一文搞定空间几何体常考的13种外接球模型

专题01长方体的外接球问题

1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3.补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长。如图3所示.

6

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

【例题分析】

例1.设正方体的棱长为期，则它的外接球的表面积为

3

【解析】设正方体的棱长为“，正方体外接球的半径为R,

则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=&,即/?=且=正/叵=1

223

所以外接球的表面积为：S球=4兆/?2=4万

例2,一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为27n的球面上.如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱

的表面积为cm2.

【解析】由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2m的球面上.正四棱柱的对角线的长为球的直径，

现正四棱柱底面边长为

设正四棱柱的高为力，.•.2R=2=#7FV,解得〃=出，

那么该棱柱的表面积为2+4位机2

例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123,则此球的表面积

为.

【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R==V14,

由S=4兀*=14%.

例4.已知三棱锥尸-ABC的顶点都在同一个球面上（球。），且PA=2,PB=PC=屈,当三棱锥

P-ABC的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球0的体积的比值是.

【解析】由题意三棱锥P-A3C的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，

三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大，

三棱锥P-A3C的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：74+6+6=4

所以球的直径是4,半径为2,

所以三棱锥的体积='x』x2x6x6=2,球的体积：—x8=—,

3233

所以该三棱锥的体积与球。的体积的比值是33.

16%

【巩固提升】

1.张衡（78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有《算罔论》，

他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,

B,若线段45的最小值为利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为

【解析】设正方体的棱长为4,正方体的内切球半径为「=@,

2

正方体的外接球半径/?满足：解=（$2+（2.）2,则夫=#〃，

由题意知：R-r=^-a——=—-a=1,所以。=2,R=C，

222

该正方体的外接球的表面积为12万，

又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即f=9,所以乃=而，

168

所以外接球的表面积为12M.

2.棱长为2的正方体的外接球的体积为

【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径

所以球的直径为：V22+22+22=25/3,所以球的半径为退

.•.正方体的外接球的体积V=%(扬3=4信

3.已知正方体的外接球的体积为二万，则该正方体的表面积为_________

3

【解析】正方体外接球的体积是必万，则外接球的半径7?=2,

3

所以正方体的对角线的长为4,棱长等于空，

所以正方体的表面积为6x(#)2=32

4.已知正方体的外接球的体积是土)，则这个正方体的体积是

3

64口64^3「64「64*

AA.——B.-----C.——D.-----

279927

【解析】・・,正方体的外接球的体积是二万，正方体的外接球的半径/?=2,

3

设这个正方体的棱长为。，则/?=遮。=2,解得竽，

2

二.这个正方体的体积V=/

5.长方体ABCD-ABCQ的表面积为208,A8+BC+A4,=18,则该长方体的外接球的表面积为

【解析】设长方体ABC。-A4GA的三条棱长分别为。，b,c.

由题意可得：2(ab+be+cd)=208,o+b+c=18.

/.a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ca)=IS2-208=116,

设该长方体的外接球的半径为R,则4代=〃2+〃+/=U6.

其表面积=4TTR2=116/r.

6.在长方体ABC。-A4GA中，AB=BC=2,Ag与平面3BCC所成的角为3。°，则该长方体的外接球

的表面积为

【解析】•.•在长方体ABCQ-AgGA中，AB=BC=2,AG与平面3片GC所成的角为30。,

.•.4?_L平面，/次:①是AG与平面8BCC所成的角，.•.NBGA=3O。,

22

ACX=2AB=4,BC,=74-2=2G,CC}=厨-》=272,

，该长方体的外接球的半径：/?=；5方+22+(2&)2=2,

二.该长方体的外接球的表面积为：S=4乃/?2=4乃X4=16TT.

7.在长方体ABC。-A4GA中，AB=AD=④,AA,=2,则该长方体的外接球的表面积为

【解析】由题意可知，长方体的对角线长为-2+2+4=2&,

则该长方体的外接球的半径为「=夜，因此，该长方体的外接球的表面积为4G'2=8".

8.已知矩形A8c。的周长为18,把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小

值为

【解析】设正四棱柱的底面边长为X,高为y,则4x+y=18,0<x<4.5,

正四棱柱的外接球半径为:&2+犬+>2=g48(x-4)2+36,当且仅当x=4时，半径的最小值=3,

外接球的表面积的最小值为4乃x9=36万.

