2023衡水名师原创数学卷

2023衡水名师原创数学专题卷

专题三《基本初等函数》

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

1.函数/（x）=g）2kF的值域为（）

一,+00

2

C.（0,+oo）

D.R

2.已知函数/（x）=2、+x-5,则不等式—2<〃4x—1）<6的解集为（）

-11]「11]「1JPi3-

B，

A[T-芯-H2jDV'2_

3.已知。=|,6=针,0=针>，则（）

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<h

4.函数y=log“（x+4）+2（q>0,且awl）的图象恒过定点斗，且点人在角0的终边

上，则sin2，=（）

512D12

13l3'W

5.若函数/（x）=log“x（0<a<1）在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为

（）

4

c.-

4

1

D.-

2

6.设m=log030.6,〃=glog,0.6，则()

A.m-n>m+n>nmB.tn-n>mn

C.m+n>m-n>mnD.mn>m—n>m-\-n

7.若函数f(x)=lg(f-2ac+a)的值域是R,则a的取值范围是()

A.(0,1)B.[0,1]

C.(-oo,0)kJ(1,+oo)D.(^X),0]LJ[1,+OO)

8.若2、=3>'=12">1,则z+把土堂的取值范围是()

孙

A.[1,4]B.[l,+oo)C.(20,+8)D.[4,+oo)

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)

9.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②lg(Ine)=0;③若e=lnx,则x=e2;④In(lgl)=0淇中正

确的是()

A.①B.②C.®D.®

10.函数丫=108“_2(5-4)中，实数a的取值可能是()

A.-B.3C.4D.5

2

11.已知函数V=bg“(x+c)(。，。为常数，其中a>0,aR1)的图象如图，则下列结论成立的

是()

A.tz>1B.0<c<lC.c>1D.O<67<1

12.已知函数/（x）=x”图像经过点（4,2）,则下列命题正确的有（）

A.函数为增函数B.函数为偶函数

C.若X>1,则/（X）>1D.若则22）

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.若存在正数x使a-x>2'成立，则a的取值范围是

14.不等式2『一<4的解集为.

15.己知函数f（x）=|lnx|,若0<a<b,且则。+劭的取值范围是

16.已知函数/（x）=（病—机_1）/+”1是基函数，且xe（0,*o）时，/（力是增函数，则机的

值为•

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）计算：

（l）.lg25+lg21g5O+lg22

（2）.已知/+x2=3,求之?_r的值.

x+x-1-2

18.（本题满分12分）已知函数/（X）=/T（X2O）的图象经过点（2,；）,其中。>0且

〃W1

1.求〃的值

2.求函数y=f(x)(x>0)的值域

19.(本题满分12分)已知定义在R上的函数/。)=2匚套.

⑴若〃x)=|，求x的值.

⑵若2f(2r)+中⑺20对于fe［10恒成立，求实数的取值范围.

20.(本题满分12分)已知,f(x)=log_,(4'-1).

⑴.求/(x)的定义域；

⑵.讨论/(%)的单调性；

⑶.求/(x)在区间［1,2］上的值域.

21.(本题满分12分)已知函数〃x)=loga(3-or).

(1)当xe［0,2］时，函数〃x)恒有意义，求实数a的取值范围.

(2)是否存在这样的实数a,使得函数在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1?如果

存在，试求出。的值：如果不存在，请说明理由.

22.(本题满分12分)已知aeR,函数/(x)=log?

(1)当a=l时，解不等式；

(2)若关于％的方程/(x)+2x=0的解集中恰有两个元素，求a的取值范围;

参考答案及解析

1.答案：A

1,

解析：指数函数y=(/)'在其定义域内单调递减，而-V=_(x-l)<1,所以

22

/(%)=(1)^>(1)'=g所以函数/(x)=(g产工的值域为；,+8).

2.答案：C

解析：因为函数y=2"与y=x-5在R上均为增函数，所以函数/(x)=2*+x-5在R上为

增函数.又易知/⑴=-2,"3)=6,所以不等式-24〃4x-l)46可化为

/(1)</(4%-1)</(3),所以1W4X—1W3,解得<4x41,故选C.

