统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷一客观题专练11立体几何文

立体几何(11)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是()A．正方体B．球体C．三棱柱D．四棱锥2．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()3．[2023·全国甲卷(文)]在三棱锥P­ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，则该棱锥的体积为()A．1B．eq\r(3)C．2D．34.[2023·全国高三月考]某圆柱的正视图是如图所示的边长为2的正方形，圆柱表面上的点A，B，C，D，F在正视图中分别对应点A，B，C，E，F.其中E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线AC与DF所成角的余弦值为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(6),3)5．[2023·惠州一调]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与直线AC所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(3),3)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)6．[2023·新疆高三模拟]已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥cC．若b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则a⊥βD．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β7.[2023·安徽高三二模]在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点．现有以下命题：①三棱锥B­A1EF的体积是定值；②△AB1F的周长的最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\r(2)))a；③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值；④异面直线AC1与B1F所成的角是定值．其中真命题是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8．[2023·湖北省重点中学高三检测]现有一个三棱锥形状的工艺品P­ABC，点P在底面ABC的投影为Q，满足eq\f(S△QAB,S△PAB)＝eq\f(S△QAC,S△PAC)＝eq\f(S△QBC,S△PBC)＝eq\f(1,2)，eq\f(QA2＋QB2＋QC2,AB2＋BC2＋CA2)＝eq\f(1,3)，S△ABC＝9eq\r(3)，若要将此工艺品放入一个球形容器(不计此球形容器的厚度)中，则该球形容器的表面积的最小值为()A．42πB．44πC．48πD．49π9.[2023·湖北省黄冈市高三联考]如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm，高8cm(不含杯脚)，已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变．如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠()A．98颗B．106颗C．120颗D．126颗10．[2023·汉阳区校级模拟]在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D作平面α使α⊥BM，则平面α截正方体所得截面的面积为()A．4eq\r(2)B．4eq\r(5)C．8eq\r(5)D．16eq\r(2)11．[2023·广州阶段训练]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝CC1＝eq\r(2)，BC＝1，点M在正方形CDD1C1内，C1M⊥平面A1CM，则三棱锥M­A1CC1的外接球表面积为()A．eq\f(11,2)πB．7πC．11πD．14π12．[2023·湖北高三月考]《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.用该术可求得圆周率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为()A．eq\r(3)B．3C．3eq\r(3)D．9[答题区]题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2023·四川省广元市高三模拟]某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为________．14．[2023·西安市航天城第一中学期末]给出下列说法：①和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两相交且不过同一点的四条直线共面．其中正确说法的序号是________.15．[2023·全国乙卷(文)]已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．16．[2023·广东七校联考]在三棱锥P­ABC中，PA＝BC＝eq\r(5)，PB＝AC＝eq\r(13)，PC＝AB＝eq\r(10)，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为__________，三棱锥P­ABC的体积为________．立体几何（11）1．B根据几何体的三视图均为圆，可得该几何体为球体．故选B.2．A由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形．故选A.3．A如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)×S△ABC×PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故选A.4.D如图所示，连结DE，EF，易知EF∥AC，所以异面直线AC与DF所成角为∠DFE.由正视图可知，DE⊥平面ABC，所以DE⊥EF.由于AB＝BC＝2，所以EF＝eq\r(2)，又DE＝1，所以DF＝eq\r(3).在Rt△EFD中，cos∠DFE＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).故选D.5．C如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C1，C1D，因为A1C1∥AC，所以∠DA1C1即直线DA1与直线AC所成的角或其补角．易知△A1C1D是边长为eq\r(2)的正三角形，所以∠DA1C1＝60°，所以直线DA1与直线AC所成角的余弦值为eq\f(1,2)，故选C.6．