9.已知长方体ABCA-ABCQ的体积丫=12,AB=2,若四面体4-BCR的外接球的表面积为S，

则S的最小值为

【解析】设BC=x,BB,=y,由于V=12,所以孙=6.

根据长方体的对称性可知四面体A-gCR的外接球的即为长方体的外接球，

所以「二在三，

2

所以5=44［产=4（4+/+丁2）1（4+2孙）=16）（当且仅当x=y=n，等号成立）.

10.若正方体的外接球的体积为46乃，则此正方体的棱长为

（解析］设球的半径为R,则-=4也兀,

3

解得：R=A/5.

另设正方体的棱长为4,则3/=（27?）2=（2百）2,

解得。=2.

11.若某正方体的表面积为6,则该正方体的外接球的体积为

【解析】•.•正方体的表面积为6,正方体的棱长为1,体对角线的长度为后，

外接球的直径为G,所以外接球的体积为v=%x（争=与兀,

12.已知正方体的外接球的体积为则该正方体的体积为

【解析】设正方体的棱长为“，且正方体外接球的直径为2R,

则（2R）2=3/,解得R=*“；

所以外接球的体积为％=与.庐=4辰，解得“3=&,

所以该正方体的体积/方体=/=8.

13.正方体ABC。-AgG〃的棱长为2月，则此正方体的外接球的体积为_36万_.

【解析】•.•正方体A8CQ-A46。的棱长为2石，.•・正方体的对角线长为#26)2+(2君产+(2相4=6,

则此正方体的外接球的半径为3,.•.此正方体的外接球的体积为刍畛33=36万.

3

14.将一个长宽分别“，伙0<〃<勿的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体

形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则，的取值范围为

【解析】设减去的正方形边长为X,

其外接球直径的平方R2=0-2x)2+仍-2x)2+/

2

求导得(R2)'=18x—4(a+切=0:.x=-(a+b)

，9

因为有x属于(0,0)所以0<2(q+6)<9.•.1<-<-

2,92,a4

15.如图，长方体ABC。-A4GA中，其中A8=a,AO=b,=c外接球球心为点。，外接球体积为于，

若-V+3的最小值为？，则A,C两点的球面距离为—.

a2b24一3一

【解析】设A、B两点在该球面上的球面距离为"，

•.•外接球体积为生，.•./?=2,

3

球的直径即为长方体的对角线长，即ZR/Ab'T=4,

若-V+3的最小值为2,，a2+62=4,

a2b24

在等腰三角形OAC中，OA=OC=AC

球心角乙40。=工，

3

利用球面距离公式得出：d=c^R=-[2.=—

33

故答案为:

专题02正四面体的外接球问题

1.正四面体

如图，设正四面体的的棱长为将其放入正方体中，则正方体的棱长为交显然正四面体和正

2

方体有相同的外接球.正方体外接球半径为A=&巫=&,即正四面体外接球半径为H=&.

2244

【例题分析】

例1.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正

四面体的截面）的面积是.

【解析】如图球的截面图就是正四面体中的AA8/）,

己知正四面体棱长为2,所以AO=6，AC=],所以CD=6,

截面面积是出

B

例2.正四面体的棱长为1,则其外接球的表面积为

【解析】依题意，正四面体的外接球半径/?=无，其表面积为S=4M?2=3乃

42

【巩固提升】

1.棱长为1的正四面体的外接球的半径为.

【解析】已知正四面体A-8C3的棱长为1,过B作BEJ.CO,交CD于E,

A作平面BC。，交BE于F,连结AE,设球心为。，则。在AF上，连结B。，

BE=AE=Jl2-(-)2=—,BF=ZBE=B,EF=-BE=—,AF=J(-)2-(—)2=—)

2.棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是.

【解析】把棱长为。正四面体镶嵌在棱长为x正方体内，.•.外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心。,

••・外接球的球半径为：号=与，1X2=1X^X(72X)2X/Z,h=华,

内切球的半径为：—-/7=-，外接球和内切球的半径之比为：—：—=3:1,

223626

二.正四面体的外球和内切球的体积比是27:1,

3.如图所示，在正四面体A-8CD中，E是棱AO的中点，尸是棱AC上一动点，3P+PE的最小值为正,

则该正四面体的外接球的体积是（）

设正四面体的棱长为〃则8P+M的最小值为BE=--2aL-acosl200=—a=>/7,:.a=2.

