初中数学教资科目三教案设计

初中数学教资科目三教案设计

教学目标

1、学问与技能：体会公式的发觉和推导过程，了解公式的几何背景，

理解公式的本质，会应用公式进展简洁的计算.

2、过程与方法：通过让学生经受探究完全平方公式的过程，培育学

生观看、发觉、归纳、概括、猜测等探究创新力量，进展推理力量和有条

理的表达力量.培育学生的数形结合力量.

3、情感态度价值观：体验数学活动布满着探究性和制造性，并在数

学活动中获得胜利的体验与喜悦，树立学习自信念.

教学重难点

教学重点：

1、对公式的理解，包括它的推导过程、构造特点、语言表述（学生自

己的语言）、几何解释.

2、会运用公式进展简洁的计算.

教学难点：

1、完全平方公式的推导及其几何解释.

2、完全平方公式的构造特点及其应用.

教学工具

课件

教学过程

一、复习旧知、引入新知

问题1:请说出平方差公式，说说它的构造特点.

问题2：平方差公式是如何推导出来的？

问题3：平方差公式可用来解决什么问题，举例说明.

问题4：想一想、做一做，说出以下各式的结果.

(1)(a+b)2(2)(a-b)2

(此时，教师可让学生分别说说理由，并且不直接给出正确评价，还

要连续激发学生的学习兴趣.)

二、创设问题情境、探究新知

一块边长为a米的正方形试验田，因需要将其边长增加b米，形成四

块试验田，以种植不同的新品种.(如图)

(1)四块面积分别为：、、；

(2)两种形式表示试验田的总面积：

①整体看：边长为的大正方形，S=;

②局部看：四块面积的和，s=.

总结：通过以上探究你发觉了什么？

问题1：通过以上探究学习，同学们应当知道我们提出的问题4正确

的结果是什么了吧？

问题2：假如还有同学不认同这个结果，我们再看下面的问题，连续

探究.（a+b）2表示的意义是什么？请你用多项式的乘法法则加以验证.

（教学过程中教师要有意识地提到猜测、感觉得到的不肯定正确，只

有再通过验证才能得出真知，但还是要鼓舞学生大胆猜测，发表见解，但

要验证）

问题3：你能说说（a+b）2=a2+2ab+b2

这个等式的构造特点吗？用自己的语言表达.

（构造特点：右边是二项式（两数和）的平方，右边有三项，是两数的

平方和加上这两数乘积的二倍）

问题4：你能依据以上等式的构造特点说出（a-b）2等于什么吗?请你

再用多项式的乘法法则加以验证.

总结：我们把（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2称为完全平方

公式.

问题：①这两个公式有何一样点与不同点？②你能用自己的语言表达

这两个公式吗？

语言描述：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）

这两数积的2倍.

强化记忆：首平方，尾平方，首尾二倍放中心，和是加来差是减.

三、例题讲解，稳固新知

例1：利用完全平方公式计算

（1）（2x-3）2（2）（4x+5y）2（3）（mn-a）2

解：(2x-3)2=(2x)2-2o(2x)o3+32

=4x2-12x+9

(4x+5y)2=(4x)2+2o(4x)o(5y)+(5y)2

=16x2+40xy+25y2

(mn-a)2=(mn)2-2o(mn)oa+a2

=m2n2-2mna+a2

沟通总结：运用完全平方公式计算的一般步骤

(1)确定首、尾，分别平方；

(2)确定中间系数与符号，得到结果.

四、练习稳固

练习1：利用完全平方公式计算

练习2：利用完全平方公式计算

练习3：

(练习可采纳多种形式，学生上黑板板演，师生共同评价.也可学生独

立完成后，学生相互批改，力求使学生对公式完全把握，如有学生消失问

题，学生、教师应准时帮忙.)

五、变式练习

六、畅谈收获，归纳总结

1、本节课我们学习了乘法的完全平方公式.

2、我们在运用公式时，要留意以下几点：

(1)公式中的字母a、b可以是任意代数式；

(2)公式的结果有三项，不要漏项和写错符号；

(3)可能消失①②这样的错误.也不要与平方差公式混在一起.

七、作业设置

#592498初中数学教资科目三教案设计2

把握用因式分解法解一元二次方程.

通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简洁的

方法一一因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些详细问

题.

重点

用因式分解法解一元二次方程.

难点

让学生通过比拟解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解

题更简便.

一、复习引入

(学生活动)解以下方程：

(1)2x2+x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

教师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12,

12的一半应为14,因此，应加上(14)2,同时减去(14)2.(2)直接用公式

求解.

二、探究新知

(学生活动)请同学们口答下面各题.

(教师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？

(2)等式左边的各项有没有共同因式？

(学生先答，教师解答)上面两个方程中都没有常数项;左边都可以因

式分解.

