2023年江苏名校高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知sin(万+a)=1，且sin2av0,则-的值为()

11

A.7B.-7C.-D.一一

77

x/(x.)

2.已知函数f⑴=Je-以，x£(0,y)，当当>%时,不等式上」<上9恒成立,则实数a的取值范围为()

X々X\

A.(-oo,e]B.(-oo,e)C.(一8，*|)D.(一双]

3.已知a,1是两平面，I,m,〃是三条不同的直线，则不正确命题是()

A.若mJ_a,n//a,则B.若机〃a,nila,则根〃〃

C.若LLa,lllfi9贝UaLffD.若a邛,皿,且/〃©则"

4.已知命题p：若a>l,b>c>\,则log/<log,a；命题q：*)((),小》),使得2』<log.3%”，则以下命题为真

命题的是()

A.P^QB.C.(->p)D.(-)p)A(->q)

5.已知正四面体ABC。的棱长为1,。是该正四面体外接球球心，且配=+方，x,y,zeR,则

x+y+z=（）

31

A.-B.一

43

11

C.-D.-

24

6.已知集合4=｛巾2-3工一10<（）｝,集合3=同—则AA8等于（）

A.|x|-l<x<51B.|x|-l<x<5｝

C.1x|—2<x<61D.|x|-2<x<51

7.已知函数/(x)满足/(4)=17,设“Xo)=%,贝胪%=17”是“玉)=4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.若aw[L6],则函数丁=三卫在区间[2,+8）内单调递增的概率是（）

4321

A.-B.—C.—D.—

5555

9.记M的最大值和最小值分别为%ax和叫…若平面向量£、b>C，满足同第=£%=△伍+涕一'=2,

贝IJ（）

_V3+V7

B.|a+c|=/二也

linax2

IImax2

--I&币V3-5/7

0~C!min-2

2

10.阅读如图的程序框图，若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（

)

A.i>5B.Z>8C.z>10D.Z>12

11.若a<b<。,则下列不等式不能成立的是（）

1111,,,,,,

A.—>—B.------>—C.|。|>|句D.a'>h~

aba-ba

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（

A.6+2V3B.6+2及c.4+40D.4+4A/3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=e，(x+l)2,令<(x)=7'(x),篇(x)=/；(x)(〃eN*),若/,(幻=炉(4》2+公；+1),上可

表示不超过实数m的最大整数，记数列-\\的前n项和为S”,则[3S2(XX)]=_________

12…J-

14.已知函数/(x)=「+2A+4X2+8X，-2<A<0,若函数g(x)=4/(x)|+l有6个零点，则实数"的取值范围

x2+2x-l,x<-2,x>0

是.

15.某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，

那么高二年级被抽取的人数为.

16.已知实数且/—。=人—由闻=幺+土的最大值是_______

2ab

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AA6c中，角A,8,C的对边分别为。，4c,已知c(sin2A-cosBsinC)=；hsin2c.

(1)求角A的大小；

7T

(2)若。=一,c=2,求AABC的面积.

4

18.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为三人各射击一次，击中目标的次

2

数记为

(1)求4的分布列及数学期望；

(2)在概率PC=i)(i=0,1,2,3)中，若PC=1)的值最大，求实数。的取值范围.

22

19.(12分)已知椭圆£[+2=13〉。〉0)的左，右焦点分别为片，F2,|耳8|=2,"是椭圆E上的一个动

6rb

点，且△用耳工的面积的最大值为JL

(1)求椭圆E的标准方程，

(2)若4a,0),B(0,b),四边形ABCQ内接于椭圆£,AB//CD,记直线AO,3c的斜率分别为左，k2,求证:《网

为定值.

20.(12分)已知。力都是大于零的实数.

22

(1)证明幺a+幺b..〃+人；

ba

2a1

(2)若a>b,证明c/+77+-77>4.

ba(a-b)

21.(12分)设/(x)=xe"—ox?,^(x)=lnx+x-x2+1--(«>0)

a

(1)求g(x)的单调区间；

(2)设〃(x)=/(x)-ag(x)20恒成立，求实数。的取值范围.