'V422

在正四面体4-8C。的边长为2,

外接球的半径/?=直。=在外接球的体积丫=9万兴=四人选A.

423

4.表面积为8百的正四面体的外接球的表面积为（）

A.4乖）兀B.12万C.8TD.4娓兀

【解析】表面积为8百的正四面体的棱长为2应

将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2,正方体的对角线长为2后，

•.•正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，

.••外接球的表面积的值为4加：（百了=12%.选8.

5.一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的表面积为（）

A.6nB.8兀C.屈兀D.1\n

【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为友,正方体的对角线长为指，

•.•正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，

外接球的表面积的值为4相争=6万.选A.

6.在棱长为立的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的圆心距为当,

2

则两圆的公共弦长是（）

A.-B.—C.1D.-

442

【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，

正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：指，

所以球的半径为：R=—,

2

设相互垂直两圆的圆心分别为q、o2,球心为。，公共弦为至，其中点为E,

则OQEQ为矩形，于是对角线。02=0E,

而OE=VOA2-AE2=-AE2=冬

/.AE=~,则M=l:选C.

2

7.如图所示，正四面体4BC£＞中，E是棱AD的中点，P是棱4c上一动点，3P+PE的最小值为45,

则该正四面体的外接球表面积是（）

A.12"B.32万C.8万D.24〃

【解析】将三角形ABC与三角形AC。展成平面，BP+配最小值，即为8E两点之间连线距离，则

设AB=2a,则NBA。=120。，由余弦定理」=加一⑶,解得“=血,

22noz

则正四面体棱长为2&,因为正四面体的外接球半径是棱长的如倍，

4

所以，设外接球半径为R,则R=Y^E2&=G,则表面积S=4万尸=4乃EB=12万.

4

选A.

8.已知正四面体的棱长为4,则此四面体的外接球的表面积是（）

A.24乃B.18"C.12乃D.64

【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2及，正方体的对角线长为2后,

•.•正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为：V6,

.•.外接球的表面积的值为4ml遥＞=24万.

选A.

9.一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接

球的表面积是（）

A.4万B.6乃C.12乃D.244

【解析】•.•正方体可以在正四面体纸盒内任意转动，

正方体在正四面体的内切球中，.•.正方体棱长最大时，正方体的对角线是内切球的直径，

点。为内切球的圆心，连接尸。并延长交底面ABC与点。，点。是底面三角形ABC的中心，

底面ABC,二。。为内切球的半径，

连接8。，则8O=OP,在RtABDP中，BD=-x—x6=2s^,PD7PB°—BD°=2后,

32

在RtABDO中，OD2=BD2+OB2=BD2+OP2=BD2+（OP-OD）2,

代入数据得。。=电，令正方体棱长为a,贝"，解得“=应，

・•・正方体棱长的最大值为近，此时正方体的外接球半径：r=&x®巫.

22

当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是：5=4万/=4万、（酉）2=6乃.选8

10.如图，在棱长为1的正四面体ABC。中，G为A8CO的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥

M-BCD的外接球的表面积为（）

03「瓜门瓜

AA.7tB.-7TC.乃D.71

248

【解析】连接BG,四面体ABC。中，由G为ABC。的重心，

可得AG_L面BC。，M是线段AG的中点，BG=—,AG=7AB2-BG2=—

33

•.•M为线段AG的中点，；.MG=必.

6

设三棱锥M-8CO外接球的半径为R,贝IJN=（且y+（R-远匕；.R=迈，

364

三棱锥M-8C。外接球的表面积为4/?2=至.选B.

2

11.正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q,若线段P。长度

的最大值为飙，则这个四面体的棱长为一

【解析】设这个四面体的棱长为则它的外接球与内切球的球心重合,

且半径%=，“，%=若”，

依题意得曰〃+杏。=孚..a=4.

12.已知正四面体A3CO的棱长为1,M为棱CD的中点，则二面角43-。的余弦值为堂;平

一3一

面截此正四面体的外接球所得截面的面积为一.

【解析】如图，

为棱C。的中点，..AM_LCO,BMVCD,又期0|8例=例，..CD_L平面4WB,

则N/VWB为二面角A-CO-B的平面角，由对称性，可知二面角C-48-0的平面角等于Z4MB.

