2015中考操作探究

操作探究

一、选择题

1.（2015•浙江宁波，第12题4分）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个

正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后

不用测量就能知道周长的图形标号为【】

①

②

③

②

①

A.①②B.②③C,①③D.①②③

【答案】A.

【考点】多元方程组的应用（几何问题）.

【分析】如答图，设原住房平面图长方形的周长为2/,①的长和宽分别为a,b,②③的边

长分别为c,d.

a=c+d①---------------------------——

根据题意，得c=6+d②,6①

三------------------d②

a+b+2c=l（3）©③d

②

d①

a

将〃+代入③，得；（定值），答图

6=2c4c=/n2c=/答图

将2c=；/代入a+6=2c,得a+b=2（a+6）=/（定值），

而由已列方程组得不到d.

；.分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②.

故选A.

2.（2015•浙江省绍兴市，第10题，4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一

根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。如图中，按照这一规则，第1次应拿

走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走

A.②号棒B.⑦号棒C.⑧号棒D.⑩号棒

考点：规律型：图形的变化类..

分析：仔细观察图形，找到拿走后图形下面的游戏棒，从而确定正确的选项.

解答：解：仔细观察图形发现：

第1次应拿走⑨号棒，

第2次应拿走⑤号棒，

第3次应拿走⑥号棒，

第4次应拿走②号棒，

第5次应拿走⑧号棒，

第6次应拿走⑩号棒，

故选D.

点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，锻炼了同学们的识图能

力.

二.填空题

1.（2015•浙江杭州，第16题4分）如图，在四边形纸片4中,/8=8C,/D=CD,

ZA=ZC=90°,Z5=150°,将纸片先沿直线8。对折，再将对折后的图形沿从一

个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面

积为2的平行四边形，则CD=_______________________________

【答案】2+6或4+2内.

【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性

第16题

质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程

思想的应用.

【分析】•四边形纸片中，ZA=ZC=90°,ZB=150°,AZC=30°.

如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：

如答图1,剪痕5"、BN,过点N作而，8M于点”，

易证四边形8MDN是菱形，且NM8N=NC=30。.

设BN=DN=x,则M/=L.

2

根据题意，^x--x=2=>x=2,:.BN=DN=2,NH=\.

2

易证四边形BHNC是矩形，.•.8C=AW=1.，在对A8CN中，CN=6

•*-CD=2+y/3

如答图2,剪痕4E、CE,过点B作BHLCE于点、H,

易证四边形B/EC是菱形，且/8C〃=30。.

答图2

'设BC=CE=x,则84=Lx.

2

根据题意，^x--x=2=>x=2,BC=CE=2,BH=\.

2

在RfABCH中,CH=6,:.EH=2-8.

mCD?

易证ABCZ）0°SEHB,/.=---,即—-=----7=.

HBEHI2-V3

2（2+V3）

=4+26.

（2-73）（2+V3）

综上所述，8=2+6或4+2百.

2.（2015•浙江省绍兴市，第13题，5分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太

方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1,

衣架杆。/=。8=&机，若衣架收拢时，乙4。8=60。，如图2,则此时/,8两点之间的距离

是.▲

图Iq™82

第BS图

考点：等边三角形的判定与性质..

专题：应用题.

分析：根据有•个角是60。的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.

解答：解：'：OA=OB,NZO8=60。，

...△408是等边三角形，

.,.AB=OA=OB=\Scm,

故答案为：18

点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60。的等腰三角形的等边三角形进

行分析.

3.（2015•四川广安，第16题3分）如图，半径为，•的。。分别绕面积相等的等边三角形、

正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为人、8“，则小心力的大小关系为」2

考点：轨迹..

分析：根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案.

解答：解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为3.14,

等边三角型的边长为心2,

等边三角形的周长为6；

正方形的边长为6句.7,

正方形的周长为1.7x4=68

圆的周长为3.14x2x1=6.28,

V6.8>6.28>6,

故答案为：

点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键.

4.（2015•广东梅州，第14题，3分）如图，将矩形纸片4BCZ）折叠，使点4与点C重合，

折痕为跖，若/8=4,BC=2,那么线段E尸的长为.

考点：翻折变换（折叠问题）..

分析：如图，AC交EF于氤O,由勾股定理先求出/C的长度，根据折叠的性质可判断出

RTAEOCSRTAABC,从而利用相似三角形的对应边成比例可求出OE,再由£F=2OE可得

出EF的长度

解答：解：如图所示，4c交EF于点O

由勾股定理知ZC=2、/R

又：折叠矩形使C与4重合时有EFA.AC,

贝ijRt/\AOEsRt/\ABC,

.QE_AQ

第14题图

：.OE^^

2

故EF=2OE=y[s，

故答案为：述.

