第20讲 图形的相似（原卷）初中数学

第二十讲一一图形的相似

考向一比例线段及其性质

典例引领

1.（2020•甘肃金昌市•中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部

以下。与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感，若图中力为2米，则”约为（）

C.1.42米D.1.62米

2.（2020•四川泸州市•中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末

比”问题:点G将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段是全长MN与较短的段GN

的比例中项，即满足些=空=造二1,后人把避二1这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段

MNMG22

的“黄金分割”点.如图，在AABC中，己知AB=AC=3,BC=4,若。，E是边5c的两个“黄

金分割”点，则的面积为（)

C5-275

A.10-475B.375-5D.20-875

2

1

变式拓展

1.（2020•湖南娄底市•中考真题）若2=4=_L（aHc）,则2二4=

ac2a-c

2.（2020•湖南湘潭市•中考真题）若则2二』=.

x7x

考向二平行线分线段成比例

典例引领

1二.（2020•辽宁营口市•中考真题）如图，在△ABC中，DE//AB,且则C*的值为（）

BD2CA

"D

3243

A.-B.-C.一D.-

5352

2.（2020•四川成都市•中考真题）如图，直线1川川3,直线AC和。口被心/2,4所截，AB=5,BC=6,

EF=4,则。E的长为（）

10

A.2B.3C.4D.—

2

变式拓展

1.（2020•山东临沂市•中考真题）如图，在AASC中，D,E为边AB的三等分点，EF//DG//AC,H

为A尸与OG的交点.若AC=6,则。”=.

AC1

2.（2020•吉林中考真题）如图，ABHCDHEF.若——=-,BD=5,则。E=

CE2

考向三相似多边形

典例引领

1.（2020•山西中考模拟）宽与长的比是1二！（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的

2

美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形A8CZ）,分别取

A。、BC的中点E、F,连接EF：以点尸为圆心，以尸。为半径画弧，交BC的延长线于点G：作GALA。，

交的延长线于点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGHD.矩形OCGH

3

2.（2020•海南中考模拟）如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分）,

如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

变式拓展

1.（2020•福建莆田市•中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是（）

A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形

2.（2020•贵州六盘水市•中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（）

A.a=4,b=y/5+2B.a=4,b=y/5-2C.a=2,b=6+1D.a=2,b=>/5-1

考向四相似三角形性质与判定

典例引领

1.（2020•浙江绍兴市♦中考模拟）如图，已知NZM3=NC4E,那么添加下列一个条件后，仍然无法判定

△ABCS/XADE的是（）

4

A

D

ABACABBC

B.------------C.ZB=ZDD.Z.C=ZAED

ADAEADDE

2.（2020•四川遂宁市•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，N48C的平分线交AC于点E,交于

BE

点F,交C。的延长线于点G,若AF=2FD,则=的值为（）

3.（2020•湖南长沙市•中考真题）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把AADE沿AE翻折，使点D恰

好落在BC边上的点F.（1）求证：MBF:\FCE（2）若A8=2月,AO=4,求EC的长；

（3）若A£-QE=2EC,记ZR4/7=a,NE4E=尸，求tana+tan/?的值.

变式拓展

1.（2020•广西贵港市•中考真题）如图，在6c中，点。在边上，若3C=3,3。=2,且ZBCD=NA,

则线段AD的长为（）

5

9

C.3D.

2

2.（2020•四川眉山市•中考真题）如图，正方形ABCD中，点口是BC边上一点，连接AP,以A尸为对

角线作正方形的G,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点”，连接。G.以下四个结论：①

Z£4B=ZG4Z＞；②△AFCs/viGZ）；®2AE2=AHAC;®DG±AC.其中正确的个数为（）

C.3个D.4个

3.（2020•上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCZ）中，点E、尸分别在边AB、AO上，BE=DF,CE的延

长线交DA的延长线于点G,C/的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：△BECsgCH；(2)如果BE2=AB・AE,求证：AG=DF.