因此，上面两个方程都可以写成：

(l)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

由于两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是

(l)x=0或2x+l=0,所以xl=0,x2=-12.

(2)3x=0或x+2=0,所以xl=0,x2=-2.(以上解法是如何实现降次的?)

因此，我们可以发觉，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，

而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个

一次式分别等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(1)10X-4.9x2=0(2)X(x-2)+x-2=0(3)5x2-2xT4=x2-2x+34

(4)(x-l)2=(3-2x)2

思索：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

解：略(方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积.)

练习：下面一元二次方程解法中，正确的选项是()

A.(x-3)(x-5)=10X2,.\x-3=10,x-5=2,；.xl=13,x2=7

B.(2-5x)+(5x-2)2=0,A(5x-2)(5x-3)=0,Ax1=25,x2=35

C.(x+2)2+4x=0,.*.xl=2,x2=-2

D.x2=x,两边同除以x,得x=l

三、稳固练习

教材第14页练习1,2.

四、课堂小结

本节课要把握：

(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方

程及其应用.

(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0,再

分别使各一次因式等于0.

五、作业布置

教材第17页习题6,8,10,11

#592497初中数学教资科目三教案设计3

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会娴熟

应用公式法解一元二次方程.

复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入

ax2+bx+c=0(a/0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元

二次方程.

重点

求根公式的推导和公式法的应用.

难点

一元二次方程求根公式的推导.

一、复习引入

1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比方，方程

（l）x2=4（2）（X-2）2=7

提问1这种解法的（理论）依据是什么？

提问2这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”

的特别二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.）

2.面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配

方成能够“直接开平方”的形式.）

（学生活动）用配方法解方程2x2+3=7x

（教师点评）略

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，教师点评）.

（1）先将已知方程化为一般形式；

（2）化二次项系数为1；

（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全

平方式；

⑸变形为（x+p）2=q的形式，假如q-0,方程的根是x=-p土q；假如

qO,方程无实根.

二、探究新知

用配方法解方程：

(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a#0),你能否用上

面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.

问题：已知ax2+bx+c=0(aWO),试推导它的两个根xl=-b+b2-4ac2a,

x2=-b-b2-4ac2a(这个方程肯定有解吗？什么状况下有解?)

分析：由于前面详细数字已做得许多，我们现在不妨把a,b,c也当

成一个详细数字，依据上面的解题步骤就可以始终推下去.

解：移项，得：ax2+bx=~c

二次项系数化为1,得x2+bax=-ca

配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2

即(x+b2a)2=b2-4ac4a2

V4a20,当b2-4ac20时，b2-4ac4a2^0

(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2

直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a

即x=-b±b2-4ac2a

/.xl=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系数a,b,

C而定，因此:

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当

b2-4ac20时，将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

例1用公式法解以下方程：

(l)2x2-x-l=0(2)x2+l.5=-3x

(3)x2-2x+12=0(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代

入公式即可.

补：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、稳固练习

教材第12页练习教⑴⑶⑸或⑵⑷⑹.

四、课堂小结

本节课应把握：

(1)求根公式的概念及其推导过程；

(2)公式法的概念；

(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形

式，留意移项要变号，尽量让a0；2）找出系数a,b,c,留意各项的系数

包括符号;3）计算b2-4ac,若结果为负数，方程无解;4）若结果为非负数，

代入求根公式，算出结果.

（4）初步了解一元二次方程根的状况.

五、作业布置

教材第17页习题4

#593897初中数学教资科目三教案设计4

教学目的

1.使学生娴熟地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。

2.生疏等边三角形的性质及判定.