由正四面体ABCD的棱长为1,可得4M=BA/=且，则cos（-NAM8）="2厂万=业

22B3

T

平面AA仍平分二面角C-AB-D,二面角M—AB—。的余弦值=cos（-ZAMB）=—；

23

设正四面体48C。的外接球的半径为R,贝IJ（丰-Rf+（曰）2=齐，解得R=手.

•.•平面M4B过正四面体ABCD的外接球的球心，

平面M钻截此正四面体的外接球所得截面的面积为乃x（里f=当.

13.己知某正四面体的内切球体积是1,则该正四面体的外接球的体积是27.

【解析】•.•正四面体的外接球和内切球的半径之比为3:1正四面体的外接球和内切球的体积比是27:1,

•.•正四面体的内切球体积是1,.•.该正四面体的外接球的体积是27.

14.一个正四面体的展开图是边长为2加的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为_3%

【解析】如图，

•.•一个正四面体的展开图是边长为2应的正三角形,

原正四面体的棱长为设底面三角形的中心为G,

正四面体的高PG=

再设正四面体外接球的球心为。，连接OA,则代=(/)?+(弓-/?尸，解得R=咚.

.•.该四面体的外接球的表面积为4"(生=3八

专题03对棱相等的外接球问题

【例题分析】

例1.三棱锥A—BCD中，已知A8=CD=&,AD=BC=屈,AC=BD=布,那么该三棱锥外接

球的表面积为（）

A.6兀B.77rC.9乃D.12冗

【解析】三棱锥A-88的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，

它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：后，R,石

体对角线的长为球的直径，d=--75+6+7=3

2

.••它的外接球半径是士，

2

外接球的表面积是4万・（|）2=9万，

选C.

例2.如图所示三棱锥A—BCD,其中48=CO=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球

的表面积为.

【解析】如图，Q三棱锥A-88的三条侧棱两两相等，，把它扩展为长方体,

它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5,6,7,体对角线的长为球的直径,

4=，；(52+62+72)=屈.；.它的外接球半径是手.外接球的表面积是4万4半＞=55万.

【巩固提升】

1.四面体尸-4BC一组对棱分别相等，长度依次为2君，V13,5,求四面体的外接球表面积

【解析】•.•四面体尸-A8C的一组对棱分别相等，且长度依次为2石，713,5,

可将其补为一个三个面上对角线分别为2宕，屈,5的长方体，如图所示：

.•.长方体的三边长分别为2,3,4,

二长方体的外接球即是四面体的外接球•・四面体的外接球的半径为？在亨,

.•.四面体的外接球的表面积为：47rx=294,

2.在四面体A8C£＞中，三组对棱棱长分别相等且依次为阴，河，5则此四面体A8c。的外接球的半径

R为()

逑

A.5&B.5D.4

【解析】•.•四面体A8CQ中，三组对棱棱长分别相等,

故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为南，国,5的长方体,

则其外接球的直径2R=

则R考

选C.

3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=BC=6PB=AC=2fPC=AB=S则三棱锥P-ABC外接球

的体积为（）

A.五兀B.J57rC.瓜兀D.67c

【解析】由题意，PA=BC=6,PB=AC=2,PC=A3=石，将三棱锥P-ABC放到长方体中,

可得长方体的三条对角线分别为6,2,

即yja24-/?2=A/3,Ja2+c2=2,Jc2+、=\[5,

解得：a=1,b=\/2,c=&.

外接球的半径R=—x>/^2+/?2+c2=—.

22

4「

・•・三棱锥P-ABC夕卜接球的体积V=?乃/?3=#万.

3

选C.

4.在三棱锥PA8C中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=,则三棱锥PA8C的外接球的表

面积为__________

【解析】•.,三棱锥P-HBC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=4\\,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,JFT,

则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x,y>z>则/+),2=16,y2+z2=25,x2+z2=11,

V+V+z?=26,三棱锥P-ABC外接球的直径为726,

三棱锥P-ABC外接球的表面积为4汉早产=261.

5.在四面体ABCZ)中，三组对棱棱长相等且依次为取，历,5,此四面体ABCO外接球半径/?为

【解析】•.•四面体ABC。中，三组对棱棱长分别相等，

故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为取，历,5,的长方体，

则其外接球的直径2R=[(34+41+25)=5应，则R=巫

V22

6.已知三棱锥A-BCO,三组对棱两两相等，且A8=O=1,AD=BC=43,若三棱锥A-BCD的外接

球表面积为也.则AC=

2

【解析】将四面体A-BCD放置于长方体中，如图所示.