点评：此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答本题的关键是判断出

RT/\AOESRTLABC,利用相似三角形的性质得出0E的长.

三.解答题

1.（2015•浙江省台州市，第24题）定义：如图1,点M,N把线段43分割成NM,MN

和BN,若以NMMN,8N为边的三角形是一个直角三角形，则称点MN是线段N8的勾

股分割点

（1）已知点M,N是线段的勾股分割点，若4止2,MM=3求BN的长；

（2）如图2,在△ZBC中，FG是中位线，点D,E是线段BC的勾股分割点，且EODE>BD,

连接/E分别交R7于点"，N,求证：点M,N是线段FG的勾股分割点

（3）已知点C是线段"8上的一定点，其位置如图3所示，请在8c上画一点。，使C,D

是线段的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）

（4）如图4,已知点N是线段的勾股分割点，MN>AM>BN,/\AMC,/\MND

和均是等边三角形，/E分别交CM,DM,DN于点、F,G,H,若〃是。N的中点，

试探究和S四边形MN”。的数量关系，并说明理由

4

K分析】(L)①当为最大线段时，由勾股定理求出②当BX为最大线段时，由勾股定理求出BX即可；

(2)先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN>EC=2NG，求出EC2=BD2-DE2,得出

NG2=FM2*MN2，即可得出结论；

(3)在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；

(4)先证明ADGH经△NEH，得出DG=EN=b，MG=c-b，再证明△AGMS^.AEN，得出比例式，得出c2=2

ab-ac+bc>证出c，=a2+b"，得出a=b，证出△DGHWACAF，得出SDDGH=SACAF，证出S&DMN=S&ACM

*SA^ENB,即可得出结论•

【解答】(L)解：①当MN为最大线段时，

•••点M、N是线段AB的勾股分割点，

B'=J必V2TA/2=后不后;

②当BN为最大线段时，

・・・点M、N是线段AB的勾股分割点，

•,184卬2“/=眄'

综上斫述：BN=6'或晅；

(2)证明：TFG是AABC的中位是,

二FG〃BC，

.AMANAG,

MDNEGC

：,点M、N分别是AD、AE的中点,

•••BD=2FM>DE=2MN，EC=2NG，

•••点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE》BD，

•••EC2=BD2+DE2>

A(2NG)2=(2FM>2+(2MN)2>

•••NG2=FM2+MN2>

■1■点M、N是线段FG的勾股分割点；

(3)解：作法：①在AB上截取CE=CA；

②作AE点垂直平分线，并截取CF=CA；

⑤连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；

点D即为所求；如图所示：

+

(4)解：S-jx^MNHG=S^AMFSi2BEN,理由如下：

设AM=a，BN=b，MN=c，

•JH是DN的中点,

•■•DH=HN=ic.

2

•1,AMND>ABNE均为△边三角形,

AZD=ZDNE=60°，

在△DGH和ANEH中，

叱D=』DNE

<DH=HN，

ADHG=Z.NHE

AADGH^ANEH(ASA)，

2.(2015辽宁大连，26,12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形。8c的顶点4C分

别在x轴和y轴的正半轴匕顶点B的坐标为(2加〃)，翻折矩形O/8C,使点力与点C重

合，得到折痕QE设点B的时应点为凡折痕DE所在直线与y轴相交于点G,经过点C、F、

D的抛物线为y=ax2+bx+c。

(1)求点。的坐标(用含机的式子表示)

(2)若点G的坐标为(0,-3),求该抛物线的解析式。

(3)在(2)的条件下，设线段CD的中点为M,在线段CD上方的抛物线上是否存在点

P,使尸为,£4?若存在，直接写出尸的坐标，若不存在，说明理由。

2

y

5525

【答案】（1）（―%，，〃）；（2）y=--x1+—x+2（3）存在，点尸坐标为（1.632）和

4612

（0.9,3.2）。

【解析】解：（1）设。的坐标为：（&m）,根据题意得：CD=d,OC=m

（第26题图）

因为CD//E4,所以NCDE=N4ED,又因为N4ED=NCED,所以NCDE=NCED,

所以CD=CE=EA=d,OE=2m—d,

在必△COE中，0。2+0己2=砥2,加2+（2加-d）2=42,解得：d=:/M。

所以。的坐标为：（,/I,tn）

4

（2）作。"垂直于X轴，由题意得：OG=3,

53531

OE=OA—EA=2m——m=—m.EH=OH—OE=—m——m=—m,DH=m.

