2023年高二数学期末总复习：双曲线（附答案解析）

2023年高二数学期末总复习：双曲线

一.选择题（共7小题）

22

1.（2020秋•金台区期末）与椭圆三上与焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方

95

程为（）

D.Z_yi=1

22

2.（2020秋•香坊区校级期末）命题p：“3＜小＜5”是命题依“曲线二——J」表示双

m_35-m

曲线”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

3.（2019•新课标H）设尸为双曲线C：2_-工_=1（°＞0,。＞0）的右焦点，O为坐标

2,2

ab

原点，以O尸为直径的圆与圆/+/=/交于p,。两点.若|PQ|=|OF|,则c的离心率

为（）

A.V2B,V3C.2D.V5

4.（2016•新课标H）已知Q,尸2是双曲线E：直-21=1的左，右焦点，点M在E上,

2,2

ab

MFi与x轴垂直，sinZMFFi=—，则E的离心率为（）

23

A.V2B.菅C.V3D.2

22

5.（2021•仁寿县校级二模）已知Q,&分别为双曲线f•-号lQ＞。，b＞0）的左焦点

和右焦点，过乃的直线/与双曲线的右支交于4,B两点，△AQF2的内切圆半径为ri，

△BQ放的内切圆半径为72,若/'1=2/2,则直线/的斜率为（）

A.1B.V2C.2D.2V2

6.（2020秋•怀仁市期末）已知点A,8是双曲线2_-£=l（a>0,b〉0）的左、右顶点，

y

Fi，乃是双曲线的左、右焦点，若尸1乃|=2旄，P是双曲线上异于A,8的动点，且直

线以，P8的斜率之积为定值4,则|AB尸（）

A.2B.272C.2MD.4

22

7.（2020秋•如皋市期末）直线丁=履-3k+4与双曲线篇__q-=i有且只有一个公共点，则

%的取值有（）个

A.1B.2C.3D.4

填空题（共4小题）

2「

8.（2019•杭州二模）双曲线春-丫2=1的焦距为；渐近线方程

为.

9.（2017•新课标I）已知双曲线C：（>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆

2,2fl

ab

心，〃为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若NAMN=60°,

则C的离心率为.

10.（2013•辽宁）已知F为双曲线C：看__*=i的左焦点，P,。为C上的点，若PQ的

长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段P。上，则△PQP的周长为.

11.（2020秋•湖北期末）已知双曲线C：式_工£=1（〃>0,心0）的离心率为e,直线/：

2.2

ab

y=x与双曲线C交于M,N两点，若|加=扬，则e的值是.

三.解答题（共5小题）

12.（2010•惠城区模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点Q,尸2在坐标轴上，离心率为我，

且过点P（4,-Vio）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若点M（3,w）在双曲线上，求证：儿F；•MF：=。；

（3）求△F1MF2的面积.

13.（2020秋•扬州期末）己知命题p：实数〃2满足不等式％2-3的+2/V0（a>0）；命题q：

22

实数小满足方程三一U^=i表示双曲线.

m-lm-5

(1)若命题p为真命题，求实数〃?的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

14.(2021•新高考I)在平面直角坐标系X。)，中，已知点产I(-V17-0)，Fl(V17-0)，

点M满足|MFi|-|M&I=2.记M的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=工上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|以|

2

-\TB\=\TP\'\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

15.(2004•湖北)直线/：y=fcc+l与双曲线C：2?-夕=1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数％的取值范围；

(II)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，

求出k的值；若不存在，说明理由.

16.(2019秋•普陀区期末)已知双曲线r：z!.=l(«>o,b>0)的焦距为4,直线

2,2

ab

/：x-my-4=0(〃?eR)与「交于两个不同的点£>、E,且〃?=0时直线/与「的两条渐

近线所围成的三角形恰为等边三角形.

(1)求双曲线「的方程；

(2)若坐标原点。在以线段QE为直径的圆的内部，求实数机的取值范围；

(3)设A、B分别是「的左、右两顶点，线段8。的垂直平分线交直线8。于点P,交直

线A。于点Q,求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.

2023年高二数学期末总复习：双曲线

参考答案与试题解析

选择题（共7小题）

22

1.（2020秋•金台区期末）与椭圆心4=1焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方

95

程为（）

X221

B.Vy=1

D.

