2023苏教版新教材高中数学必修第二册同步练习第 15章 概率

第15章概率

15.2随机事件的概率

基础过关练

题组一古典概型的判断

1.（多选）下列有关古典概型的说法中正确的是（）

A.试验的样本空间的样本点总数有限

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.已知样本点总数为〃，若随机事件A包含2个样本点,则事件4发生的概率

尸（A）=；

2.（2021江苏东台中学月考）下列不是古典概型的是（）

A.在6个完全相同的小球中任取1个

B.任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点

C.已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个,从中任意取出

1个球,观察球的颜色

D.从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率

题组二古典概型的概率

3.（2022广东中山期中）中国古乐中的五音一般指五声音阶，依次为宫、商、角、

徵、羽.若从这五个音阶中任取三个音阶，则这三个音阶中不含“商”的概率为

（）

A3B.iC.ZD.W

52104

4.（2022江苏江浦高级中学期末）从3个不同大小的“冰墩墩”和2个不同大小的

“雪容融”挂链中任选2个，则恰好选中1个，冰墩墩”和1个“雪容融”挂链的概率为

（）

A.-B.-C.-D.-

105510

5.（2021江苏如皋第一中学期中）随着高中新课程改革的不断深入,数学试题的命

题形式正在发生着变化.某省示范性高中在数学试卷中加入了多项选择题.每道多

项选择题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.一同学解答一道多选题时，随机

选了两个选项，若答案恰为两个选项，则该同学做对此题的概率为（）

A-iB擀C.iD.^

6.（2022江苏徐州高级中学阶段测试）一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编

有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.求：

（1）样本空间的样本点的总数n-

（2）事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；

（3）摸出2个黑球的概率.

7.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},在平面直角坐标系中，设点Q（xj）,其中

且/y.求：

⑴点。（%,》）不在％轴上的概率；

⑵点。（九,回正好在第二象限的概率.

题组三古典概型的综合应用

8.（2021山东日照期中）若。是从1,2,5三个数中任取的一个数力是从0,1,2三个数

中任取的一个数，则3的概率是（）

A.-B.2C.2D.士

9439

9.将一颗骰子连续抛掷两次，记先后出现的点数分别为Ac,则方程^+bx+c=0有两

个相等实根的概率为（）

A七B.卷C.套D.；

10.老师为研究男女同学学习数学的差异情况,对某班50名同学（其中男同学30名,

女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本进行研究，则女同学

甲被抽到的概率为.

题组四随机事件的频率与概率

11.下列关于概率的说法正确的是（）

A.频率就是概率

B.任何事件的概率都在（0,1）之间

C.概率是客观存在的，与试验次数无关

D.概率是随机的，与试验次数有关

12.（2022江苏海安高级中学阶段测试）随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消

费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消

费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：

满意比较非常

不满意满意

情况满意满意

人数200n21001000

根据表中数据，估计在网上购物的消费者中对网上购物“比较满意''或"满意”的概

率是（）

A二B2C.iiD.U

1551515

13.（2021江苏吴江高级中学月考）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和

命中的次数如下表：

第一组第二组第三组合计

投篮次数100200300600

命中的次数68125176369

命中的频率0.680.6250.5870.615

根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的

估计是（）

A.0.68B.0.625C.0.587D.0.615

能力提升练

题组一古典概型概率的求解

1.（2020江苏侯集高级中学期中）不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有

编号1〜5,现有放回地随机摸取三次,则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的

概率为（）

A.二B—CAD.上

12512525125

2.（2021江苏南通中学期中）安排甲、乙、丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教

室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则恰好不安排甲到3号教室的概率为

（）

A.-B.-C.-D.i

3443

3.（多选）（2021浙江宁波期末）某博览会安排了分别标有序号1,2,3的三辆车，按等

可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一:不乘

坐第一辆车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆

车;方案二:直接乘坐第一辆车.记该嘉宾按方案一与方案二乘坐到3号车的概率分

别为尸112,则（）

A.P1P2W4B3.P1-P2W

C.P1+P2WD.PI>P2

4.（2022江苏南通如东期末）河图、洛书是我国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴

含着深奥的宇宙星象之理，是中华文化之源,其中河图的排列结构是一、六在后，二、

七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳

数和阴数中各取一数分别记为。力,则满足|a/|=l的概率为（）

0-0-0—0—0—0—0

A.-B.-C.-DT

25252525

5.（2022江苏白塔高级中学阶段测试）2022年4月16日9时56分,神舟十三号载

人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,三位航天员翟志刚、王亚平、叶光富结束

了183天的太空之旅.为了增强学生的科技意识和爱国情怀,某区教育主管部门在

全区进行了一次专题讲座，讲座结束后，每个学校选取学生代表进行了一次专题测

试比赛.某校高一年级派出2男1女，共3名同学,高二年级派出2男2女，共4名同

学.

（1）若从该校高一年级和高二年级报名的同学中各任选1名进行比赛，求选出的2

名同学性别相同的概率；

（2）若从该校高一年级和高二年级报名的这7名同学中任选2名进行比赛,求选出

的2名同学来自同一年级的概率.