B若a∥b，b⊂α，且a⊄α，则a∥α，故A错误；若α∩β＝a，β∩γ＝b，a∥b，则b∥α，且b⊂γ，由α∩γ＝c，所以b∥c，故B正确；若b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，且b与c相交，则a⊥β，故C错误；若a⊂α，b⊂β，a∥b，且b与a相交，则α∥β，故D错误．故选B.7．B因为VB­A1EF＝VF­A1BE，又因为D1C∥平面A1BE，所以F点到平面A1BE距离不变，所以VF­A1BE为定值，从而三棱锥B­A1EF的体积是定值，所以①对；如图所示的平面展开图，当F点运动到点O时，△AB1F的周长的最小值为AB1＋AO＋OB1＝eq\r(2)a＋eq\r(2)a·eq\f(\r(3),2)·2＝（eq\r(2)＋eq\r(6)）a，所以②对；假设直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值，则点F的轨迹是平面B1CD1上的圆弧，而不是直线CD1，所以③错；因为AC1⊥平面B1D1C，B1F⊂平面B1D1C，所以AC1⊥B18．D如图所示：作QM⊥AB与M，连接PM，因为PQ⊥平面ABC，所以PQ⊥AB，又QM∩PQ＝Q，所以AB⊥平面PQM，所以AB⊥PM，所以eq\f(S△QAB,S△PAB)＝eq\f(\f(1,2)×AB×QM,\f(1,2)×AB×PM)＝eq\f(1,2)，PM＝2QM，因为eq\f(S△QAB,S△PAB)＝eq\f(S△QAC,S△PAC)＝eq\f(S△QBC,S△PBC)＝eq\f(1,2)，由对称性得AB＝BC＝AC，又因为eq\f(QA2＋QB2＋QC2,AB2＋BC2＋CA2)＝eq\f(1,3)，S△ABC＝9eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB2×sin60°＝9eq\r(3)，解得AB＝6，AQ＝2eq\r(3)，所以QM＝eq\r(3)，PM＝2eq\r(3)，PQ＝3，设外接球的半径为r，在△AOQ中，AO2＝OQ2＋AQ2，即r2＝（3－r）2＋（2eq\r(3)）2，解得r＝eq\f(7,2)，所以外接球的表面积为S＝4πr2＝49π，即该球形容器的表面积的最小值为49π.故选D.9．D作出圆锥的轴截面图如图，由题意，OP＝8，O1P＝4，OA＝3，设O1A1＝x，则eq\f(4,8)＝eq\f(x,3)，即x＝eq\f(3,2).则最大放入珍珠的体积V＝eq\f(1,3)π×32×8－eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)×4＝21π因为一颗珍珠的体积是eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(π,6).由eq\f(21π,\f(π,6))＝126.所以最多可以放入珍珠126颗．故选D.10．C作出截面CDEF，点E，F分别为AA1，BB1中点，四边形CDEF的面积为CD×DE＝4×2eq\r(5)＝8eq\r(5).故选C.11．C由于C1M⊥平面A1CM，所以C1M⊥A1C，C1M⊥CM，根据长方体的性质可知A1D1⊥C1M，如图，连接CD1，所以C1M⊥平面A1CD1，所以C1M⊥CD1，连接C1D，则易知M是正方形CDD1C1的对角线CD1和C1D的交点．由于三角形C1MC是直角三角形，所以CC1的中点E是它的外心，设三棱锥M­A1CC1的球心为O，连接OE，则OE⊥平面CDD1C1，设OE∩BB1＝F，则F是BB1的中点．连接A1F，设OF＝x，三棱锥M­A1CC1外接球的半径为R，则R2＝OE2＋CE2＝A1F2＋OF2，即（1＋x）2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝（eq\r(2)）2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋x2，解得x＝eq\f(1,2)，所以R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(11,4)，故三棱锥M­ACC1外接球的表面积为4πR2＝11π.故选C.12．D先求圆周率π的近似值：已知圆锥的底面周长L与高h，其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.设底面圆的半径为r，则L＝2πr，可得r＝eq\f(L,2π)，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)h≈eq\f(1,36)L2h，整理得，π≈3.再来计算所求圆锥体积的近似值：该圆锥的底面直径和母线长相等，其表面积的近似值为27，设该圆锥的底面半径为R，母线长为l，高为h′，S表＝πR2＋eq\f(1,2)·（2πR）·l≈3R2＋eq\f(1,2)·（2×3R）·2R＝27，解得R＝eq\r(3).又2R＝l，所以h′＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(4R2－R2)＝eq\r(3)R＝3，所以所求圆锥体积V′＝eq\f(1,3)πR2·h′≈eq\f(1,3)×3×3×3＝9.故该圆锥体积的近似值为9.故选D.13．答案：6eq\r(3)解析：如图，根据正三棱锥正视图可绘出原图，正三棱锥高为eq\r(52－32)＝4，底面边长为6，结合原图易知，△ABC即正三棱锥的侧视图，BC为底面三角形的高，则侧视图的面积S＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×4＝6eq\r(3).14．答案：④解析：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∩A1B1＝A1，AD∩AA1＝A，但是A1B1，AD异面，故①错误．又AA1，A1B1，A1D1交于点A1，但AA1，A1B1，A1D1不共面，故②错误．如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误．如图，因为a∩b＝D，故a，b共面于α，因为F∈a，B∈b，E∈d，故B∈α，F∈α，E∈α，故BF⊂α即c⊂α，而A∈c，故A∈α，故EA⊂α即d⊂α即a，b，c，d共面，故④正确．15．答案：2解析：方法一如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq\r(3).将三棱锥S­ABC补形为正三棱柱SB1C1－ABC，由题意知SA为侧棱，设球心为O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝eq\f(1,2)SA.又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2，所以4＝eq\f(1,4)SA2＋3，得SA＝2.方法二如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC是边长为3的等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3＝eq