A版高中数学人教版必修二公式大全

6.1平面向量的概念

a—b

6.2平面向量的运算(第一课时)

思维导图

定义二两个向量和的运算

使用范围任意两个非零向曷求和

角

三

法

形①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点

则与第二个向曷的起点毒合.

步骤

3②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终

加

点为终点的向量，即为两个向量的和.

法

方法J

使用范围_适用于两个不共线的向量求和

①平移两个不共线的向曷使之共起点.

止呼②以这两个已知向量为邻边作平行四边形♦

。，平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的

\向量为两个向量的相

向

两个向量的差的运算

量

的减去一个向曷相当加上这个向曷的相反向昆

加减法二角取土皿对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个

二用形近人」向量的点点，方向指向被减的向量

减

法平行四边形法则

和向量的模与原向量之间的关系M+4《问+w

当〃与"共线且同向时口+4二|斗+同；

当°与〃共线且异向时人可=|4一同；

当〃与。不共线时G+4＜口|+同

交换律:a+*=*+a；

结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

6.2平面向量的运算(第二课时)

思维导图

定义㊀实数义与向量£的积是一个向量，这种运算叫作向量的数乘

oM2|=MII2|

②当4>0时，4Z的方向与G的方向相同

长度与方向9

\当人<0时，人。的方向与a的方向相反.

I③当才=0时，2£=6

数乘@A(pa)=(Ap)a

、_e工®(A+P)fl=Aa+[ka

迈算律S

@A(a+，)=入o+入，

\特别地(-A)a=-(Aa)=A(-o);A(a-d)=Aa-Aft.

优性蜜曲a向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，

I知土u昇I线性运算的结果这是向量______________________

I共线的充要条件向量"(«*0)与.共线.当且仅当有睢一一个实效/),使A=4"

_______________________________________________________

已知两个m蹲向量G与石，我们把数量|a\\h|es创作]与右

定义’的数量积，记作小6,即H=|£|cos，，其中舞£与

\1的夹角.零向量与任一向量的数量积为0.

\aIcosfltl*叫向量“在6方向上(6在0方向上)的投影

几何意义!a•b的几何意义：数量积“•3等于a的长度Ii|与不在£的

)\方向上的投影|COS附乘积

(1)万J.b=万・6=0

(2)当不与万同向时，a»b­\a\\b\

当7与方反向时，a*b=-|a||?|

卜性质；(3)万•万=|万F或131=套

|⑷cos。儡

[(5)]7・4-7|固___________________

交换律：d♦b=b♦d

i运篝律？结合循：(力")•万="心万)=万•"万)

分配律：(万十万)•7r=万•E+万•至

6.3平面向量的基本定理及坐标表示（第一课时）

思维导图

如果看.是同一平面内的两个不共线向量，

定悭?那么对于这一平面内的任意向量1有且只

基本

定悭'有一对实数4,为使三4彳+44.

基底©不共微的向信，…；叫作表示这一平面内所有向后的一祖基底.

正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解

平面

在平面直角坐标系中，分别取与大轴、,轴方向相同的

量

向

两个单位向呈ZJ作为基底，对于平面内的一个向信］

本

基定义

由平面向量基本定理知，有且只有一时实效使

理

定v,A

坐

及得则把有序敌对,）叫作向信曲坐标.

表

标已知向量片（知用）工=（%%）和实数九

示

方人（/+*2，用+，2）

坐标

表示肝&=（与一巧，此一典）

公式2tfAy^)

已知?（（〜，Zt（Ay,V2）,O为坐标原点，

则.46=06—04=（0典）一（玉，v1,J2—V,）

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终

点的坐标减去始点的坐标.

6.3平面向量的基本定理及坐标表示(第二课时)

思维导图

①设3=(Xi,yi),h=(x2,y",万=0,则。.H万“Xiy”x2yi=0.

②设，=(xi,yi),b=(x2,yj,如果向量5不平行f坐标轴，

向量

平行

即x2#0,y2#0,则“H6=—.

用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例.

