向量点乘和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读_第1页
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文档简介

***概念向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算， 就是对这两个向量对应位 相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量 。点乘公式对于向量a和向量对于向量a和向量b：3=[31力2，・.•如a和b的点积公式为：a^b=a.b}+0，、+.一+。力,要求一维向量a和向量b的行列数相同。点乘几何意义b向量在b向量在aa•/?=a^\bcosO推导过程如下，首先看一下向量组成：定义向量:***根据三角形余弦定理有:b=cT+b'—2cibcos。根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有：(a—b)a—b)=a~+b~—2a^b=a~+b~—2abcos9即：a^b=\a^bcos。向量a,b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角QU=acccost )\a\\b\根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为:ab>0方向基本相同，夹角在0°到90°之间ab=0正交，相互垂直ab<0方向基本相反，夹角在90°到180°之间叉乘公式两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。对于向量a和向量b：b=(x^y^z.)a和b的叉乘公式为：

***\axb=y.z,=(v.z.-v.z.)!— —x^z.)j+(x}v^—x^y.)k■♦IF b ，J, ，■Jk!fc< *Lfrg trI，X.VyZ」其中：i=(100)j=(0,1,0)—k=(001)根据i、j、k间关系，有：axb=(ViZ.-y>z1T xj\-a\v\)、■JL. _J.*、_ #■kJ,aF* •/1.F'叉乘几何意义在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a,b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：axbbxa=-axbbeabxa=

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