【考点】;双曲线的标准方程.

【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】根据椭圆方程算出椭圆焦点坐标为（±2,0）,再由双曲线且经过点（2,3）,

列式即可解出该双曲线的方程.

22

【解答】解：•••椭圆方程为工

95

，7

..c=Aya2_b2=V95=2,可得焦点坐标为（±2,0）.

22

可设双曲线方程为2--2一=1（。>0,h>0）.

a2b2

f49.

根据题意，得卜2b2.

,a2+b2=22

解得卜=1

lb=V3

.♦.该双曲线的标准方程为x2_d=1

3

故选：A.

【点评】本题给出椭圆与双曲线有相同的焦点，求双曲线的标准方程.着重考查了椭圆、

双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题.

22

2.（2020秋•香坊区校级期末）命题p：“3〈机〈5”是命题/“曲线二——Jr表示双

nr35-m

曲线”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件；双曲线的标准方程.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算.

22

【分析】根据题意，由，〃的范围可得，"-3>0,5-/n>0,即可得曲线J_二^=i表

m~35-m

22

示双曲线，反之，若曲线。二二表示双曲线，必有（机-3）（5-w）>0,解可得

m-35-m

加的取值范围，分析可得答案.

22

【解答】解：根据题意，当3<m<5,则m-3>0,5-;n>0,则曲线2——J=i表

m_35-m

示双曲线，

22

反之，若曲线一」—=1表示双曲线，必有（m-3）（5-m）>0,解可得3<机<5,

m_35-m

22

故命题p：“3V根<5”是命题0“曲线工__。力表示双曲线”的充要条件，

m-35-m

故选：A.

【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及双曲线的标准方程，属于基础题.

22

3.（2019•新课标II）设厂为双曲线C：（a>0,b>0）的右焦点，O为坐标

2,2

ab

原点，以。尸为直径的圆与圆，+尸=.2交于p,Q两点.若|尸。|=|0月，则C的离心率

为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【考点】双曲线的性质.

【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由题意画出图形，由|PQ|=|O~可得PQ过（£,0）,由直角三角形直角边与斜

边的关系求C的离心率.

【解答】解：如图，

由伊。|=|。中,可知PQ过点（£,0）,

一2

由图可得a“2c，得0=£=。区

2a

故选：A,

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.

22

4.（2016•新课标H）已知尸1，F2是双曲线E：2_-匚=1的左，右焦点，点M在E上,

2,2

ab

MQ与x轴垂直，sinNM/2尸|=工，则E的离心率为（）

3

A.&B.C.V3D.2

【考点】双曲线的性质.

【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由条件sin/MF2Fl=工，列出关系式，从而可求离心率.

3

【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，

2I2

则网"|=也_,|MF2|=J4c2+（k_）2,

aVa

可得：2Z>4=O2C2,即又2=2+伊,

可得加a.e-5/2=0,

e>\,解得

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查

数形结合思想，属于中档题.

22

5.(2021•仁寿县校级二模)已知尸1，放分别为双曲线¥-£^l(a>0,b>0)的左焦点

和右焦点，过尸2的直线/与双曲线的右支交于48两点，△AQF2的内切圆半径为“，

△8尸|用的内切圆半径为门，若，1=2m，则直线/的斜率为()

A.1B.aC.2D.2亚

【考点】直线与双曲线的综合.

【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】充分利用平面几何图形的性质解题.因从同一点出发的切线长相等，得|AM=

|AN|,|FIM=IQE|，|F2N|=|F2fl，再结合双曲线的定义得|F1E|-|F2£=2a,从而即可求

得△AF/2的内心的横坐标m即有CZJLt•轴，在ACEF2,△。所2中，运用解直角三角

形知识，运用正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率.