3.答案：D

22

解析：因为y=(|)为减函数，所以即1>停)>：所以

即a<c<b

4.答案：C

解析：对于函数y=log”(x+4)+2(4>0且a。1)，令1+4=1，求得x=-3，y=2»

可得函数的图象恒过点A(-3,2),且点A在角0的终边上，

.•.tane=2=-Z,则sin29=当如吗=乌吗=-巴

x3sin~e+cos~。tan20+113

故选：C.

5.答案：A

解析：令y=/(x),

；0<a<1

•••、=/3=log“3=log“2+1

丁e=/(a)=log/=L

又："max=33^，

...l=3(log〃2+l)

2

/.loga2=--,

2

••Cl—乙

6.答案：A

解析：m=log030.6>log031=0,log20.6,IJIlJzw?<0<^log21=0.

-+-=10go.603+logo,64=log1.2<log0.6=1,

mn()6()6

/.m+n>mn.

/.m-n>m+n>mn.

故选：A.

7.答案：D

解析：由题意得，二次函数y=f-2ox+a有零点，因此△=4/一4”20,解得。40或

Q21,故选D.

8.答案：D

211

解析：设2'=3'=12"=t(t>1)，则x=log/,y=logr,z=logr(x,y,z>0),所以一+—=-，所

23l2xyz

以z+把土曳=z+"上生=z+4口+Z]=z+±±2口=4,当且仅当z=2时，等号成立.

xyxy\yx)zVz

故选D.

9.答案：AB

解析:

因为lglO=lne=1,Igl=0,所以①②均正确;③中若e=lnx,则》=6。，故③错误;④中

lgl=0,而InO没有意义，故④错误.综上，选AB.

10.答案：AC

a-2>0\a>2

解析:由题意可知,{a-2rl,即因此2<a<5月.“<3.故选AC.

5-a>0a<5

11.答案：BD

解析：

12.答案：ACD

解析：

13.答案：(1,4-00)

解析：Q存在正数X使a-x>2’成立

・・・存在正数*使a>x+2'成立

Q函数y=x+2，为增函数，xX)

y>l，即a>l

：.a的取值范围是(1,”)

14.答案：(-1,2)

解析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即

底数化为2,根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围。

-,-21，-1<4..2?-r<22,

•;y=2；是一个递增函数；

Ax2-x<2=>-l<x<2

故答案为：{x|-l<x<2}

15.答案：(5,+oo)

解析：

/.lga<\gb,

又由/(〃)=/㈤得，旭4=|电。|,

Alg&=-lga,且力

a

J〃+4〃=〃+土且f=〃+3在(0,1)上递减，

aa

4

ClH—>5,

a+4〃的取值范围是(5,+oo)

故答案为：(5,+»)

16.答案:2

解析：•••/(X)=(加-加-1)/+"T是事函数，

一加一1二1,即62一〃2—2=0，

解得〃2=-1或帆=2.

•••当利=-1时鼎函数."X)=/，在X€(0,+00)上单调递减，不满足条件;

当m=2时晶函数/(x)=/,在X€(0,+8)上单调递减增，满足条件：

772=2,

故答案为：2.

17.答案：(l).lg25+lg2/g50+lg22

=lg5*2+lg2(lg5+l)+lg22

=21g5+lg2-lg5+lg2+lg22

=21g5+lg2+lg2(lg5+lg2)

=2(lg5+lg2)

=2

(2).由J+-=3,得(J+-)2=9,

即x+2+/=9

x+/=7.

两边再平方得：X2+2+X-2=49,

Y+X-2=47.

.X2+X-Z-247-2、

x+x-1-27-2

解析：

18.答案：1.函数图象过点(2,11.所以，则。=1

I2)22

(\廿，

2./(%)=-(x>0)

I2)

由x»0得，

于是嗯啕二2

所以，所求的函数值域为(0,2］

解析：

19.答案：⑴当x<0时，〃切=0,无解；当x“时，〃力=2。*，

13

由2"$=$得2・221-32-2=0,将上式看成关于2"的一元二次方程，

解得2*=2或2、=-(，因为2*>0,所以x=L

⑵当问1,2］时，2(22，一表)+中一£40,即M2J)“(2J),

因为22，-1>0,所以，心一(2*1),

因为f［1,2］,所以一(2%+1卜［-17,-5］,故实数机的取值范围是［-5,+oo).

解析：

20.答案：(1).由4'一1>0,解得x>0,所以函数/(x)的定义域为(0,+oo).