2.通过例题教学，帮忙学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。

教学重点：等腰三角形的性质及其应用。

教学难点：简洁的规律推理。

教学过程

一、复习稳固

1.表达等腰三角形的性质，它是怎么得到的？

等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角“。把等腰三

角形对折，折叠两局部是相互重合的，即AB与AC重合，点B与点C重

合，线段BD与CD也重合，所以NB=NC。

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线相互重合，

简称“三线合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD=CD,AD为

底边上的中线；NBAD=NCAD,AD为顶角平分线，ZADB=ZADC=90°,AD

又为底边上的高，因此“三线合一”。

2.若等腰三角形的两边长为3和4,则其周长为多少？

二、新课

在等腰三角形中，有一种特别的状况，就是底边与腰相等，这时，三

角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形具有什么性质呢？

1.请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提

出猜测。

2.你能否用已知的学问，通过推理得到你的猜测是正确的？

等边三角形是特别的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得

到NA=NB=C,又由NA+NB+NC=180°,从而推出NA=NB=NC=60°。

3.上面的条件和结论如何表达？

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°o

等边三角形是轴对称图形吗？假如是，有几条对称轴？

等边三角形也称为正三角形。

例1.在AABC中，AB=AC,D是BC边上的中点，ZB=30°,求N1和

ZADC的度数。

分析：由AB=AC,D为BC的中点，可知AB为BC底边上的中线，由

“三线合一”可知AD是ZXABC的顶角平分线，底边上的高，从而NADC=90°,

Z1=ZBAC,由于NC=NB=30°,ZBAC可求，所以N1可求。

问题1：此题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形

顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样？

问题2：求N1是否还有其它方法？

三、练习稳固

1.推断以下命题，对的打“，错的打“X”。

a等腰三角形的角平分线，中线和高相互重合()

b.有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°()

2.如图⑵,在ZSABC中，已知AB=AC,AD为NBAC的平分线,且N2=25°,

求NADB和NB的度数。

3.P54练习1、2o

四、小结

由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°o

“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结

论一样成立，所以关键是查找其中一个结论成立的条件。

五、作业：1.课本P57第7,9题。

2、补充：如图(3),AABC是等边三角形，BD、CE是中线,求NCBD,

ZBOE,ZBOC,ZE0D的度数。

12.3.2等边三角形(二)

教学目标

1.把握等边三角形的性质和判定方法.2.培育分析问题、解决问题的

力量.

教学重点：等边三角形的性质和判定方法.

教学难点：等边三角形性质的应用

教学过程

I创设情境，提出问题

回忆上节课讲过的等边三角形的有关学问

L等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

2.等边三角形每一个角相等，都等于60°

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

其中1、2是等边三角形的性质;3、4的等边三角形的推断方法.

II例题与练习

1.AABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的AADE都是等边三

角形吗，为什么？

①在边AB、AC上分别截取AD=AE.

②作NADE=60。，D、E分别在边AB、AC上.

③过边AB上D点作DE〃BC,交边AC于E点.

2.已知：如右图，P、Q是4ABC的边BC上的两点，，并且

PB=PQ=QC=AP=AQ.求NBAC的大小.

分析：由已知明显可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°.

又知4APB与AAQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即

可推得NPAB=30。.

3.P56页练习1、2

III课堂小结：1.等腰三角形和性质；等腰三角形的条件

V布置作业：1.P58页习题12.3第11题.

2.已知等边aABC,求平面内一点P,满意A,B,C,P四点中的任意

三点连线都构成等腰三角形.这样的点有多少个？

12.3.2等边三角形（三）

教学过程

一、复习等腰三角形的判定与性质

二、新授：

L等边三角形的性质：三边相等;三角都是60°；三边上的中线、高、

角平分线相等

2.等边三角形的判定：

三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角

形是等边三角形；

在直角三角形中，假如一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等

于斜边的一半

留意：推论1是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论

2说明在等腰三角形中，只要有一个角是600,不管这个角是顶角还是底

角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论3反映的是直角三角形中

边与角之间的关系.

3.由学生解答课本148页的例子；

4.补充：已知如下图，在AABC中，BD是AC边上的中线，DB±BC于

B,

ZABC=120o,求证：AB=2BC

分析由已知条件可得NABD=30o,如能构造有一个锐角是30o的直

角三角形，斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段，问题就得到解

决了.

#592557初中数学教资科目三教案设计5

一、素养训练目标

（一）学问教学点

使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比

值也都固定这一事实.

（二）力量训练点

逐步培育学生会观看、比拟、分析、概括等规律思维力量.

（三）德育渗透点

引导学生探究、发觉，以培育学生独立思索、勇于创新的精神和良好

的学习习惯.

二、教学重点、难点

1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也

是固定的这一事实.

2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也

是固定的事实，关键在于教师引导学生比拟、分析，得出结论.

三、教学步骤

（一）明确目标

1.如图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为

多少米？

2.长5米的梯子以倾斜角NCAB为30。靠在墙上，则A、B间的距离

为多少？

3.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？

4.若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角NCAB

为多少度？

前两个问题学生很简单答复.这两个问题的设计主要是引起学生的回

忆，并使学生意识到，本章要用到这些学问.但后两个问题的设计却使学

生感到怀疑，这对初三年级这些奇怪、好胜的学生来说，起到激起学生的

学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的

了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角

形的学问是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出

一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角

就可用学过的学问全部求出来.

通过四个例子引出课题.

（二）整体感知

1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、

60°角的对边、邻边与斜边的比值.

学生很快便会答复结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的

值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特别直角三角形中，只要知道

其中一边长，就可求出其他未知边的长.

2.请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对

边、邻边与斜边的比值，学生又快乐地发觉，不管三角形大小如何，所求

的比值是固定的.大局部学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对

边