数

乘

向量

a±b<^XX+=0

数垂直12

量

积数量积“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即二片/七十必典

(D设所(巧，『P，则I。I=亚+/；

4(M),J®_*2)2+5-

⑵两点间距离公式：若巧，B(X2,y2),则依卜姬

公式

⑶两非零向量三(a，*)£=(*“%)花.夹角为仇则g片一巧七"；"_

网+，网+E

专题6.4平面向量的应用（第二课时）

思维导图

公式e—=——=’一=2R(R为AABC外接回的半径)

—sinAsbtBsinC

(1)a-2RsinA.b=2RsinB、c-2RsinC

abc

(2)sinA=——、sinB=——、sinC=——

1R2RZR

公式变形

(3)a：b：c=sinA：sinB：sinC

o+0+c

sin.A^sinB+sinCsinA

两角一边求边角

便用条件H----------------

两边对应角求角

边化角：边的一次方

运用J-------------

＜角化边

—2bccosA

公式"=c2+J—2cacosB

\c2=^+b2-2abcosC

三边求角

使用条件%----------

---------两边一角求边

边化角：边的二次方

运用

角化边

4ABe=』底•高='bsinC=-besinA=-acsinB=L(a+b+c)(i'为内切圆的半径)

22222

专题6.4平面向量的应用（第三课时）

思维导图

公式e—=——=’一=2R(R为AABC外接回的半径)

—sinAsbtBsinC

(1)a-2RsinA.b=2RsinB、c-2RsinC

abc

(2)sinA=——、sinB=——、sinC=——

1R2RZR

公式变形

(3)a：b：c=sinA：sinB：sinC

o+0+c

sin.A^sinB+sinCsinA

两角一边求边角

便用条件H----------------

两边对应角求角

边化角：边的一次方

运用J-------------

＜角化边

—2bccosA

公式"=c2+J—2cacosB

\c2=^+b2-2abcosC

三边求角

使用条件%----------

---------两边一角求边

边化角：边的二次方

运用

角化边

4ABe=』底•高='bsinC=-besinA=-acsinB=L(a+b+c)(i'为内切圆的半径)

22222

专题7.1复数的概念

专题7.2复数的四则运算

专题7.3复数的三角表示

思维导图

代数式z=a+bi

三种表示点(a,b)

向量0Z

概念㊀以x轴正半轴为始边，向量ozffi在射线为终边的角ew做复数的辐角

复数的辐角是不唯一的，我们把复数N在(-It,司内的福角叫做辐角主

复数

值，

辅角主值记作argz.我们所说的辐角一般指的是它的主值.即-nvargzwn

复

规定：复数。的福角是任意值

数

三

角若复数Z的模为辐角为a则二二r(cos。+isin6

表

概念一般地，把二=«。$。+1而/叫复数的三角形式

示

三角注意：复数的三角形式须满足“模非负，角相同，余正弦，加号

形式

-Zj=5代网4+a)+isin(a+9)1三模相乘,幅角相加。

运算法则f-z~~

—」=_L|cos(a-创+人加幽一旦)|模相除，幅角相减

(1)先求复数的模

(2)决定Z(a,b)所在的象限

代数式转三角式步獴

(3)根据象限求出辐角

(4)求出复数三角式。

专题8.1基本立体图形

思维导图

概念:由若干个平面多边形围成的几何体

定义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交通都互相平行的多面体

(1寺征二底面平行目全等,侧面为平行四边形一

一柱4:斜桥彳:侧棱不垂直于底面的桥住

(\分类/直榭儡棱垂直于底面的榭1

%正一柱=底面是正条边形的直棱柱

类型日1、.............

—^1定义J有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体

1棱锥/恃征工例棱相较于一点

'正漏U底面是正多彘,并且顶点与底面的中心的连线垂直于点面的棱锥

1榜八定义F用一个平行于槽推底面的平面去截楼惟，底面和截面之间的部分

~Yf特征:侧棱的延长线交于一点，上下底面相似且平行

一条平面曲线(包括直线)境它所在平面内的一条定直线旋转

所形成的曲班叫做旋转面，封闭的旋梏面围成的几何体叫做旋转体

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的

围住4

旋转体

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形

圆锥

成的面所围成的旋转轴

以直角悌形的一直角边作为旋转轴

半囱以它的直径所在直与为旋转轴，旋转一周形成曲面

由简单几何体组合而成

商单几何体擀接而成

简单几何体截去或挖去一部分而成

专题8.2立体图形直观图

思维导图

Q)原图形中X轴、y轴、zffl两两垂直，直观图中,

x'轴，y'轴的夹角为45"或135",

N'轴与x'轴和y，轴所在平面垂直.

斜三

测画

法

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；

平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；

平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半

专题8.3简单几何的表面积与体积

思维导图

名称仅1面积(Sy)全面积(s金)体积(r)

棱柱

*2S*SR%=Sg"/

棱宜截面周氏X/

柱

直棱柱ch&•h

椅棱锥各侧面积之和

沁，h

SJSR

锥正棱锥

2

多面体

棱桂台各侧面面积之和5W+5t«+

3人(S上■+&R+4ststSjjg)

台正棱台扣先

，中S表示面积.(■分别表示上、下底面周长,h*斜高，h'表示仪■高,I裹示他检长.