22.(10分)某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不

超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/

度收费.

(D求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量％(单位：度)的函数解析式；

(II)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示

的频率分布直方图，若这10()户居民中，今年1月份用电费用不超过26()元的占80%,求。，。的值；

(m>在满足(II)的条件下，若以这loo户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数

据用该组区间的中点代替，记y为该居民用户1月份的用电费用，求丫的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

4

由5皿(乃+。)=］及5由2夕<0得到5m。、cosa,进一步得到tana,再利用两角差的正切公式计算即可.

【详解】

443

因为sin(%+a)=1，所以sina=-g,又sin2a=2sinacosavO,所以cosa=g,

g,所以tan]a—彳7Ttana-13r

tana---------------------=7.

41+tana〔_4

3

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用,考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

2.D

【解析】

/(x.)/(x,)/、/、

由J："<J%变形可得)<x2/(4)，可知函数g(x)=4\x)在xe(0,+8)为增函数，由

g'(x)=ex-2ax>0)恒成立，求解参数即可求得取值范围.

【详解】

XG(0,+00),

二%/(%)<9/(尤2)，即函数gOO=4<(尤)二"一"?在X£(0,+00)时是单调增函数.

贝!Jg'(x)-e'-2ax>0恒成立.

2aK—

x

令m(x)=贝(1m{x}=――^―

xx

xe(0,1)时,m\x)<0,m(x)单调递减,xG(1,+00)时m{x}>0,m(x)单调递增.

二.2a<fn(x)^n=加(1)=e,:.a<^

故选:D.

【点睛】

本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题，考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力

和计算求解的能力，难度较难.

3.B

【解析】

根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面

垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.

【详解】

A.若〃//a,则在a中存在一条直线/,使得///〃，m±a,lua,则加_L/,又///〃，那么机，“，故正确；

B.若m//a,nlla,则机〃〃或相交或异面，故不正确；

C.若〃/£,则存在au£,使///a,又/_La,:.aLa,则。_16，故正确.

D.若a//〃，且则/u6或/〃4,又由/①〃:.U//3,故正确.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.

4.B

【解析】

先判断命题P，4的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

,1,111

•ogfc«=-----.log(.a=------,因为a>i,b>c>\,^T^,0<logflc<log(,/7,所以------>:-----即命题p

log„blog.,clog„clog"

为真命题；画出函数y=2*和y=log3X图象，知命题g为假命题，所以为真.

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题〃国的真假，难度较易.

5.A

【解析】

3

如图设好‘平面BO,球心。在AP上'根据正四面体的性质可得=根据平面向量的加法的几何意义'

重心的性质，结合已知求出x+y+z的值.

【详解】

如图设平面8c。，球心。在Ab上，由正四面体的性质可得：三角形8C。是正三角形,

AF逅，在直角三角形R98中,

BF告卜心:与

=A。邛,

OB2=OF2+BF2nOA2=-Aoy

AO^-AF,AF=AB+BF>AF=AD+DF>AF=AC+CF>因为尸为重心，因此fB+EC+ED=O,则

4

3AF=AB+AC+AD>因此标=；（而+恁+而），因此x=y=z=；,则x+y+z=；,故选A.

【点睛】

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.

6.B

【解析】

求出A中不等式的解集确定出集合A，之后求得4nB.

【详解】

由A=卜,-3x-10<o|=1x|(x+2)(x-5)<o1=,卜2<x<5},

所以AcB={x卜l〈x<5},

故选：B.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.

7.B

【解析】

结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】

解：若与=4,则/(/)=/(4)=17,即％=17成立，

若/'(x)=f+l,则由/(%)=%=17,得/=±4,

贝m为=17”是“%=4”的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题.