(2).设0<X1，则0<4演-1<4*2-1，因此log4(4「-l)<log4(4w-1),即

所以/(x)在(0,+oo)上为增函数.

(3).因为f(x)在g,2］上递增,又用)=0,/(2)=log415.

所以/(x)在区间［；,2］上的值域为［0,log#15］.

解析：

21.答案：⑴因为a>0且axl,设«x)=3-or,则«X)=3-OX为减函数，

当xe［0,2］时，《X)的最小值为3-2a,当xe［0,2］时，f(x)恒有意义，

□

即当xw［0,2］时，3—方>0恒成立，所以3—24>0.所以又a>0且“H1,

所以”的取值范围是(0，1)01，£|.

⑵r(x)=3-or,因为a>0,且axl,所以函数，x)为减函数.

因为在区间［1,2］上为减函数，所以y=log“f为增函数，

所以a>l,xe［l,2］时，f（x）最小值为3-2a,

最大值为『⑴=log.（3-a）

3

a<—

3-2a>02

所以即

log”(3-4)=1'3,

a=­

2

故不存在这样的实数a,使得函数〃x）在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1.

解析：

22.答案：（1）当。=1时，/（x）=log2（£+l）41=log22

/+142,解得xNO

原不等式的解集为［0,田）

（2）方程〃x）+2x=0,

102

即为l«g2（3+“+§2（2'）=bgj，

•••喝俘+4）=电修）,

.11

••牙+“=声’

令f=£Q>0），则f+a=/，

由题意得方程a=rT在（0,+co）上只有两解，

令g（f）=/T,tw（0,+oo）,

结合图象可得，当-：<a<0时，直线和函数g（r）=产-，的图象只有两个公共点，即

4

方程只有两个解.

实数a的范围（二,0）

4

解析：2023衡水名师原创数学专题卷

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。）

1.已知sin（]-a）=],则cos2a的值为（）

D24247

AB.—C.D.

-252525

2.己知a+=g,则cos(a+：

瓜-12Gl「2G3

Lx.----------

666

5.己知a£[0弓）,夕e

，且sin2a(l+siny3)=cos/3(\-cos2a)，则下列结论正确的是()

Jr717171

A.2a-p=-B.2a+/=]C.a+??=-D.a-/3=-

6.已知2sina=1+2^cosa，则sin(2a--)=()

6

7.ZXABC的内角A,3,C的对边分别为a/c.已知C=60。,6=JIc=6，贝UsinA=()

A口

R+3V6-V2„72n£

4422

S.VABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知tzsinA—AsinB=4csinC,cosA=-工,则-=

4c

（）o

A.6B.5C.4D.3

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.下列各式中，值为巫的是()

2

、JLRJL

A.sin15°cos15°B.cos'——sin'—

66

〃tan30°r/l+cos60°

1-tan230°V2

5R

10.在AABC中,疝114=一，8$8=二,则下列结论正确的是（）

135

124

A.cosA=±—B.sinB=—

135

C.cosC=—Wt--D.sinC=-

656565

11.下列说法正确的有（）

A.在VABC中，6?:Z?:c=sinA:sinB:sinC

B.在VA3C中，若sin2A=sin28,则VA8C为等腰三角形

C.VA8C中，sinA>sin8是A>8的充要条件

17T

D.在V/WC中，若sinA=-,则A=—

26

12.在△ABC中，角A8,C的对边分别为〃6,c，下列结论中正确的选项有（）

A.若A>8，则sinA>sinB

B.若sin24=sin28，则/MBC可能为等腰三角形或直角三角形

C.若acosB-6cosA=c，则△ABC定为直角三角形

D.若8=],。=2且该三角形有两解，则b的取值范围是（且,2）

第H卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.已知sin^-aj+cos（tz+yj=--,贝!|sin（a-［）=,

sin250°

14.计算

1+sin10°

15.在AABC中，角A氏C的对边分别为〃力,c,c=4,a=4夜sinA,且角C为锐角，则AX5C

面积的最大值为.

16.已知7ABe中，角A3,C的对边分别为c,若cosA=」力=5,3sinC=2sinA，则c=

3

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）已知，出2。+、?cos2。=一2.

sina-V3cosa3

⑴求cos（2a-g）的值；

(2)已知*py，且角/3的终边是由角«的终边逆时针旋转］得到的，求COS尸的值.

