专题7.2 平行线中的动点问题（强化）（解析版）

专题7.2平行线中的动点问题1．直线、被直线所截，，点是平面内一动点．设，，．（1）若点在直线上，如图①，，则50；（2）若点在直线、之间，如图②，试猜想、、之间的等量关系并给出证明；（3）若点在直线的下方，如图③，（2）中、、之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．【解答】解：（1），，故答案为：50；（2），证明：过点作，，，，；（3），证明：过点作，，，，，．2．动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究当时，等于多少度，并简要说明理由．【解答】解：（1），，；（2），理由如下：，，，；（3）当时，或；理由如下：①当时，，如图2所示：；②当时，；如图3所示：；综上所述，当时，或．3．如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接．（1）若，则；（2）如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由．（3）在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角）【解答】解：（1），，，，，故答案为：；（2），理由如下：平分，，，，，平分，，，，，，；（3）分三种情况讨论，①如图，，，，；②如图，，，，③如图，，，，，，，，综上所述，或或．4．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．（1）如图1，平分，平分．若，则135．（2）如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点．①若，则．②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．（3）如图3，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．【解答】解：（1），，，平分，平分，，，；（2）①，，，平分，平分，，，，②不变，理由：平分，平分，，，，（3）平分，平分，，，，平分，，，分两种情况：当时，，，当时，，，综上所述，为或．5．如图1，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．（1）若，则；（直接写出答案）（2）若，求出的度数；（用含的代数式表示）（3）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系．【解答】解：（1），，、分别是和的角平分线，，，，，故答案为：；（2），，、分别是和的角平分线，，，，；（3），，．6．已知：如图所示，直线，另一直线交于，交于，且，点为直线上一动点，点为直线上一动点，且．（1）如图1，当点在点右边且点在点左边时，的平分线交的平分线于点，求的度数；（2）如图2，当点在点右边且点在点右边时，的平分线交的平分线于点，求的度数；（3）当点在点左边且点在点左边时，的平分线交的平分线所在直线交于点，请直接写出的度数，不说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点作．．．平分．．，（两直线平行，内错角相等）．同理可证．．．（2）如图2，过点作．．．平分．．，（两直线平行，同旁内角互补）．平分．（两直线平行，内错角相等）．．（3）如图3，过点作．平分．（两直线平行，内错角相等）．平分．．．（两直线平行，同旁内角互补）．；如图4，同理得：，，；如图5，，；综上，的度数为或．7．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．（1）的度数是，的度数是；（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）当点运动到使时，的度数是多少？【解答】解：（1），，，；平分，平分，，，，，故答案为：，；（2）不变，，，，，平分，，；（3），，当时，则有，，由（1），，，，故答案为：．8．如图1，直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动，、分别是和的角平分线．（1）；（2）如图2，若是的外角的角平分线，与相交于点，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过作直线与交于，且满足，求证：．【解答】（1）解：，，、分别是和的角平分线，，，，，故答案为：；（2）解：的大小不发生变化，是的外角，，，，平分，，是的外角，，；（3）证明：，，，是的外角，，，，，．9．（问题背景），点、分别在、上运动（不与点重合）．（问题思考）（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，．（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．①若，则．②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，．（用含的代数式表示）【解答】解：（1），，、分别是和角的平分线，，，，；故答案为：；（2）①，，，，是的平分线，，平分，，，故答案为：45；②的度数不随、的移动而发生变化，设，平分，，，，平分，，，；（3）设，平分，，，，平分，，，；故答案为：．10．问题情境（1）如图1，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得80；问题迁移（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．①如图2，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图3，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．【解答】解：（1）过点作，则，由平行线的性质可得，，又，，，故答案为：80；（2）①如图2，与，之间的数量关系为；②如图3，与，之间的数量关系为；理由：过作，，，，，．11．，点，分别在射线、上运动（不与点重合）．（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，135；（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．①若，则；②随着点，的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）直线与直线垂直相交于，，，、分别是和角的平分线，，，，；故答案为：135；（2）①，，，，是的平分线，，平分，，，故答案为：45；②的度数不随、的移动而发生变化，设，平分，，，，平分，，，．12．如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．（1）若，则140，．（2）若，则．（3）请你猜想一下与所满足的数量关系．【解答】解：（1）在中，，，在中，，，；故答案为：140；90；50．（2）在中，，，在中，，，，故答案为：35；（3）与之间的数量关系为：．证明如下：在中，．在中，．．，故答案为：．13．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点、均不与点重合．【探究】如图1，平分，平分．①若，则25．②在点、的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点．在点、的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，直接写出的度数的变化范围．【解答】解：【探究】①，，，，平分，；故答案为：25；②不变，．平分，平分，，，，直线与互相垂直，垂足为，，．【拓展】不变，，理由如下：平分，平分，，，，，，点、在运动的过程中，．