【解答】解：记△AF1F2的内切圆圆心为C,

边4F1、AF2,日尸2上的切点分别为“、N、E,

易见C、E横坐标相等,则|AM=|4M，尸1M=|F|E|,|&N|=|&E|,

由|AF1|-|4冏=2。,

即(HNI+INF2I)=2a,得IMF1I-|NF2|=2G

即I尸闺-|F2£l=2a,记C的横坐标为xo，则E(xo,0),

于是迎+c-(c-xo)—2a,得xo=a,

同样内心。的横坐标也为“，则有COJ_x轴，

设直线的倾斜角为0,则/0尸2。=且，ZCF2O=90°

22

ar1

在△CEF2中，tan/CF2O=tan(900-_)=-^1；-,

2EF

在△OEF2中，tan/QF20=tan-j=

200

A

由门=2f2，可得2tan---=tan(90°22

2

解得tan-§-=返，

22

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函

数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题.

22

6.(2020秋•怀仁市期末)已知点A,8是双曲线9_b>0)的左、右顶点,

Fl,尸2是双曲线的左、右焦点，若国产21=2泥，。是双曲线上异于A,8的动点，且直

线雨，PB的斜率之积为定值4,则|AB|=()

A.2B.2J2C.2V3D.4

【考点】双曲线的性质；直线与双曲线的综合.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】设A（-〃，0）,B（00）,P（x,y）求出斜率，利用斜率乘积推出八b关系,

结合焦距，转化求解。，即可推出|A8|.

【解答】解：设A（-“，0）,B(«,0),P(x,y),

则kD,=工，5上

PAx+aPBx-a

2

2

22

ab

所以kpA.kpByyy

222~2~一1=4,

x+ax-ax»ax-aa

又因为恒人|=2粕，

所以2c=2遥，c=灰,

又因为°2=/+廿，

所以〃=1,b=2,

所以|A8|=2a=2,

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

7.（2020秋•如皋市期末）直线y=fcc-3A+4与双曲线1，-番=1有且只有一个公共点，则

上的取值有（）个

A.1B.2C.3D.4

【考点】直线与双曲线的综合.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

22

【分析】由直线y—kx-3Z+4与双曲线^——=1,得（9-16武）X2-16（8%-6必）x

169

-544=0,则该方程只有一解，分9-16必=0,9-16炉W0两种情况讨论可解得k值.

【解答】解：由直线y=fcr-3A+4与双曲线式_亡=1，得（9-16正）7-16（8k-6必）

169

x-544=0,

①当9-16修=0,即々=±3时，此时直线与双曲线相交，只有一个公共点;

4

②当9-16必WO,即ZW士星时，

4

△=[16（8Z-6A2）『-4（9-16尼）（-544）=0,解得&有2个值，

此时直线与双曲线相切，只有一个公共点；

综上，k的值有4个.

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查函数解决问题的能

力，是中档题.

二.填空题（共4小题）

2

8.（2019•杭州二模）双曲线?一丫2=]的焦距为_2泥_；渐近线方程为、'=+'乂.

【考点】双曲线的标准方程.

【专题】计算题；方程思想：定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由双曲线方程求得a,b,c的值，则其焦距与渐近线方程可求.

【解答】解：由题知，a2—4,后=1,故c2=a2+°2=5,

双曲线的焦距为：2c=2泥，

渐近线方程为：y=±Ax=±lx.

a2

故答案为：2，^；y=

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题.

9.（2017•新课标I）已知双曲线C：/-武=1（a>0,b>0）的右顶点为A,以A为圆

2,2

ab

心，6为半径作圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于M、N两点.若NMAN=60。，

则c的离心率为2返.

一3一

【考点】双曲线的性质.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出小c的关系，然后求解双曲

线的离心率即可.

【解答】解：双曲线C：（a>0,b>0）的右顶点为A（“，0）,

2,2

ab

以A为圆心，人为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.

若NMAN=60°,可得A到渐近线6x+ay=0的距离为：bcos30°=1_后

2口

可得：Jab|=返即包至，可得离心率为：e=^&.

{7^2c23

故答案为：工.

3

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,

考查转化思想以及计算能力.

22

10.(2013•辽宁)已知尸为双曲线C：q__%=i的左焦点，P,。为C上的点，若PQ的

长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段P。上，则的周长为44.

【考点】双曲线的性质.

【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定

值2a”解决.求出周长即可.

【解答】解：根据题意，双曲线C：式_d=1的左焦点尸(-5,0),所以点A(5,0)

916

是双曲线的右焦点，

虚轴长为：8；

双曲线图象如图：

|「网-|AP|=2a=6①

\QF\-|gA|=2«=6②

而|PQ|=16,

①+②

得：\PF]+\QF]-\PQ\=\2,

.,.周长为：|PF|+|QF|+『Q|=12+2|PQ|=44

故答案为：44.