44442

3

c肝一m3

△GOE^/\DHE,---=----,-y一=一o所以〃?=2.

HEHDm

2

y

所以此时。点坐标为（9,2）,CD=-,CF=2,FD=BD=4--=1.5

222

因为CDxFI=CFxFD,FI=2xl.5+2.5=L2

C/=ylCF2-FI2=A/22-1.22=1.6,

所以F的坐标为(1.6,3.2)

抛物线为丫=依2+8+。经过点心F、D,所以代入得:

c=2

c=2

5

<6.25a+2.5b+c=2解得：<a=—

6

1.62Q+1.66+c=3.2

5)25

所以抛物线解析式为y=—=/+x+2。

612

(3)存在，因为尸所以PM，CD以“为圆心，MC为半径化圆，交抛物线于

22

点产和点P.如下图:

点尸坐标为（1.6,3.2）和（09,3.2）。

3.（2015•浙江滨州，第24题14分）根据下列要求，解答相关问题.

（1）请补全以下求不等式一■一—七。的解集的过程.

①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数,=-21a—上；并在下面的坐标系

中（见图1）画出二次函数）-4r的图象（只画出图象即可）.

②求得界点，标示所需：当尸0时，求得方程一21?-41=。的解为:

并用锯齿线标示出函数图象中yN）的部分.

③借助图象，写出解集：山所标示图象，可得不等式一才一4xN0的解集为.

（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式三一如4444的解集.

①构造函数，画出图象：

②求得界点，标示所需：

③借助图像，写出解集：

（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的

不等式

OE2A，的解集.

【答案】（1）②曰=&巧=T；③-24x40.（2）②当尸4时，求得方程一_0.1=4

的解为3=工巧=-1；③借助图象，直接写出不等式d4的解集：-lvz<3.

【解析】

试题分析：（1）正确画出图像，借助图像可知与x轴的交点的横坐标的值就是尸0时的一元

二次方程的解，然后借助图像找到x轴上方的部分的x的取值就是不等式的解集；

（2）利用（1）的方法直接能得结果；

（3）根据求根公式可以得到与x轴的两点的值，然后分三种情况①与x轴有两个交点，5：-4ac>0时；

②与x轴有一个交点方：-4ac=0时;③与x轴没有交点，-4ac<0时,判断出ax：+方x+c>0（a>0）

的解集.

（第羽题图1）

②巧=CL巧=-2；

③一2«工*0

（2）①构造二次函数尸=x?—标14,并画出图象.

②当y=4时，求得方程/一如，1=4的解为曰=工巧=-1；

③借助图象，直接写出不等式d-2r*lv4的解集:Tvxv/

（说明：以上三步中某步出现错误，则以后的各步均不得分；若把不等式一一2r+l<4

化为/一拉一争40,构造函数/=r*-2r-3进行求解亦可，具体评分参照上述标准）

（3）①当球-J>。时，解集为x>一1抄—-或xv-5一物-4一（用“或”

2aU

与“和”字连接均可）.

②当产一4i・=0时，解集为—■—（z>―上或*<一之■亦可）.

2a202a

③当y一4®v0时，解集为全体实数.

考点：二次函数的图像与一元二次方程的解，与不等式的解集

2.（2015•浙江杭州，第21题10分）

“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为。，b,c,并且

这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度

（1）用记号（。,b,c）（a@±）表示一个满足条件的三角形，如（2,3,3）表示边长分别为2,

3,3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形

（2）用直尺和圆规作出三边满足,的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图

痕迹）

单位长度

【答案】解：(1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),

(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4).

(2)由(1)可知,只有(2,3,4),即a=2,6=3,c=4时满足

如答图的A48C即为满足条件的三角形.

答图

【考点】三角形三边关系：列举法的应用；尺规作图.

【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.

（2）首先判断满足条件的三角形只有•个：«=2,b=3,c=4,再作图：

①作射线且取/8=4；

②以点/为圆心，3为半径画弧；以点8为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；

③连接/C、BC.

则A48C即为满足条件的三角形.

4.（2015•浙江衢州，第21题8分）如图1,将矩形AflCD沿ZW折叠，使顶点二落在R

上的点处，然后将矩形展平，沿防折叠，使顶点三落在折痕小上的点二处，再将矩

形37。沿C&折叠，此时顶点三恰好落在ZW上的点三处，如图2.