题组二古典概型的综合应用

6.（2021江苏南京雨花台中学期中）已知a,bR2},若向量相=（4力）,〃=（1』）,则

向量"2与〃所成的角为锐角的概率是（）

A.-B.i

164

C.-D.-

816

7.（多选）（2021江苏南京第十三中学期末）从集合A={-l,-3,2,4}中随机选取一个数

记为从集合8={-5』,4}中随机选取一个数记为。，则（）

\.ab>0的概率是

B.a+b>0的概率是3

C.直线y=ax+b不经过第三象限的概率是g

D.lna+inb>\的概率是卷

8.（2020江苏扬州公道市冬阶段测试）若於）和g⑴是定义在同一区间上的两个函

数,对任意%£［1,2］,都有|/U）+ga）|*,则称危）和g（%）是“亲密函数”.设

段）=or,g（x）W.若{1,2}力£{-1,1,2},则於）和g㈤是“亲密函数”的概率

为.

9.（2021江苏南通天星湖中学期中）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常

人听力范围为。〜25分贝,并规定测试值在区间（0,5］内为非常优秀，测试值在区间

（5,10］内为优秀.某校500名学生参加了听力测试，从中随机抽取了50名学生的测

试值作为样本，制成如图所示的频率直方图.

（1）从总体的500名学生中随机抽取1人,估计其测试值在区间（0,10］内的概率；

（2）已知样本中听力为非常优秀的学生有4人，估计总体中听力为优秀的学生人数;

（3）现选出一名学生参加另一项测试，测试规则如下:四个音叉的发音情况不同，由

强到弱的编号分别为1,2,3,4.测试前将音叉顺序随机打乱，被测试的学生依次听完

后，将四个音叉按发音由强到弱排序，所对应的音叉编号分别为0,。2,43,。4.记7=11-

0|+|2-“2|+|3七3|+|4-。4|,若用丫描述被测试者的听力偏离程度，求上2的概率.

答案与分层梯度式解析

第15章概率

15.2随机事件的概率

基础过关练

1.ACD

2.B选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件

共有6个，故A是古典概型;选项B中,由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型;选项C中,

该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型;选项D中，满足古典概型的有限性和等可能

性，故D是古典概型.

易错警示

古典概型需满足两个条件:①样本点总数有限;②各个样本点出现的可能性相等.

3.A从这五个音阶中任取三个音阶的样本空间{(宫商角),(宫商徵),(宫商羽),(宫角徵),(宫角羽),(宫

徵羽),(商角徵),(商角羽),(商徵羽),(角徵羽)}，共有10个样本点，

其中不含“商”的基本事件有{(宫角徵)},{(宫角羽)},{(宫徵羽)},{(角徵羽)}，共4个，

•••这三个音阶中不含“商”的概率为於=今

故选A.

4.C3个不同大小的“冰墩墩”挂链分别记为a,b,c,2个不同大小的“雪容融”挂链分别记为A,民从这5个

挂链中任选2个，样本空间。={(&m，A)M,8),S,c),S,A),(6,8),("),(c,6),(4,8)},共有10个样本点，

恰好选中1个“冰墩墩”和1个“雪容融”挂链的有(。4),38),俗/),(瓦功,(“),。,8),共6种情况,

所以恰好选中1个“冰墩墩”和I个“雪容融”挂链的概率为卷=/

故选C.

5.A设这道题的四个选项分别为A,B,C,D,该同学随机选了两个选项为事件M,则

M={AB,AC,AD,BC,BD,CD},共6个样本点，

因为答案恰为两个选项且正确答案只有1个,所以该同学做对此题的概率为;.

6

故选A.

6.解析由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.

(1)将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出2个球的样本空间0={(黑1,黑2),(黑1,

黑3),(黑1,白),(黑2,黑3),(黑2,白),(黑3,白)}，共有6个样本点，即〃=6.

(2)事件“摸出2个黑球”={(黑1,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3)},共有3个样本点.

(3)样本点总数〃=6,事件“摸出2个黑球”包含的样本点个数为3,故摸出2个黑球的概率为

6Z

解题模板

利用古典概型公式计算概率的步骤

(1)确定样本空间的样本点的总数n.

(2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.

(3)P(A)哼

7.解析因为且，所以满足条件的情况共有90种.

(1)设事件A为“点Q(x,y)不在x轴上”，易知事件“点Q(x,y)在x轴上”包含9个基本事件，所以事件A包含

的情况种数为90-9=81,因此,P(4)=黑卷

(2)设事件B为“点Q(x,y)正好在第二象限"，则x<0,y>0,所以事件B包含20个基本事件,因此,P(8)琮=3

8.C取得的数组伍⑼的可能情况为(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(5,0),(5,1),(5,2),共9种，

满足苏>〃的有(1Q),⑵o),(2,1),(5,0),(5,1),(5,2),共6种，

所以护的概率为智

故选C.

9.B将一颗骰子连续抛掷两次，其包含的样本点的总数为36,方程e+bx+c=0有两个相等实根的充要条

件为〃=4c,满足要求的各种情况如表所示：

b123456

满足b2=4c的

010100

样本点个数

由此可知使方程x2+bx+c=O有两个相等实根的样本点个数为0+1+0+1+0+0=2,故所求概率为尚二.