【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题.

"•（2。2。秋・湖北期末）已知双曲线C4一心。）的离心率为e，直线

ab

y=x与双曲线C交于M,N两点，若\MN\=®y,则e的值是_灰」.

【考点】双曲线的性质；直线与双曲线的综合.

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】联立直线与双曲线方程，求解网网，然后推出椭圆的离心率即可.

【解答】解：不妨设点MG,y）在第一象限，联立《a2b2\

yx

2,2

得x2=y2=T^_,

xy2

b-a

又|MN|=&b,

22

•-x+y=^

整理得廿=5。2,

故答案为：^6-

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.

三.解答题（共5小题）

12.（2010•惠城区模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点Fi,尸2在坐标轴上，离心率为

且过点p（4,-/io）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若点M（3,m）在双曲线上，求证：MF；,MF；=°；

（3）求△QMF2的面积.

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；双曲线的标准方程.

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】（1）双曲线方程为/-丁=入，点代入求出参数人的值，从而求出双曲线方程，

（2）先求出MF；•MF；的解析式，把点M（3,w）代入双曲线，可得出MF；♦HF

（3）求出三角形的高，即机的值，可得其面积.

【解答】（1）解：.•.可设双曲线方程为入.

,过点（4,-V10）,A16-10=A,即入=6.

...双曲线方程为7-丁=6；

⑵证明：,.•］；=（-3-2莉,-加，MF；=（27-3,-W）,

MF；•MF（-3-2«）X（2«-3）+"2=-3+川，

点在双曲线上，，9-层=6,即施2-3=0,

•••耐•耐=8

（3）解：△F1M&中氏1放|=4«,由（2）知％=土

：./XF\MF2的F1F2边上的高〃=|刑=如，

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查向量的数量积公式，考查三角形面积的计算,

属于中档题.

13.（2020秋•扬州期末）已知命题p：实数，〃满足不等式，"2-3M+2。2Vo（。＞0）；命题q：

22

实数m满足方程工-=1表示双曲线.

m-lm-5

（1）若命题?为真命题，求实数巾的取值范围；

（2）若p是〃的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【考点】充分条件、必要条件、充要条件；双曲线的标准方程.

【专题】方程思想；定义法；简易逻辑：逻辑推理.

【分析】（1）将不等式进行因式分解，然后根据一元二次不等式的解法进行求解即可；

（2）先分别求出p真与q真时m的取值范围，然后根据p是q的充分不必要条件建立关

系式，解之即可.

【解答】解：（1）由，“2-3。，"+2"<0得（m-a）Cm-2a）<0,

而a>0,所以“<〃z<2a,

所以实数，〃的取值范围为（a,2a）；

（2）命题p为真时，实数m的取值范围为（a,2a）；

命题4为真时，（根-1）（m-5）<0,即实数机的取值范围为（1,5）；

而p是<7的充分不必要条件，即（a,2a）些（1,5）,

所以

烈’解得《4

所以实数”的取值范围

【点评】本题主要考查了含参不等式的解法和双曲线的标准方程，以及充分条件、必要

条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力.

14.（2021•新高考I）在平面直角坐标系xOy中，已知点尸i（-VTz-。），@（万，0）,

点M满足IMF1ITM3|=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

⑵设点7在直线上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且明

2一

-\TB\^\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

【考点】直线与双曲线的综合.

【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算.

【分析】（1）M的轨迹C是双曲线的右支，根据题意建立关于a,b,c的方程组，解出

即可求得C的方程；

（2）（法一）设出直线AB的参数方程，与双曲线方程联立，由参数的几何意义可求得|以|

'\TB\,同理求得|TP|・|TQ|,再根据|n|・|rB|=|TP|,|TQ|,即可得出答案.

（法二）设直线AB方程，将其与双曲线的方程联立，求出两根之和及两根之积，再表示

出IA71及187],同理设出直线PQ的方程，表示出|「71及|QT|,根据|771|・|TB|=|TP|・|7Q,代

入化简后可得出结论.

