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复变函数与积分变换：5-32思想方法

:封闭路线的积分

.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条3形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周4z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.5例1

解故积分有意义.678因此9若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分102.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的分段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).11xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.12根据留数定理得:13例2计算积分解

在上半平面有二级极点一级极点1415xy..积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.与曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内.同前一型:

补线一起构成封闭都三、形如的积分16由留数定理:17例3计算积分解

在上半平面只有二级极点又18注意以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴上无孤立奇点.19四、小结与思考

本课我们应用“围道积分法

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