考向五相似比相关问题

6

典例引领

1.（2020•云南中考真题）如图，平行四边形ABC。的对角线4C,BD相交于点。，E是。。的中点,

则△DEO与△BCD的面积的比等于（）

1111

C

A.2-B.4-6-D.8-

2.（2020•广西中考真题）如图，在△A6C中，8c=120,高AT>=6（）,正方形一边在3c上,

点分别在AB,AC上，4。交£户于点N,则4V的长为（）

C.25D.30

变式拓展

1.（2020•吉林中考真题）如图，在AABC中，D，E分别是边A3,AC的中点.若AADE的面积为g.则

四边形DBCE的面积为.

2.（2020•辽宁锦州市•中考真题）如图，在AABC中，D是AB中点，DEHBC,若AADE的周长为6,

则AASC的周长为.

7

C

E

考向六相似三角形的实际应用

典例引领

1.（2020•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图，△A8C是一块锐角三角形的材料，边8c=120〃必，高AO

=80〃"〃，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在A3、AC上，这个正

方形零件的边长是多少〃皿.

2.（2020•甘肃天水市•中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆踮测量建筑物的高度，已知标杆3E

高1.5加，测得A6=1.2m,8C=12.8〃?，则建筑物C£＞的高是（）

C.16.5mD.18/n

变式拓展

1.（2020•广西玉林市•中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与

8

其相似的三角形木架，而只有长为60cm,120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两

段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A.一种B.两种C.三种D.四种

2.（2020•湖北省直辖县级行政单位•中考真题）在平行四边形ABCO中，E为AD的中点，请仅用无刻度的

直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

（1）如图1,在上找出一点M,使点M是8c的中点:

（2）如图2,在BO上找出一点N,使点N是8D的一个三等分点.

考向七位似

典例引领

1.（2020•河北中考真题）在如图所示的网格中，以点。为位似中心，四边形ABCO的位似图形是（）

9

A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形NHMQD.四边形NHMR

2.(2020•辽宁丹东市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度

的正方形，点A，B,C的坐标分别为A(l,2),3(3,1),C(2,3),先以原点。为位似中心在第三象限内

画一个AA与G，使它与AABC位似，且相似比为2：1,然后再把AA6C绕原点。逆时针旋转90。得到

AA2B2C2.(1)画出A44G，并直接写出点4的坐标；(2)画出AA*2c2,直接写出在旋转过程中，点A

到点4所经过的路径长.

变式拓展

1.(2020•浙江嘉兴市•中考真题)如图，在直角坐标系中，△043的顶点为。(0,0),4(4,3),8(3,0).以

10

点0为位似中心，在第三象限内作与AOAB的位似比为L的位似图形△0C。，则点C坐标()

3

、44

A.(-1,-1)B.(-一，-1)C.(-1,--)D.(-2,-1)

33

2.(2020•重庆)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(l,2),8(1,1),C(3,l),以原点

为位似中心，在原点的同侧画△/)£/,使△。所与AABC成位似图形，且相似比为2：1,则线段力尸的

C.4D.275

11

、考点冲关）

1.（2020•山西中考真题）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明.泰

勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，

就是我们所学的（）

A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似

2.（2020•贵州铜仁市•中考真题）已知AFHBsaEAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长

为（）

A.3B.2C.4D.5

3.（2020•河北邢台市•九年级期末）如图，P是A4BC的A3边上的一点，下列条件不可能是AACQSAABC

的是（）

--------

A.ZACP=NBB.APBC=ACPCC.ZAPC=ZACBD.AC2=APAB

4.（2020•重庆中考真题）如图，ZVIBC与△力所位似，点。为位似中心.已知04：。。=1：2,则AABC

与△£>£尸的面积比为（）

B.1：3C.1：4D.1：5

12

5.（2020•浙江绍兴市♦中考真题）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5,

且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为（）

C.8cmD.3.2cm

6.（2020•新疆中考真题）如图，在AABC中，NA=90。，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC

于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且ADFE的面积为1,则BC的长为（）

A.275B.5C.4小D.10

7.（2020•广东广州市•中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过

点。作交于点E，过点E作石垂足为F,则QE+石户的值为（）

2412

C.—D.