8.B

22

【解析】；函数^=午@在区间[2,+8)内单调递增，.•.，=1一点=£于30,在[2,+8)恒成立，在

[2,+8)恒成立，.・.4",；4W1,6],.”€[1,4],，函数.丫=£;@在区间[2,+8)内单调递增的概率是合=|,

故选B.

9.A

【解析】

设。为2、坂的夹角，根据题意求得。=(,然后建立平面直角坐标系，设2=宓=(2,0),b=0B=(l,>j3),

2=&e=(x,y),根据平面向量数量积的坐标运算得出点c的轨迹方程，将和忖+4转化为圆上的点到定点距

离，利用数形结合思想可得出结果.

【详解】

由已知可得7石=问-Wcose=2,贝!|cose=；,Q0W8V万，；.e=q,

建立平面直角坐标系，设办=次=(2,0),6=丽=(1网,c=OC^(x,y),

由c・（a+2B-c）=2,可得（工,丁）・（4一2X,26—2》）=2,

即以-2/+20-2丁=2,

（万Yq__________

化简得点C的轨迹方程为（x_1）2+y_t则B_《=J（x_2）2+y2,

、214

则归一4转化为圆（x—iy+y—与=［上的点与点（2,0）的距离，.平一4=卜+『§）+,=书包,

川=网?1手F

卜+C卜，（尢+2）2+y2,

|£+，转化为圆（％-1）2+y一与=［上的点与点（—2,0）的距离，

布+,J+田+」=回运斗+同J+田旦叵◎

11mx丫（2J22IImim丫（2J22

故选：A.

【点睛】

本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,

考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.

10.C

【解析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时i的值，进而得判断框内容.

【详解】

根据循环程序框图可知，S=0,i=l

则s=l,i=3,

S=4,i=5,

S=9,i=7,

S=16,i=9,

S=25,1=11,

此时输出S,因而i=9不符合条件框的内容，但7=11符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项,

故选：C.

【点睛】

本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.

11.B

【解析】

根据不等式的性质对选项逐一判断即可.

【详解】

选项A：由于a<b<0,即必>0,b—a>0»所以-----——■—>0,所以一>:，所以成立；

ababab

116c]1

选项B：由于。<匕<0,即。一匕<0,所以一-一一=—―-<0,所以一所以不成立；

a-baa{a-b)a-ba

选项C：由于a<6<0,所以一a>—b>0,所以|。|>|勿，所以成立；

选项D：由于。<匕<0,所以一。>—8>0,所以所以/>〃，所以成立.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等关系和不等式，属于基础题.

12.C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可.

【详解】

解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P-ABC,

正方体的棱长为2,

该几何体的表面积:

—x2x2+—x2x2+—x2x2^2+—x2x2^2=4+4起.

2222

故选C.

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4

【解析】

,2a1

根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得。“=1,b“=2〃+l,c=n2+n+i,进而得到:;~7li==，

n2%-2n-

再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.

【详解】

，

由题意，函数/(x)=e'(x+l)2,且工(x)=/'(x),/,+I(x)=/,(x)(neN,),

22

可得工(x)=f'M=e'(x+4x+3),f2(x)=/'(x)=e\x+6x+7)

力(x)=月(x)=„+8x+13),力(x)=方(x)=e，(Y+10x+21),……

x2

又由<(x)=e(<2,,x+bnx+cn),可得｛4｝为常数列，且=1,

数列｛"｝表示首项为4,公差为2的等差数列，所以2=2〃+2,

其中数列｛%｝满足C2-。=4,-。2=6,一=8,…,c“一C,I=2n,

〜,、i/、/、/、/(〃-1)(4+2〃)2r

所以—c]+(c2—q)+(c3—C2)d---1~(cn—)=4H---------------------=几+〃+1,

、2an_2x1_1

所以2%-22(/+〃+1)-(2〃+2)n2

111111士一"〃之2），

又由而下----，-2<------

〃+1nn(n-l)

可得数列｛-；^的前n项和为1—1+不一----1--------1-----

〃(〃+1)223nn+1〃+1

J_131

数列｛--｝的前"项和为1H----+----H

(«-1)-«2334nn+\2n+\

所以数列二7a一的前〃项和为S“，满足1———<5„<-———

2cn-bnJn+12n+l

393

所以3(1-——)<3S2001)即3———<<-———

20012(0X0X0)2001-00022001

又由上可表示不超过实数〃7的最大整数，所以［3520001=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和

的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

【解析】

由题意首先研究函数y=|/（x）|的性质，然后结合函数的性质数形结合得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实

数a的取值范围.