5RR10

18.(本题满分12分)在AABC中，cosA=—,tan—+cot—=一，求：

13223

(1)cos(A-B)的值；

(2)cos―—-的值.

2

19.(本题满分12分)已知A+8+C=TC,sinA+sin8+sinC=cosAcos8+cosCwO,求

cos2A+cos28+cos2C,士

一1一F―的值.

sinA+sin3+sinC

20.(本题满分12分)在VABC中，角A氏C的对边分别为a,Ac。

⑴若〃=3c乃=6858=2,求C的值；

3

⑵若吼=出,求sin卜+斗的值。

a2bv2J

21.(本题满分12分)在平面四边形MCD中,/ADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

⑴求cosNADB：

⑵若DC=2也，求BC。

22.(本题满分12分)在VA8c中，内角A8,C所对的边分别为“力,c,且2«cosC-c=»。

(1)求角A的大小；

⑵若c=&，角B的平分线逝，求a的值。

参考答案及解析

・・cos2a=2cos2a-l=----/-,

25

故选：D

2.答案：B

解析：由ae(0,空得a+工£

I1212

所以

cos[a+()=cos[(a+己)+£=8八+£L—也心+京皿口辿X立，L组

I12J6I12；632326

，故选B.

3.答案:B

解析：sin373°cos7670-sin77°sin227°=sin(360°+13°)cos(720°+47°)-sin(90°-13°)-

sin(180°+47°)=sin13°cos470+cos13°sin47°=sin(13。+47°)=sin60。=乎，故选B.

4答案:A

解析：cos240°sin30：-sin(-60)sin120°+则”——1

'71+tan75

X~Y~+tan(75。-45。)

1y/3

---F----

23

5.答案：A

sina2sin2a1-cos2a

解析:tana=-------=----------------=-------------

cosa2sinacosasin2。

/、sinf-+—2sin2f-+—l-cosf-d-^l

tan住+0=3£=(42)一12勺1+sin/

32Jcos(港)2sin(＞《)cos仔+或s呜+勾COS0

由sin%(1+sinp)-cosp(\-cos2a)，得1+sin"='_，贝_tan|—+—，又

cosPsin2a142J

ae§w与。函数y=tanx在区间(0,殳上单调递增，所以c=：+§即

2a-p=],故选A.

6.答案：D

解析：由2sina=1+26cosa，得4sin2a-473sin2a+12cos2a=1

贝lj2(1-cos2a)-4Gsin2a+6(1+cos2a)=1,4\/3sin2a-4cos2a=7

Ai—sin2cr—」cos2a=1,sin(2a-巴)=Z,故选D

22868

7.答案：A

解析：由题意，。=60。,。=虚,0=6，由正弦定理得一一=—£7；,即嬴万一；万解得

sin3sine——

2

五

sinB=—*//?<cAB<C：.B=45°AA=180-60-45=75

2

/.sinA=sin75=sin(45+30)

-u”林.“正G।31#&

=sin45cos30+cos45sin30=—x-----1------x—=------------

22224

8.答案：A

解析：由题意及正弦定理得，从=-4c?,所以由余弦定理得

+c2—cr—3c:-1b

cosA=---------------=----=—，化i日J得一=6。

2bc2bc4c

9.答案：CD

解析：因为sinl5°cosl50=Lsin30°=,xL=』，所以A不正确;

2224

■jrjrjri

因为cos?-—sin?—=cos—=一,所以B不正确;

6632

otan30°12tan30°

因为-----；——=-x-----;——-tan600=—«所以C正确;

1-tan230°21-tan230°22

所以D正确.

故选：CD.

10.答案：BD

44S1?

解析：因为cosB=±,所以sinB=2,B正确.因为sinA=2■，所以cosA=土上.因为

551313

sinB」>sinA=9,所以3<A,所以角A为锐角，所以cosA=竺,A错误，

51313

cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=-x—-—x—=--C错误，

135135659

<Q1oA久a

sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB=—x—d----x—=一,D正确.

