第二章 章末整合-高中同步学案优化设计数学A版必修第一册配人教版教学课件

高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHAUSHEJI章末整合第二章内容索引0102知识网络整合构建题型突破深化提升知识网络整合构建题型突破深化提升专题一一元二次方程的解集及其根与系数的关系方法技巧一元二次方程的解集及其根与系数的关系,虽在高考中不直接考查,但它是解决某些数学问题的基础,常在解题过程中用到.变式训练1已知关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0.(1)求证:方程有两个实数根;(2)当k为何值时,此方程的两个实数根互为相反数?(3)我们定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个正实数根x1,x2(x1>x2),满足2<<3,则称这个一元二次方程有两个“梦想根”.如果关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有两个“梦想根”,求k的取值范围.(1)证明

∵关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0,a=k,b=-(k-1),c=-1,Δ=b2-4ac=[-(k-1)]2-4k×(-1)=k2+2k+1=(k+1)2≥0,∴关于x的一元二次方程kx2-(k-1)x-1=0有两个实数根.(2)解

由根与系数的关系知x1+x2=,由题意知x1+x2=0,∴k=1.专题二用基本不等式求最值例2已知函数y=x+(m>0).(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.分析(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.方法技巧

应用基本不等式求最值的技巧(1)应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)答案

B专题三解含参不等式分析对a进行分类讨论,解不等式.注意讨论二次项系数等于0,及二次项系数不等于0时两个根的大小关系.方法技巧

解含参不等式的一般方法(1)二次项系数不含参数且二次三项式不能分解因式时,对Δ的取值进行讨论.(2)二次项系数不含参数,二次三项式可分解因式时,主要根据两根大小进行比较,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三种情况解答.(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.变式训练3设函数y=ax2+(b-2)x+3(a≠0).(1)若不等式y>0的解集为{x|-3<x<1},求a,b的值;(2)若b=-a,求不等式y≤1的解集.专题四不等式中的恒成立问题例4已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4.(1)若对一切实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对一切大于1的实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围.分析(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取值范围;(2)通过对一切大于1的实数x不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置及当x=1时y的值,即可求m的取值范围.解

(1)将不等式x2+mx>4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+4>0.由Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得0<m<4.故m的取值范围是{m|0<m<4}.(2)(方法1)将不等式x2+mx>4x+m-4分离变量m,则原问题可等价于对一∴m>0.故实数m的取值范围为{m|m>0}.(方法2)令y=x2+(m-4)x-m+4.∵对一切大于1的实数x,y>0恒成立,∴

或Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得m>0.故m的取值范围是{m|m>0}.方法技巧

分离变量法解恒成立问题对于x在某取值范围内,y≥0(或y≤0)型恒成立问题,我们一般利用分离变量法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应二次函数的图象与性质求解,注意要讨论对称轴与取值范围之间的关系,从而确定函数的最小(大)值.变式训练4若关于x的不等式ax2-2x+2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.(方法2)依据a的取值进行分类讨论:(1)当a=0时,