【详解】

当T<x<0时，函数f（x）=f+2x在区间（一1,0）上单调递增，

很明显《X）«-1,0）,且存在唯一的实数*满足f（xj=—g,

当一lwr<0时，由对勾函数的性质可知函数y=f+j在区间（-1,一；）上单调递减，在区间上单调递增，

结合复合函数的单调性可知函数y=V+2X+7工厂在区间（-1,不）上单调递减，在区间（x，0）上单调递增，且当

4x+ox

X=X|时，x2+2x+—5~—=1,

4x+8x

考查函数y=,+2x—1］在区间(0,+8)上的性质，

由二次函数的性质可知函数y=卜2+2x-l|在区间(0,0-1)上单调递减，在区间(&-1,+8)上单调递增,

函数g(x)=a\f(x)\+1有6个零点，即方程4/(刈+1=0有6个根，

也就是|f(x)|=有6个根，即y=|/(x)|与y=一_1有6个不同交点，

aa

注意到函数y=x1+2x关于直线x=—1对称，则函数y■/(x)|关于直线x=—1对称，

154

观察可得：一一＜-,即-l＜a＜一-.

a45

综上可得，实数。的取值范围是一1，一［)

故答案为

【点睛】

本题主要考查分段函数的应用，复合函数的单调性，数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，意在考查学

生的转化能力和计算求解能力.

15.20

【解析】

由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果.

【详解】

设高一、高二、高三人数分别为。也c,则2/?=a+c且a+Z?+c=1800,

解得：b=600,

用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为60乂偌=20人.

18()()

故答案为：2().

【点睛】

本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.

163正、

lo------F1

2

【解析】

将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值

【详解】

=_1,又实数图形为!圆，如图：'/代'/

由=人—〃2化简得—

12；I2>

224H七

a2-a=b-b29RTWCZ2=a+b-b29b2--a-i-b-a2

i_.b~d~a+b—cra+b—b1b.aba7c

miId----Q+1H------bt=—T----a-b+2

abababab

由几何意义得[及—1,1+0],贝![V2-L1+V2],为求最大值则当过点A或点3时。+方取最小值，可得

M=V2-1+1+V2------+2=—+1

2222

所以例=1的最大值是----1-1

ab2

【点睛】

本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题,对要求的二元二次表达式进行化简，然

后求出最值问题，本题有一定难度。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)A=工；(2)北正

32

【解析】

⑴利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.

⑵由(1)有A=三，根据正弦定理可得4=#，进而求得sinB的值，再根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】

(1)由c(sin2A-cosBsinC)=工Z?sin2C,得csin2A='bsin2C+ccosBsinC,

得2csinAcosA=—。•2sinCeosC+ccosBsinC,

由正弦定理得2sinCsinAcosA=sinBsinCcosC+cosBsin2C?

显然sinCw0,同时除以sinC,得2sinAcosA=sinBcosC+cosSsinC.

所以2sinAcosA=sin(B+C).所以2sinAcosA=sinA.

ijr

显然5m4。(),所以28S4=1,解得馍54=一.又46(0,1),所以4=一.

23

2_a

(2)若。=2,，=2,由正弦定理得」一=，一，得—V=-T,解得°=

4sinCsinAsin-sm-'

.百垃1&+y/2

乂vsinBD=sin(A+C)=sinA4cosC+cosAsinC=——x----F—x——=-----------

22224

LesinB=-xV6x2xV6+V23+6

所以S△/IDC

ABC22-4-2

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用，需要根据题意用正弦定理进行边角互化，再根据三角恒等

变换进行化简求解等.属于中档题.