人

/，川

表

面

积

与

体

积

(1)(2)

名称圆柱圆锥圆台球

万&)，

s儡Ijtrl7trl+4

2^r(/+r)^,r(/+r)万(4+4)，+乃仁+rJ)2

S金4E

旋转休卜VTtr'h(即7rr2l)-'h

3nr3

•>

0

一工普

专题8.4空间点、直线、平面的位置关系

思维导图

在立体几何中，通常用平行四边形来表示平面

当平面水平放置时,平行四边形的税角通常画成45。,目横边K等于其邻

边长的2倍；当平面鳖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂

线.

点与直线（平面）之间的位置关系用符号"e","把"表示，

直线与平面之间的位置关系用符号“u”,P表示等.

内容过不在一条直线上的三个点，有目只有一个平面

经过一条直线和这条直线外的一点，有目只有一个平面

i推论/先过两条相交直线，有且只有一个平面.

\经过两条平行直线，有且只有一个平面

相交在同一个平面内，有且只有一个公共点

±t面直线/~——

✓<平行S在同一个平面内，没有公共点

直线位置关系/、------------------------------------------

/——一■Y概念：।巴不同在仕何一个平面内的两条直线

\异面直线y------------------------------------------------------------

\"一皿<不在同一个平面内，没有公共点

直线在平面内有无数个公共点

1直线与平面的关系［直线与平面相交㊀有目只有一个公共点

\直线与平面平行没有公共点

平行e没有公共点

\平面位置关系/-----------------------

\<相交㊀有一条公共直线

专题8.5空间直线、平面的平行（第一课时）

思维导图

基本事实4平行的传递性：平行与同一直线的两条直线平行

定理|、如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

文字如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平

------sJZ_______________________________

判定|

定理1图示

符号a<Xa,bca,Banb=>ana

立字一条直城与一个平面平行，如果过这条直线的平面与此平面相交，

x子则该直线与交线平行

性质

定理

符号-aMa、auR、an0=b=aJlb

专题8.5空间直线、平面的平行（第二课时）

思维导图

三角形相似比（中位线）

构造平I亍四边形

线线平行平行的传递性

线面平行的性质

面面平行的性质

空

间

直

线

平

面

符号e

的

平

彳

亍

平

面

与

平

面

两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面

（夹在两个平行平面间的平行线段相等

其他性质，经过平面外一点有目只有一个平面与已知平面平行

\两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线E嬴例

I如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相考亍

专题8.6空间直线、平面的垂直（第一课时）

思维导图

正方形.矩形、菱形直角边或对角线垂直

等胰三角形、等边三角形取中点

发线垂直勾股定理

边长

正余弦定理

线面垂直定义

如果直线I与平面她的仕意一条直线都垂直,我们

就说直线I与平面相垂直

如果一条直线与一个平面内的两条相交直残垂直，

那么该直线与平面垂直

枝面垂直

判定定理:

l±a,l±b,aCa,bca,a<Jb=P>l_La

性质定理金垂直与同一个平面的两条直线平行

…两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，

就说这两个平面互相垂直.平面a与平面0垂直，记作a_Lb.

定理如果一个平面过另外一个平面的垂直,那么这两个平面垂直

判定

面面垂直

定理

符号q|j.a,lib=>a_LB

性质两个平面垂直，如果一个平面内的有一直线垂直与这两个平面的交线，

定理那么这条直线与另一个平面垂直

专题8.6空间直线、平面的垂直（第二课时）

思维导图

定义£空间两条异面直线所成的角

线线角[0°,90]

平将直线，让两条直线有交点

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂亘，这条直线叫做这个平

面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平

定义面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的

一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成

的角・

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；

线面角

角范围一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0’

.因此，直线与平面所成的角期范围是【0°,90。】.

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的

锐角或直角即为所求的角；

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形,求出该角.

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.

概念e从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条直线叫做二面角的榜，这两个半平面叫做二面角的平面角

角犊

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作

垂直于格的射城，则这两条射堤构成的角叫做这个二面角的平面角

二面角平面角

OACa,OBCp,anp=l.Owl,OA±IOB±I=>

符号z

NAOB是二面角的平面角

范围e[0,n]

作作出平面角

证明所作的角满足定义，即为所求

二面角的平面角

将作出的角放在三角形中,计算出

求中面角的大小

9.1随机抽样

思维导图

普查对于每个调查对象进行调查方法

学外二调查对象的全体

基

本个体组成总体的每一个调查对象

概岫样眄杳根据一定的目的，从总体中抽取一部分各题进行调查，

念旭件同一并以此为依据对总体的情况做出估计和推断的调查方法

（样本总体中抽取的那部分个体

样本量样本中包含的个体数

放回简单随机抽样

分类

不放回简单随机抽样

抽签法

简

单