四面体A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球,

•/AB=CD=\,AD=BC=6,且三组对棱两两相等，

.•.设AC=8。=x,得长方体的对角线长为=/l(4+x2),

可得外接球的直径2R=、口(4+f),所以7?={2(4+x-)

Y24

三棱锥A-BCD的外接球表面积为—,

2

.-.4^/?2=—,解得R=逑，即\/2(4+耳)=述,解之得x=6因即AC=8£>=逐.

2444'

7.已知四面体A-BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2,小,布,则四面体A-BC。的外接球的半

径为

【解析】•.•四面体ABCZ)中，三组对棱棱长分别相等，

故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为2,后，币,的长方体，

则其外接球的直径2R=Jg(4+5+7)=272,

则尺=应

故答案为：垃

8.已知三棱锥4-BC。，三组对棱两两相等，即AB=CO=1,AD==®AC=BD=8,则三棱锥

A-8co的外接球表面积是—.

一2-

【解析】将四面体A-BCD放置于长方体中，如图所示.

四面体A-8C。的顶点为长方体八个顶点中的四个，

长方体的外接球就是四面体A-BC。的外接球，

AB=CD=\,AD=BC=®AC=BD=>B,

长方体的对角线长为Jg<+3+5)=手,

可得外接球的直径2R=坐，所以R=3&

24

因此，外接球的表面积为S=4IR2=也.

2

故答案为：—

2

R

9.在四面体ABCD中，三组对棱两两相等,分别为屈，屈，石，则该四面体外接球的表面积为_14万

【解析】•.•四面体A8C。的三组对棱两两相等，分别为M，芯,

,构造长方体，使得面上的对角线长分别为E,M，&

则长方体的对角线长等于四面体外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x,y,z,则/+^=13,y2+z2=10,x2+z2=5,

x2+y2+z2=14

••・四面体外接球的直径为四，

.•・四面体外接球的表面积为4忒I半）2=14万.

10.在四面体P-ABC中，PA=BC=3,PB=AC=2,尸C=AB=若，则该四面体外接球的体积为.

【解析】由于三棱锥相对的棱长对应相等，放入到长方体中，可得外接球的直径等于长方体的对角线,

由题意设长方体的棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,

a2+b2=32=9

则y2+c2=22=4,解得/+〃+<?=8,

b2+c2=（百—=3

所以（2夫）2=/+从+°2=8，即汽=&，

所以外接球的体积丫=&乃*=量身，

33

11.三棱锥P-48C,PA=PB=I3C=AC=4,PC=AI3=3,则它的外接球的表面积为—n.

~2-

【解析】•.•三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=AC=4,PC=AB=3,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3,

则长方体的对角线长等于三棱锥P-A8C外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x,y,z,则炉+>2=16,y2+z2=16,x2+z2=9,

2(x2+y2+z2)=41,

r.三棱锥P-ABC外接球的直径为利,

...三棱锥p_ABC外接球的表面积为4万炉=驷.

2

12.在三棱锥尸-ABC中，若尸4=P8=BC=4C=5,PC=AB=4夜，则其的外接球的表面积为

【解析】•.•三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=AC=5,PC=AB=4叵,

构造长方体，使得面上的对角线长分别为5,5,4五,

则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x，y，z,则/+〉2=25,y2+z2=25,x2+z2=32,

.-.X2+/+Z2=41三棱锥P-ABC外接球的直径为历

三棱锥P-ABC外接球的表面积为4mlmy=41%.

13.在三棱锥P-ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=则三棱锥P-ABC的外接球的表

面积为_26〃_.

【解析】•.•三棱锥中，PA=BC=4,PI3=AC=5,PC=AB=4v\,

•••构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,而，

则长方体的对角线长等于三棱锥P-ABC外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x,y>z,则/+,2=[6,y2+z2=25,x2+z2=11,：.x2+y2+z2=26

三棱锥P-ABC外接球的直径为亚，，三棱锥P-ABC外接球的表面积为4加叵)2=264.