14．已知：如图，，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．（1）当时，求的度数；（2）试问动点，分别在射线，上的运动过程中，的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点，的运动发生变化，请求出变化的范围．【解答】解：（1），，，平分，平分，，，，，的度数为；（2）的大小不变化．理由：平分，平分，，，，，，，的大小不发生变化．15．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图），其中，，．（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若三角板保持不动，绕顶点转动三角板，在转动过程中，试探究等于多少度时，？请你直接写出答案．【解答】解：（1），，，；（2），理由如下：，，；（3）当或时，．如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，当时，，此时；如图③，根据内错角相等，两直线平行，当时，．16．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．（1）猜想直线与直线有怎样的位置关系？说明你的理由；（2）若点为直线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①如图2，当点在射线上运动时，若，求的度数；②当点在直线上运动时，请直接写出和的数量关系．【解答】解：（1）结论：．理由：如图1中，平分交于点，，．，．（2）①如图2中，，，，，，，，，．②结论：或．理由：当点在的右侧时，可得．，，，，，，，，．当点在上时，可得．理由：，，又平分，平分，，，，又，中，，即；当点在点的左侧时，可得．理由：，，又平分，平分，，，，又，中，，即．17．，点，分别在射线、上运动（不与点重合）．（1）如图1，平分，平分，若，求的度数．（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．①若，则45；②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．【解答】解：（1），，，，平分，平分，，，．（2）①，平分，平分，，，，，故答案为：45．②不变，理由：，点、在运动的过程中，．18．已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧，点在直线上．（1）如图1，若，，直接写出的度数；（2）射线为的角平分线．①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；②当点与点不重合，且时，直接写出的度数．【解答】解：（1）如图所示：，，，，，，故答案为：；（2）①，证明：，，，又平分，，，，．即；②Ⅰ、如图所示：点在点右侧，此时有，，，又，，；Ⅱ如图所示，点在点左侧，点在点右侧，平分，，，，，，，，，，又，，；Ⅲ如图，、均在点左侧，此时，，，，．综上所述：或．故答案为：或．19．在中，射线平分交于点，点在边上运动（不与点重合），过点作交于点．（1）如图1，点在线段上运动时，平分①若，，则；若，则；②试探究与之间的数量关系？请说明理由；（2）点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①若，，则，，，平分，平分，，，，；若，则，平分，平分，，，，；故答案为：；；②；理由如下：由①得：，，，，；（2）如图2所示：；理由如下：由（1）得：，，，，．20．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．①如图1，当点在的左侧时，猜想，，满足的数量关系，并说明理由；②如图2，当点在的右侧时，直接写出，，满足的数量关系为．（2）如图3，，分别平分，，且点在左侧．①若，则的度数为；②猜想与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）①如图1，当点在的左侧时，过点作，则，，，，当点在的右侧时，过点作，则，，，，即，；故答案为：；（2）①，则，由（1）知，，分别平分和，，，故，故答案为；②．理由：如图3，，分别平分和，设：，，则，，即：．21．点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．（1）如图1，当点在右侧时，求证：；（2）如图2，当点在左侧时，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数为．【解答】证明：（1）平分，．又，．．．，．．（2）过点作，交于点，如图，，．，，，．（3）设，则，．．平分，．．．，．．，．，，解得：．，故答案为：．22．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①当点在点的右侧时，若，求的度数；②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【解答】解：（1）平分，又，，；（2）①如图2，，，又平分，平分，，，又，中，，即；②点是射线上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点在点的右侧时，．证明：，，又平分，平分，，，又，中，，即；如图3，当点在点的左侧时，．证明：，，又平分，平分，，，又，中，，即．23．【课本再现】（1）如图1，在中，线经过点且．求证：．【变式演练】（2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数．【方法应用】（3）如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点、重合）．当时，平分，平分交直线于点，求的度数．【解答】解：【课本再现】（1）如图1中，，，，，．【变式演练】（2）如图2中，，，，；【方法应用】当点在点的上方时，，，平分，平分，，，由三角形外角的性质可得：，，，即．当点在点的下方时，如图中，可得综上所述，或．24．如图，，点．分别在、上运动（不与点重合）．（1）如图1，，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．①若，则45．②猜想：的度数是否随，的移动发生变化？并说明理由．（2）如图2，”，，，其余条件不变，则（用含、的代数式表示）【解答】解：（1）①、，，平分、平分，，，，故答案为：45；②的度数不变．理由是：设，平分，，，，平分，，；（2）设，，，，，，，，故答案为：．25．（1）如图1，，，．求度数；（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点作．．，．．．．．（2）如图2，过点作．，即．，，．，即．．．（3）当在的左侧，如图3．，．又，，即．当在的右侧，如图4．，．又，．．26．如图1，于点，．（1）求证：；（2）如图2，点从点出发，沿线段运动到点停止，连接，．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点与点，，重合的情况）？并说明理由．【解答】解：（1）如图1，于点，，又，，．（2）如图2，当点在，之间时，过作，，，，，；如图所示，当点在，之间时，过作，，，，，；如图所示，当点在，之间时，过作，，，，，．27．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．（1）在中，，，则为3倍角三角形．（2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．（3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数．【解答】解：（1），，，，为3倍角三角形，故答案为：3；（2）解：，．又平分，平