2021届高中数学综合、交汇习题集14

《2021届高中数学综合、交汇习题集30篇》

在这套习题中，我们仅仅关注高中数学知识之间的跨界组合、综合交汇的

考查。它们也许是数列与函数的交汇、也许是函数与几何的交汇、也许统计与

圆锥曲线的交汇、也可能是基本不等式与解三角形的交汇……

第14篇

1

1

1.（皖，2021届定远中学高三月考）已知幕函数/（x）=£的图象过点（4,2）,令,

/（〃+1）+/（〃）

（nwN*）,记数列｛2｝的前〃项和为S“,则Soo：（）

A.72018+1B.,2018-1C.V2019+1D.42019-1

2.（皖，2021届阜阳太和一中高三检测）己知向量。4,08的夹角为60、10Al=1,|0例=2,点C为乙408

m

的平分线上的一点，且OC=£H）,则-=（）

n

11

A.-B.-C.2D.3

32

3.（皖，2021届皖江名校高三联考）已知抛物线y=2px（p>0）的焦点为/，准线为/,DC：

（X—。）2+（>-»2=16过点尸且与/相切，X轴被口。所截得的弦长为4,则。=.

4.已知双曲线E的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线E的离心率e=6”是“双曲线E的渐

近线方程为尸±2"'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（皖，2021届定远育才学校高三月考）设函数〃x）=l-HLg（x）=ln（"2-3x+l）,若对任意

x,e[0,+oo）,都存在々eR,使得/（M）=g（尤2），则实数。的最大值为（）

99

A.-B.2C.-D.4

42

6.（皖，2021届育才学校高三月考）若集合A=｛X|、「=若A=B,则相

的值为（）A.2或3B._1或2C.2D.-1

7.（皖，2021届蚌埠市高三第一次质检）如图，E，E分别是正方形A8C0的边AB，AO的中点，把

QAEF,ACBE，△CFQ折起构成一个三棱锥P-CEF（A，B,D重合于P点），则三棱锥P-CEF

的外接球与内切球的半径之比是.

8.（皖，2021届蚌埠市高三第一次质检）设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，4<0,且S“ZS5,则下

列结论一定正确的是（）.

A.a5-a6>0B.a5-a6<0c.tz4-a6>0D.aA-a6<0

2

9.（皖，2021届皖江名校高三联考）已知抛物线y2=2px（p〉0）的焦点为/，准线为/,DC：

（x-ay+（y-26）2=16过点/且与/相切，则°=------

10.（皖，2021届定远育才学校高三月考）已知定义在R上的偶函数/（x）满足〃x+4）=〃x）+/（2）,

且尤e[0,2]时有/（x）=sinQzx）+21（冰）]而g（x）=/（x）-log^x+在区间[一3,3]上至多有

10个零点，至少有8个零点，则a的取值范围为（）

1~\r1

A.43,6B.43,5c.[2,5]D.[5,6]

IL（皖，2021届合肥市高三调研）己知三棱锥尸-ABC的顶点P在底面的射影。为口ABC的垂心，若

S

S&BC,S4011c=1PBC>且三棱锥P-ABC的外接球半径为3,则S&MB+S&PBC+S.C的最大值为

12.（2021届新高考地区期中考）数列也｝满足a=1,。=〃-4，其中2e[l,5],若存在正整数机，

"1W+1a

"+1"

当〃〉机时总有a“<0,则邠取值范围是.

13.（皖，2021届定远中学高三月考）在A4BC中，tanA=/，AB=2,AC=4,。是线段8C上一点，

3

4242

且Q3=4OC,则4>5。是（）A.-8B.8C.一一D.一

55

工22（6/>0,Z?>0）

14.（皖，2021届皖江名校高三联考）已知离心率为也的双曲线C：/一方=1的一个顶

点为尸，直线〃/龙轴，/交双曲线C于A，B两点，则NAPB取值范围是（）

（An

15.（皖，2021届定远育才学校高三月考）设/（x）是定义在R上的偶函数，对任意的xeH,都有

nV

,“2-x)=/(2+x)且当无£[-2,0]时，〃x)=2-1若在区间（-2,6]内关于x的方程

/（x）—log“（x+2）=0（0<a<1）恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是

3

《2021届高中数学综合、交汇习题集》第14篇参考答案

1答案D

2.【答案】C

【解析】利用点C为NA08的平分线上的一点，可利用菱形对角线平分对角进行作图，构造出四边形

1।为菱形，由|。4|=1,|。8|=2,设。4尸ZOA,则%从=帔，|则。2=所以，利用

—-k—■—•—2

向量的线性运算，即可得到OC=OA+OB[=kOA+-OB=mOA+nOB,进而求—即可

2n

【详解】

OB

如图，过点C作CAJIOBCBJIOA,则可得四边形。8C4为菱形，所M。4=|。目.设04=后。4,

—►----------k—►—►k►

则卜攵=|则08尸^OB,所以OC=OA,+OB]=kOA+.又因为OC=〃?QA+nOB，

m_k

所以71

2

3.【答案】1或3

【解析】根据题意，得到圆心（。/）在抛物线上，推出^=2/%；再由抛物线的定义，得到a=4-£；

联立求出〃=8p—p2；再由圆的性质，由题中条件，得出炉=12,进而可求出P,从而可求出a.

【详解】

由已知得圆心（。,。）在抛物线上，所以/=2pa；

又抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则。=4二P,

所以6=2P(4-P、=8p_p2,

Ii!

因为x轴被口C所截得的弦长为4，

根据圆的性质：圆心到弦的距离的平方，与弦长一半的平方之和，等于半径的平方；

所以从+4=4?，故匕2=12.