13513565

11.答案：AC

解析：由正弦定理，一=上=」一=2R

sinAsinBsinC

可得：a\b\c-27?sinA:2RsinB:27?sinC

即a:〃：c=sinA:sin5:sinC成立，

故选项A正确；

由sin2A=sin28可得2A=28或2A+2B=兀，

71

即A=B或A+8=—,

2

则VABC是等腰三角形或直角三角形，

故选项B错误；

在VA8C中，由正弦定理可得

sinA>sinBoa>Z?oA>3,

则sinA>sin3是4>B的充要条件，

故选项C正确；

ITTSir

在VA8C中，若sinA=-,则4=一或A=—,

266

故选项D错误.

故选：AC.

12.答案：ABCD

解析：对于A选项，由正弦定理得A>80a>6osinA>sinB，故A选项正确.

对于B选项，由于sin2A=sin28=sin(兀-28),由于A,8是三角形的内角，所以2A=23

或2A=7t-23,即A=8或4+3=2,所以△/WC可能为等腰三角形或直角三角形，故B

2

选项正确.

对于C选项，由acos30054=。以及正弦定理得sinAcosB-sin3cosA=sinC，

即sinAcosB-sinBcosA=sin(4+5)=sinAcosB+cosAsinB，

所以2sin£?cosA=0，由于sin8>0，所以cosA=0，所以A=四，故△48C定为直角二角

2

形.故C选项正确.

对于D选项，B=—,a=2f且该二角形有两解，所以asin3vZ?va,即2sin工<匕<2，也

33

即退<人<2,故D选项正确・

故选：ABCD.

13.答案：！

3

=cosa+cos«cos^-sin«sin^=^cosa-^sina=

解析：因为sin+COS

3322

=^sin^y-crj=->^sin(a-y),所以一>/55皿(2-^)=一"^~，即

./瓦、

sin(a--)=-1.

33

14.答案：—

2

“丁sin250°1-cos100°1-cos(90°+10°)1+sin10°1

1+sin10°2(1+sin10°)2(1+sin10°)2(1+sin100)2

15.答案：4+4应

解析：在△ABC中，

*/a=4>/2sinAc=4，

a=0csinA，

由正弦定理得sinA=/sinCsinA，

由OvAv兀，可得sinA，0,

V5sinC=1，即sinC=--，

2

・・,角。为锐角，

/.C=-,

4

由余弦定理得c2=a24-Z?2-labcosC,

a~+h~—y/^cib=16，

•/a2-^-b2>2ab，

/+从一^2ab>(2-y/2)ab,即162(2—回ab,

/.ah<16^=8(2+72),

2-V2

当且仅当a=b=2>/4+2>/2时，等号成立,

iO

•q

…0^ABC=—ahsinC=——ah<4+472,

24

.••△ABC面积的最大值为4+472

16.答案：6

解析：由3sinC=2sinA及正弦定理，得3c=2a.设c=2m,则a=3m.由余弦定理，得

.b24-c2-a225+4m2-9/n2g.整理，得3疗-46-15=0,即(m-3)(3机+5)=0,

cosA=----------=--------------

2bc20m

解得加=3或m=-1'(舍去).所以c=6.

2

17.答案：(1)解法一由题意得吧"当吧?”=_L_^=-2sinfa+-^=--

sina-^cosa-2cosa+g)(6j3

故sin(a+^)=g,

sin2a+6cos2a

解法二由题意得

sina-Qcosa

一I，故sin(a+2；,

=-2csi•n/(a+—兀

所以cosf2a—T)=cos(2a+]—兀)=一cos(2a+1)=-1-2sin2[a+季)=--

(2)由题意得/=a+],所以a=/7—曰.

由]知sin(a+£]=g,所以sin(/+

即可尸十小

1~7~1、]c兀3兀ULI、Ic兀兀7兀

因为夕£—,一,所以/?——e—,一

_22J3|_66

又所以尸_¥e|"况,兀],

2a+6

所以COSP=cos一])+]

6

解析:

_512

18.答案：(1)vcosA=—,A为三角形的一个内角AsinA=—

.BB

nnssin—cos-

,BB1022Iin。

由tan7+cot-^=可得zn—+—=—=>

223cos-sin-3sinB35

22

又sinBvsinA=。va=BvA

456

/.cosB=—,cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=—.

565

(2)由(1)fDcos(A-B)=—,0<^—^<-

6522

.A-B/l+cos(A-B)117