5T

13

8.（2019•广西贺州市•中考真题）如图，在AA8C中，2E分别是AB,AC边上的点，DEHBC,若

AD=2,Ag=3,DE=4,则BC等于（）

9.（2019•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图,在A4BC中,D在AC边上，AD：DC=1：2,O是BD

的中点，连接AO并延长交BC于E,则8E：EC=（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

10.（2020•新疆中考真题）如图，在AABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=2,若D是BC边上的动点，则2AD+DC

的最小值为.

A

BD

14

H.（2020•四川宜宾市•中考真题）在直角三角形ABC中，NAC3=90°,£＞是AB的中点，BE平分NA6C

交AC于点E连接CD交BE于点O,若AC=8,5C=6,则OE的长是

12.（2020•广东深圳市•中考真题）如图，已知四边形ABC。，4C与8。相交于点O,NABC=/D4C=90。,

则沁

tanZACB=-,—

2OD31©D

13.（2020•四川眉山市•中考真题）如图，等腰AA6c中，AB=AC=10,边AC的垂直平分线交8C于

点。，交AC于点E.若的周长为26,则DE的长为.

14.（2020•山东东营市）如图，P为平行四边形ABCZ）边上一点，E、夕分别为姑、叨上的点，且

PA=3PE,PD=3PF,APEFQPDCQPAB的面积分别记为S、5,,S2.若S=2,则S,+S2=

15

15.（2020•江苏苏州市•中考真题）如图，在矩形A3CD中，七是的中点，DF±AE，垂足为

（1）求证：AABEs^DFA：（2）若A6=6,BC=4,求。尸的长.

16

16.(2020•浙江杭州市•中考真题)如图，在AABC中，点£),E,F分别在AB,BC,AC边上，DE//AC,

AF।

EF//AB.(1)求证：ABDEsAEFC.(2)设一=一，①若BC=12,求线段BE的长；②若的面

FC2

积是20,求△ABC的面积.

17

17.(2020•辽宁朝阳市♦中考真题)如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为

A(-3,2),5(-l,3),C(-l,l),请按如下要求画图：

(1)以坐标原点。为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90。，得到"46,请画出△44G；

(2)以坐标原点。为位似中心，在x轴下方，画出△A6C的位似图形△A为G，使它与AAbC的位似比

为2:1.

AZ)A'D'

18.(2020•江苏南京市♦)如图，在△ABC和中，D、以分别是AB、A'B'上一点，——

ABA'B'

CDACAB

(1)当丁「二丁工二下工时，求证：AABC〜△A'3'C'证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的

LJACLJ

空格£

(2)当=7=＞二==时，判断△43C与VAEC'是否相似，并说明理由

CD'AC'B'C

18

19.（2020•湖南湘潭市•中考真题）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△A8C的重心为点。，求AOBC与△A8C的面积.

ODSOBC

（2）性质探究：如图（二），已知AASC的重心为点O,请判断一、《巫是否都为定值？如果是,

OA3.AKC

分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由.

（3）性质应用：如图（三），在正方形ABC£＞中，点E是8的中点，连接交对角线AC于点M.

①若正方形ABC。的边长为4,求的长度;

②若S.CME=1＞求正方形A3CD的面积.

19

20.（2020•江苏宿迁市•中考真题）（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，NC=ND=90°,点E在边CD

AEDE

上，ZAEB=900,求证:

~EB~~CB

（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，ZC=ZADC=90°,点E在边CD上，点F在边AD的延长线上,

EFAE

ZFEG=ZAEB=90°,且——=—,连接BG交CD于点H.求证：BH=GH.

EGEB

APDF

（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，ZAEB+ZDEC=180°,且生=匕，过E作EF交AD

EBEC

于点F,若NEFA=ZAEB,延长FE交BC于点G.求证：BG=CG.

