，所以SKIPIF1<0，故d的整数取值可以是－4，－3，－2，－1．故答案为：－415.双曲线C：SKIPIF1<0上的点P到右焦点的距离为10，则P到左焦点的距离为______．【答案】18【解析】【分析】利用双曲线的定义即可得到所求距离．【详解】依题意，设C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故P在右支上，所以由双曲线的定义可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故答案为：18.16.某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为______．【答案】864【解析】【分析】所有可能值班安排共有SKIPIF1<0种，减去选一人连排三天、四天、五天夜班的情况得答案.【详解】所有可能值班安排共有SKIPIF1<0种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能，（1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有SKIPIF1<0种；若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有SKIPIF1<0种；若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有SKIPIF1<0种；若形如□▲▲▲□排列：共有SKIPIF1<0种；若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有SKIPIF1<0种；因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有SKIPIF1<0种．（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能．故满足题意的排夜班方式的种数为SKIPIF1<0．故答案为：864四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知SKIPIF1<0．在以下A，B，C三问中任选两问作答，若三问都分别作答，则按前两问作答计分，作答时，请在答题卷上标明所选两问的题号．（A）求SKIPIF1<0；（B）求SKIPIF1<0；（C）设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】选A利用二项式展开写出所有含SKIPIF1<0的项即可算出结果；选B，利用赋值法SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0进而求得结果；选C，分别令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可得出证明.【详解】选A解：因为SKIPIF1<0．选B解：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．选C证明：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．18.已知椭圆C：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为C上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标．（2）若直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中点为SKIPIF1<0，求直线l的斜率．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据SKIPIF1<0的关系求解.（2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解.【小问1详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【小问2详解】设A，B两点的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0．因为弦AB的中点SKIPIF1<0在椭圆内，所以SKIPIF1<0，所以直线l的斜率SKIPIF1<0．19.已知直线SKIPIF1<0经过抛物线SKIPIF1<0的焦点，且与抛物线交于A，B两点．（1）求m的值；（2）求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据抛物线几何性质写出焦点坐标，利用直线过焦点即可算出m的值；（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理和焦点弦公式即可求得SKIPIF1<0.小问1详解】抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，将焦点坐标代入直线方程得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【小问2详解】由（1）知，直线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0联立直线SKIPIF1<0与抛物线方程SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据抛物线焦点弦公式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<020.已知等差数列SKIPIF1<0的首项为1，公差为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设公差为d，利用SKIPIF1<0求解d，从而得到通项公式；（2）使用错位相减求和.【小问1详解】设公差为d，由题知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【小问2详解】由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①－②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．21.现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动．（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)6名志愿者平均分为2组，再3组进行分配；(2)由题意可分为333，225,234三种分配方案，分别分组分配计算即可.【小问1详解】依题意可得不同安排方法的总数为SKIPIF1<0．【小问2详解】根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4．故不同安排方法的总数为SKIPIF1<0