36lo

10.答案|

解析由题意知，从20名女同学中应该抽取1OX*=4(人)，所以女同学甲被抽到的概率为/=*

11.C

12.C由题意得,“=4500-200-2100-1000=1200,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满

意”或“满意”的总人数为1200+2100=3300,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”

或“满意”的频率为鬻=3由此估计在网上购物的消费者中对网上购物“比较满意''或"满意”的概率为5

45001515

13.D由题可知,试验次数越多，频率越接近概率,对可能性的估计误差越小.

故选D.

能力提升练

1.A有放回地随机摸取三次，共有53=125种结果，

摸出的三个小球的编号乘积能被10整除包含的样本点分四类：

第一类:5出现两次,2或4出现一次，共6种情况，

第二类:5出现一次,2或4出现两次，共6种情况，

第三类:5出现一次,2或4出现一次,1或3出现一次，共24种情况，

第四类:5,2,4各出现一次，共6种情况，

,满足条件的样本点共有42个，

...摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为我.

2.A甲、乙、丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，用

(a,b)(a=甲、乙、丙,。=1,2,3)表示可能的结果，则有

(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1);(甲,3),(乙,1),(丙,2);(甲,3),(乙

,2),(丙,1),共6种情况,

其中恰好不安排甲到3号教室有

(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1),共4种情况，

所以恰好不安排甲到3号教室的概率为白目.

o3

故选A.

3.CD分别标有序号1,2,3的三辆车,按等可能随机顺序前往酒店接嘉宾的可能情况有

(1,2,3),(132),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),共6种，

该嘉宾按方案一乘坐到3号车包含的情况有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),共3种，

故该嘉宾按方案一乘坐到3号车的概率Pi=：=；.

该嘉宾按方案二乘坐到3号车包含的情况有(3,1,2),(3,2,1),故P2=；=；.

o3

PP2=2PLP2=WP>P2,P+P2=汨S.

66236

故选CD.

4.B由题图可知阳数为1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,则选出的①力)的所有可能情况有

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(3,10),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(5,10),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(7/

0),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),(9,10),共25种，其中满足|小目=1的有

(1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10),共9种情况，

所以所求概率为费

故选B.

5.解析记该校高一年级派出的2名男同学为Ai4%女同学为。；高二年级派出的2名男同学为8，&,2

名女同学为加力2.

(1)从该校高一年级和高二年级报名的同学中各任选1名的样本点有

(4出),(4,%),(A।,6),(Ai,岳),(42,8),(A2,82),(4,仇),如,岳),3,8),5,82),3,仇),(。力2),共12个，

其中选出的2名同学性别相同的样本点有(A1,B|),(4,B2),(A2,B|),(A2,B2),(，协),3力2),共6个.

故选出的2名同学性别相同的概率为导方

(2)从该校高一年级和高二年级报名的这7名同学中任选2名的样本点有

(AIm),(4,a),(A1,Bi),(Ai,%),(Ai),(Ai/2),(A2,a),(A2,BI),(A2,52),(A2,0I),(42乃2),3,81),3,历),(5,B

2)«0),(3/2)«2力］),(%力2)，31/2),共21个.

其中选出的2名同学来自同一年级的样本点有

(AI,A2),(AI,a),02,a),(31/2),(%,匕i),(82,82),(8102),共9个.

故选出的2名同学来自同一年级的概率为/=*

6.B向量枕与〃所成的角为锐角等价于，”•〃>(),且W?与”的方向不同，即加〃=(4,〃>(1』)=4+〃>0,则满足

条件的向量，"有(-1,2),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),其中机=(1,1)或加=(2,2)时，与〃同向，故舍去,故共有4

种情况满足条件，

又m的取法共有4x4=16种，所以向量加与〃所成的角为锐角的概率是於斗

164

故选B.

7.AC由题意可得3,力所有可能的结果有(-1,-5),(-1』),(-1,4),(-3,-5),(-3,1),(-3,4),(2,-5),(2,1),(2,4),(4,-

5),(4/),(4,4),共12种.

对于A,满足ab>0的结果有(-1,-5),(-3,-5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6种，

所以ab>0的概率为M3,故A正确；

对于B,满足a+b>0的结果有(-1,1),(-1,4),(-3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共7种，所以a+b>0的概率为看故B

不正确；

对于C,因为直线y=ax+b不经过第三象限，所以4<0,生0,所以满足直线y="x+匕不经过第三象限的结果有

(-1,1),(-1,4),(-3,1),(-3,4),共4种，所以直线y=ax+b不经过第三象限的概率为白卷故C正确；

对于D,因为Ina+lnb=ln(ab)>l,所以。>0力>(),加>e，所以满足Ina+lnb>\的结果有(2,4),(4,1),(4,4),共3种,

故Ina+\nb>\的概率为子/故D不正确.

故选AC.

8.答案|

解析段)和g(x)是“亲密函数”等价于辰+生。引1,2］,

当a-\,b--\时，辰+