2

专题04直棱柱的外接球问题

【例题分析】

例1.正三棱柱ABC-A4G内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离为开，则正三棱柱的体积

为________

【解析】Q正三棱柱ABC-A向G内接于半径为2的，又QA,8两点的球面距离为左，故N403=90。,

QAOAB是等腰直角三角形，,AB=2®,则A48C的外接圆半径为,

3

则。点到平面作的距离为手.••正三棱柱高八W，又QWC的面积S"6

・•・正三棱柱ABC-A]B£的体积V=S•力=8.

AB

例2.直三棱柱ABC—的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA=2,440=120°,则此球的

表面积等于.

【解析】设底面三角形A8C的外心是OL(yA=O'B=O'C=r,

在A4BC中A3=AC=2,Za4C=120°,

可得3c=4AB2+AC2-2ABgACcosZBAC=722+22-2x2x2cosl200=20,

_BC

由正弦定理,2r

sinZ.BAC

可得M5C外接圆半径，=26

2,

2sin120°

设此圆圆心为O',球心为O,在RTAOBO'中，易得球半径R=石,

故此球的表面积为4万肥=20万

例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该

六棱柱的体积为2,底面周长为3,则这个球的体积为

8

【解析】设正六边形边长为a,高为力，底面外接圆的半径为/，则〃=/•=’,

2

底面积为S=6・亘.(工了=殳叵，

428

v=sh-3"h——,解得〃=vy,

88

222

代入(2/?)?="+(2r)=(V3)+1=4,解得R=1,

所以球的体积为V=4江3=%.

33

【巩固提升】

1.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120。的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的

表面积为

作f视图

【解析】由俯视图是一个顶角为120。，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径/'=2,

由主视图可得几何体的高为2,故球心到底面的距离d=l,故球半径R=g,

故该直三棱柱外接球的表面积为20万，

2.在直三棱柱ABC-AB|G中，AB±BC,AB=6,BC=8,若此三棱柱外接球的半径为13,则该三棱

柱的表面积为

【解析】在直三棱柱ABC-A8cl中，ABVBC,AB=6,BC=8,，AC=>36+64=10,

构造长方体ABC。-AqGR，，长方体A8CD-ABCQ的外接球就是直三棱柱ABC-A4G的外接球,

•.•直三棱柱ABC—A耳G外接球的半径为13,二4。=2*13=26,=7262-102=24,

直三棱柱ABC-A4G的表面积为:

5=2SMBC++S*CC,A=2X-X6X8+8X24+6X24+10X24=624

B

3.在直三棱柱ABC-A8C中.侧棱长为2若，AB=BC=CA=B则此三棱柱的外接球的半径（

A.1B.石C.2D.4

【解析】•.•在直三棱柱ABC-ASG中.侧棱长为2石，AB=BC=CA=43，

.一.取上底和下底的中心分别为〃、D,

则的中点。为三棱柱的外接球的球心，

OB为三棱柱的外接球的半径，

•;OD=6,O3=|J（G）2_（¥）2=],：.R=yloD。+BD，=>/m=2.

此三棱柱的外接球的半径R=2.

选C.

4.已知直三棱柱ABC-4与0的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和百，此三棱柱的高为2万,

则该三棱柱的外接球的体积为（）

87r16432万64万

A•—D.C..---D.---

3333

【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为2r="+（扬2=2,

所以，外接球的直径为2R=&2r¥+川="?+（2右]=4,则/?=2,

因此，该三棱柱的外接球的体积为壮乃代=卫》.

33

选C.

5.已知在直三棱柱ABC中，AB=2垂）,ZACB=120°,A4,=4,则该三棱柱外接球的表面积为（

)

A,但

B.64血万C.327tD.8万

3

【解析】由题意可知直三棱柱A3C-A4G中，底面小圆43C的半径为“

由正弦定理得到一"一=¥=2-，所以r=2,

sinZACB上

2

连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径,

外接球的半径为：V22+22=242,外接球的表面积为：4万［（20"=32灯；选C.

6.在直三棱柱ABC—A8c中，CA=C3=2,ZACB=90°,CCX=1,则该三棱柱外接球的体积（）

19

A.—4B.47rC.—7iD.87r

22

【解析】如图，把直三棱柱ABC-AgG补形为长方体，

9

则其外接球的半径，"W干=3，，该三棱柱外接球的体积为丫4,3.3=选C

=『()-2-

22

7.某直三棱柱侧棱长等于2,底面为等腰直角三角形且腰长为1,则该直三棱柱的外接球表面积是（）

A.九B.2乃C.47rD.6%