【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M的轨迹C是双曲线的右支，设C的方程为

-1（a>0,b>0）,x>l,

'c=VI7

a=l

根据题意42a=2,解得,b=4

2_2-2

[c-a+bC=A/17

2

."的方程为*2_916>1）；

16

（2）（法一）设丁（工，nO,直线AB的参数方程为,x^+tcosS,

y=m+tsin8

将其代入C的方程并整理可得，（16COS20-sin20）r+（16cos0-2/wsin0）t-（m~+12）

=0,

由参数的几何意义可知，|m="，\TB\=ti，则

m2+12m2+12

222

"12sine-16cos0l-17cos0

x=y+入cosB,=尢，|T0|=入2,同理可得,

设直线PQ的参数方程为.

y=m+入sinB

12-1-17COS2P

m2+12m2+12

依题意,，则cos20=cos2p,

l-17cos26IT7cos2B

又e#S，故cose=-COS0,则cose+cos0=O,即直线A3的斜率与直线P。的斜率之和

为0.

（法二）设t），直线AB的方程为y二勺（x总）+t，A5，N），B（X2，>2）,

设广Xi〈X2，

将直线AB方程代入C的方程化简并整理可得，

（16-k[，x2+（k]2-2tk[）x-k/+k]t-t^-16=0,

94k22

k,-2k,t1+kjt-t-16

xx=

由韦达定理有，x1+x2=-5l2-----2

ki-1616-ki

又由A（X[，k]X[[如+t）,T,t）可得|AT|=Jl+k/（Xi蒋），

同理可得|BT|=H](X2蒋)，

„11(l+k,2)(t2+12)

=

二|AT||BT|=(l+k])(xi-T-)(x2-y)；-2~?7'

//k]-16

设直线0Q的方程为y=k2(x=)+t,P(X?,y3),Q(X4，yj设X?<XJ

乙/as/。4!

22

(l+k2)(t+12)

同理可得|PT||QT|=-----2-------->

k2-16

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l+k,l+k9°c

又H71|B7]=|P71|Q7],则——!—=一/,化简可得卜，2=卜02,

1

kj-16k2-162

又心#幻，则所=-幻，即心+心=0，即直线4B的斜率与直线尸。的斜率之和为0.

【点评】本题考查双曲线的定义及其标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查直

线参数方程的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

15.（2004•湖北）直线/：y=H+l与双曲线C：2?->2=1的右支交于不同的两点4、B.

（1）求实数％的取值范围；

（II）是否存在实数A使得以线段A8为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，

求出火的值；若不存在，说明理由.

【考点】直线与双曲线的综合.

【专题】计算题.

【分析】（I）将直线/的方程》=区+1代入双曲线C的方程2?->2=1后，由题意知

/-2户0

A=（2k）2-8（k2-2）>0

2k、门

-9—>0，由此可知实数％的取值范围.

k”-2

（H）设A、8两点的坐标分别为（羽，》）、（心，”），由题意得，

由此入手可求出％的值.

【解答】解：（I）将直线/的方程y=自+1代入双曲线C的方程2?-夕=1后，整理得

（必-2）/+2履+2=0.①

依题意，直线/与双曲线C的右支交于不同两点，故

12-2户0

△=（2k）2-8（k2-2）>0

>0

,-kr-^2

>0.

k-2

解得k的取值范围是-2<k<-V2.

（H）设A、B两点的坐标分别为（xi，a）、（M，”），则由①式得j2②

X1•Xn=-5--•

k-2

假设存在实数2,使得以线段A3为直径的圆经过双曲线C的右焦点尸（c,0）.

则由FAJLFB得:（xi-c）（X2-c）+yi”=0.

即（XI-c）（X2-C）4-（fcci+1）（kX2+1）=0.

整理得（F+l）x\X2+（k-c）（»+x2）+c2+l=0.③

把②式及c斗代入③式化简得5k2+2倔-6=0•

解得卜=伫费或k笑⑹由(-2,-&)(舍去)

D0

可知k=伫近使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

【点评】本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用

能力.

16.(2019秋•普陀区期末)已知双曲线「：式-武=1(〃>0,6>0)的焦距为4,直线

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aub

/：x-my-4=0(meR)与「交于两个不同的点£>、E,且〃i=0时直线/