图①图②图③

20

直通中考”

、*_一/一

o2a+h

L（2020•贵州毕节市•中考真题）已知e=—,则匚的值为（）

b5b

2327

A.-B.-C.-D.一

5535

A£2

2.（2020,湖南永州市♦中考真题）如图，在△A6C中，EF//BC,——=-,四边形3CEE的面积为21,则

EB3

A.—B.25C.35D.63

3

3.（2020•山东德州市•九年级月考）如图，点D、E分别在^ABC的AB、AC边上，下列条件中：①NADE

ADAE

③——=—.使AADE与AACB一定相似的是()

ACAB

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.（2020•黑龙江哈尔滨市•中考真题）如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,点E在AC上，过点

E作EF//BC,交AD于点F,过点E作EG//A3,交BC于点G,则下列式子一定正确的是（）

EGEFCGAF

B.C处=也D.------------

ECCD~AB~~CDFDGCBCAD

21

5.（2019•甘肃庆阳市•中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）.

A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换

6.（2020•海南中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,点£、E在49边上，5尸和CE交

)

D.40

7.（2020•海南中考真题）如图，在口A3CO中，43=10,4。=15,/区4。的平分线交3。于点旦交。。

的延长线于点居8G_LAE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为（）

A.16B.17C.24D.25

22

8.（2020•云南昆明市•中考真题）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形

叫做格点三角形.如图，△4BC是格点三角形，在图中的6x6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含

△ABC）,使得△AOEs/vlBC（同一位置的格点三角形△AOE只算一个），这样的格点三角形一共有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

9.（2020•浙江温州市•中考真题）如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，过点

C作CRLFG于点R,再过点C作PQ_LCR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=2PE,PQ=15,贝CR

的长为（）

A.14B.15C.8百D.675

10.（2020•湖北孝感市•中考真题）如图，点E在正方形ABC。的边CD上,将AADE绕点A顺时针旋转90。

到AA5厂的位置，连接反，过点A作族的垂线，垂足为点”，与8C交于点G.若5G=3,CG=2,

则CE的长为（）

23

11.（2020•黑龙江大庆市•中考真题）己知两个直角三角形的三边长分别为3,4,俄和6,8,n,且这两个

直角三角形不相似，则机+〃的值为（）

A.10+疗或5+2«B.15C.10+77D.15+3V7

12.（2020•江苏南通市・中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,AABC和△OEF

C.

的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为G,/XOEF的周长为C2,则才的值等于.

13.（2020•山东蒲泽市•中考真题）如图，矩形A5CO中，AB=5,AZ>=12，点尸在对角线5。上，且

BP=BA,连接AP并延长，交OC的延长线于点Q，连接6Q,则8Q的长为

14.（2020•辽宁盘锦市•中考真题）如图，△403三个顶点的坐标分别为4（5,0）,0（0,0）,仇3,6）,以点。为

2

位似中心，相似比为一，将AAOB缩小，则点5的对应点8'的坐标是.

3

24

15.（2020•辽宁鞍山市•中考真题）如图，在口ABC。中，点E是CO的中点，AE,3c的延长线交于点F.若

△ECF的面积为1,则四边形ABCE的面积为.

16.（2020•山西中考真题）如图，在WAA6C中，ZACB=90°，AC=3,BC=4,CDLAB,垂足

为D,E为BC的中点，AE与CD交于点、F,则。尸的长为.

17.（2020•四川乐山市•中考真题）把两个含30。角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AO的中

点，连结无交4C于点尸.则%=_________.

18.（2020•辽宁大连市•中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在边AO上，CE与BD

相交于点足设。E=x,BF=y,当喷上80寸，y关于x的函数解析式为.

25

19.(2020•四川攀枝花市•中考真题)三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图G是

△A6c的重心.求证：AD^3GD.

20.(2020•广西中考真题)如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中/C4B

=30°,ND4B=45°,点O为斜边的中点，连接8交AB于点E.(1)求证：4,B,C,O四个点

在以点。为圆心的同一个圆上；(2)求证：CD平分NAC8；(3)过点力作。尸〃BC交AB于点凡求证：

B()