（1）求证：8X3=CH；

（2）已知求加和的长.

【答案】解：（1）证明：由折叠知：AR=AD=aa.BC=CH

•••由矩形AflOT知：AD=BG

:BQ=CH.

(2)如答图,

0

••ZAD&=45rz=4=903=企,

,*DO—DP=2.••=2+^^,

由折叠知：Zl=Z2.Z3=Z4,

.•./1+Z3=W\Z2+Z4=90°答图

•,Z1+ZJUW=9O°,:q=^AFB

又.2=4=900,

由(1)可得，AB=BC，

:.&£M2AC80（J1A?）；M=BE

••加=M+3£=2+岳点=2+浴

【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；等腰直角三角形的判定和性质；全等三

角形的判定和性质.

【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得NG=©?=，£）=4C=CW

（2）判断AAZX7和ADM都是等腰直角三角形，即可，由&=，2+£/求得

版=2+点；由出普证明MKRACaB，得到心=班，从而由，■=怂+砧求

得=

5,（2015岳阳第23题10分）

已知直线加〃〃，点C是直线加上一点，点。是直线〃上一-点，8与直线〃2、〃不垂直,

点尸为线段8的中点.

（1）操作发现：直线Um,/_L〃，垂足分别为/、B,当点力与点C重合时（如图①所示）,

连接尸B，请直接写出线段均与尸8的数量关系：PA=PB.

（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线/向上平移到如图②的位置，试问（1）中的总

与尸8的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线/绕点4旋转，使得//。8=90。（如图③所示），

若两平行线相、〃之间的距离为2k.求证：PA-PB=k-AB.

考点：几何变换综合题..

分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角

形的性质，可得必=PB,据此解答即可.

（2）首先过C作CELn于点E,连接PE,然后分别判断出PC=PE、NPCA=NPEB、AC=BE；

然后根据全等三角形判定的方法，判断出即可判断出刃=尸8仍然成立.

（3）首先延长力尸交直线〃于点尸，作于点E,然后根据相似三角形判定的方法,

?

判断出△4E7s/；kjgp尸，即可判断出么?8A尸，再个“尸=2么，AE=2k,BF=AB,可得

2PA・PB=2k.AB,所以R4，PB=k,AB,据此解答即可.

解答:解：（1）'：l±n,

：.BC±BD,

.••三角形是直角三角形，

又•••点P为线段8的中点，

：.PA=PB.

（2）把直线/向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立,理由如下:

如图②，过。作C£_L〃于点£,连接PE,

n

EE②

•・•三角形CEO是直角三角形，点尸为线段8的中点,

：・PD=PE,

又：点尸为线段的中点，

:・PC=PD,

：.PC=PE；

•：PD=PE,

:・/CDE=/PEB,

*•直线m//n,

：.ZCDE=ZPCA,

：.ZPCA=ZPEB,

又・・•直线/_Lm,7±n,CEL%CE_L%

：.I//CE,

：.AC=BE,

在△口C和△PHE中，

'PC二PE

<ZPCA=ZPEB

AC=BE

:.XPACsXPBE,

：.R4=PB,

(3)如图③，延长ZP交直线〃于点尸，作力及L8O于点E,

mn

・APPC-

PFPD

：.AP=PF,

'：4PB=90。，

:.BP上AF,

又.：4P=PF,

：.BF=AB：

在△NEF和△BP/中，

[NAEF=NBPF=90°

lZAFE=ZBFP

△AEFS^BPF,

.AF_AE

.,而言

：.4F・BP=AE,BF,

'：AF=2R4,AE=2k,BF=AB,

：.2PA・PB=2k.AB,

：.R4>PB=k*AB.

故答案为：PA=PB.

点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思

想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解

答相应的问题的能力.

（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握.

（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，

要熟练掌握.

6.(2015•江苏南昌，第24题12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形例如

图1,图2,图3中，是的中线,垂足为P.像△4BC这样的三角形均

为“中垂三角形设BC=a,AC=h,AB=c.

特例探索

(1)如图1,当NABE=45。,c=2/时，a=，b=；

如图2,当//BE=30。，c=4时，a=,b=

归纳证明

(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想az,/,乙？三者之间的关系，用等式表示出来，并利

用图3证明你发现的关系式；

拓展应用

(3)如图4,在中，点瓦EG分别是4),8C,C。的中点，BE1.EG,AD=25AB=3