所以8p—p2=12,即p2—8p+12=0,所以p=2或〃=6,故。=3或a=\.

故答案为：1或3.

4

4.答案D

5.【答案】A

【解析】对任意x,e[0,+oo),都存在x2e/?,使得/(玉)=g(电)，即fM在[0,+8)上的值域(—8,0]

是g(x)在xeR上值域的一个子集即可，进而讨论。判断g(x)值域是否包含(-8,0]求。的最大值

【详解】

/(x)=l-Jx+1在xe[0,+00)上单调递减

/(%)£/(0)=0,而对e[0,+8),R,使得/(xj=g(%)

即xGR上，(-00,0]是g(x)值域的一个子集即可

在g(x)=In(ox2-3x+1)中

当a=0时，g(x)=ln(l-3x)在x<1上值域为R,故符合条件

3

当。工0时，令g⑺=lnf,t(x)=a^-3x+b即取值至少包含(0,1],有

1,当a>0时，A=9—4a20,0<aW?符合条件

4

,9

2、当“<0时，*X)max=1一——21恒成立，故符合条件

4。

一9

，综上，有：a<_

4

故选：A

6.C

7.【答案】2指

【解析】根据PC,PE,P”两两垂直可知，三棱锥P-CM的外接球也是以PC,PE,PF为长,宽，高的

长方体的外接球，即可求出其外接球半径，再根据等积法可求出其内切球的半径，从而得解.

【详解】

因为PC,PE,PF两两垂直，所以三棱锥P-CE/的外接球也是以PC,PE,PF为长,宽，高的长方体的

外接球，设其外接球半径为R,正方形边长为2，所以PC=2,PE=PF=1,

即2R=炉不IF,解得R=竽-

因为三棱锥P-CEF的表面积S即为正方形的面积，S=2x2=4,设其内切球的半径为r,

所以V=1x|xP£*xPFx尸C=：x|xlxlx2=V=^Sr=^_r=\即厂=，.

P-CEFTT7二7P-CEFTT~A

5

J6

因此，0=_1_=2痣.

r1

4

故答案为：2遍.

8.【答案】B

【解析】根据S>5得到JS4NS5再逐项排除选项.

n51

［^6-S5

【详解】

/54>55,得心,

根据已知可得>5

I\S65I6

故B正确，A错误;

若。5<0，。6=0，则C,D错误.

故选：B.

9.【答案】2或6

；,()］代入圆方程中得到一方程，圆心到/的距离等于半径得另一方程，解方程组即可.

【解析】F

【详解,

解：尸|，，01在(x—ay+(y-23『=16上

12J-

所以“一。1_=16，即〃一(1=2(1),

91+(0-2^)耳

(x-4)2+(y-26『=]6和与/相切，a+=4(2),

由(1)(2)得，所以。=2或p=6

故答案为：2或6.

10,【答案】D

【解析】有已知条件可得/(X)函数周期为4,由/(X)为偶函数即可得

,()_「in(加)+2啊(狗，|xe［0,2］，由题意知在区间［-3,3］上零点问题可转化为函数/(x)与

-sin(m)+2s|in(.)，*w［-2,0)

7

y=log(x+J有交点且零点个数即为函数图象交点的个数，结合函数图像分析即可求a的取值范围

"2

【详解】

6

由xc[0,2]时有/(x)=sin(乃r)+，sin(%d,知：/(2)=0

/(x+4)=/(x)+/(2)=>f(x+4)=/(x),即/(x)的周期为4

:在R上/(x)为偶函数，令xe[-2,0],则一九e[0,2]

/.f(x)=f(-x)=一sing)+2|sin(^x)|

sin(狗+2轲(加),|XG[0,2]

综上，周期为4的函数/(%)=

-sin(狗+2s|in(冰),^e[-2,0)

(7

g(x)=/(x)-logx+।在区间[一3,3]上有零点,则g(x)=。有f(x)=log(x+),即可转化为函

“2〃2

775

数/(x)与y=log(x+_)有交点，因为y=log(x+J图象必过(一_,0),在[-3,3]上至多有10个交

“2a22

点，至少有8个交点，即可得到如下函数图象

5<a<6

故选：D

11.【答案】18

【解析】连A。交5c于O,由顶点尸在底面的射影。为口ABC的垂心，得AD1BC,进而证明

7

BC^PA,PC1AB,PD1BC,由=、3叱。得AO-OO=PZ＞，根据三角形相似可得,

PA1AD，进而证明PA,PB,PC两两互相垂直，将三棱锥拓展为以PA,PB,PC为棱的长方体，可得

PA2+PB2+PC2=36.再由基本不等式，即可求出结论.

【详解】

连A。交BC于。，顶点P在底面的射影。为口A3C的垂心，

又尸0,平面ABC,POLBC,

POC\AD=O,8。，平面24。,8。1胡,8。，「。，

同理可证PC1AB,PB1AC,

Anpn

由S-S=S--WADOD^PD-,^.

△ABCAOBC4PBepDop

NPDO=ZPDA,：.丛POD□AAPD,：.ZAPD=ZPOD=90°,

PA1PD,又PA1BC,BCnPO=。,，PA_L平面PBC,

PA±PB,PA1PC,又PCA.AB,PAC\AB=A,：.PCJ.平面PAB,

：.PCIPB,PA,PA,PC两两互相垂直，

三棱锥P-ABC的外接球为PA,PB,PC为棱的长方体的外接球，

又三棱锥P-ABC的外接球半径为3,

P^+PB2+PC2=(2X3)2=36,

.e+s+s=LPA-PB+LPB-PC+1PC-PA

,,°△尸人B丁2BBC丁^APAC222

(PA2+PB2)