18.(1)史/，&的分布列为

g0123

1,^-(1-a2)1,a2

P(1-a)—(2a—a2)

222~2

⑵同

【解析】

（i）p©是“g个人命中，3一自个人未命中”的概率.其中g的可能取值为o、1、2、3.

P(g=0)=G°(l-g)CjCl—a)2=y(1—a)2；

PC=1)=C：・；C；(l—a)2+C：(1—；)C2a(l—a)=^-(l—a2)；

P(q=2)=G'；c；a(l—a)+C；a2=^-(2a—a2)；

p（g=3）=c：cl，a2=~^'

所以g的分布列为

g0123

1,1,a2

p7-(1-a)2—(1-a2)—(2a—a2)

222~2

g的数学期望为

E(£)=0x-(l-a)2+lx-(l-a2)+2x-(2a-a2)+3x—=.

22222

1,,

(2)P(^=l)-P(^=0)=y[(l-a2)-(l-a)2]=a(l-a)；

1),1—2a

P《=l)—P©=2)=-[(1—a2)—(2a—a2)]=——；

i1-2〃2

P(g=l)—P(q=3)=-[(1—a2)—a2]=——.

22

a(l-a)>0,

A-2a

>0,和OVaVL得OVaW^,即a的取值范围是（0,1

由

22I2.

2

22

19.(1)—+^-=1(2)证明见解析

43

【解析】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，弱的面积取得最大值班,

求出a,瓦C,即可得答案;

(2)根据题意可知4(2,0),5(0,73).因为AB//CD,所以可设直线的方程为

y,弘),。(々,月)，将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到不当的关系，再代入斜

率公式可证得上#2为定值•

【详解】

(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,

当“为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值班.

c=1

所以《—x2cxb=yfi,所以。=2,b-V3>

a1=b2+c2

元2v2

故椭圆E的标准方程为上+=1.

43

(2)根据题意可知A(2,0),3((),百)，因为AB//CD,

所以可设直线CD的方程为y=+(、

W6),Dx,y,）,C（x2,y2）.

-------1---------1

43l

由，、l9消去）可得6--4Gmx+4/%2-12=0,

y=----x+m

：2

山1、125/3mnn2yl31n

所以2+%=—-—，即为=-------%

V3

----------Y4-

直线AO的斜率Z一必_2।

X]—2Xj—2

直线8c的斜率”_力-6一一与J+

K、——

工2X2

所以

———■X]+m———马+加--^3~%1%2一~~~(尤]+々)~1—X|+—V3)

"2=---------------------------------------------------=-------------------——7―------------------------------

芭-

2x2(x,-2)X2

3_3.

户、々弓故攵他为定值•

(A:,-2)X24

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运

算求解能力，求解时注意坐标法的运用.

20.(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解析】

/h2

(1)利用基本不等式可得幺+。膜a,L+a2b,两式相加即可求解.

ha

b2\

(2)由(1)知a+b-----=ab+人①一",代入不等式，利用基本不等式即可求解.

aa

【详解】

2j2

(1)---F即勖--FCl2b

ba

j22

两式相加得上+土..4+8

ab

(从、h2(a-b)

(2)由(1)知a+b-----=ab+

Ia)

2a1.h~(a-b)a1

于是,a+—+----------..ab+------------+—+-----------

ba(a-b)aba(a-b)

.ab2(a-b)11

ab-v—+H------------------

Ib\a(a—b))

..2“>4.

ba

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

21.(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)；(2)0<a<e

【解析】

(1)g'(x)=T2x+；)(x-l),令g")>。，g'(x)<0解不等式即可；

(2).(x)=(x+1)炉—“(X+D=(x+1)(/—0),令/(x)=0得x。，即*=q,且/z(x)的最小值为

XXX。

/2(%0)=%0^-alnxQ-cix0-a+e9令//(不，之。，结合=—即可解决.