2023年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中学双语学校数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析

2023年湖南省长沙市湘一芙蓉、一中学双语学校数学九年级第一学期期末调研模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．某市计划争取“全面改薄”专项资金120000000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120000000用科学记数法表示为（）A．12×108 B．1.2×108 C．1.2×109 D．0.12×1092．若点是反比例函数图象上一点，则下列说法正确的是（）A．图象位于二、四象限B．当时，随的增大而减小C．点在函数图象上D．当时，3．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．48（1﹣x）2=36 B．48（1+x）2=36 C．36（1﹣x）2=48 D．36（1+x）2=484．如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（）A．10 B．12 C．16 D．185．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点是（）A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（3，2） D．（3，﹣2）7．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（）A． B． C． D．8．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：49．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．10．下列方程中，关于x的一元二次方程是()A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－111．下列方程中，为一元二次方程的是（）A．2x+1=0； B．3x2-x=10； C．； D．.12．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30° B．45°C．90° D．135°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为_____．14．如图，⊙O的半径为4，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为_____．15．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是________．16．如图，在中，，，，点D、E分别是AB、AC的中点，CF是的平分线，交ED的延长线于点F，则DF的长是______．17．已知：，则的值是_______.18．如图，△ABC的外心的坐标是____.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．（参考数据：≈1.414，≈1.1．结果精确到0.1米）20．（8分）如图，转盘A中的6个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形的面积相等．分别任意转动转盘A、B各1次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字分别作为平面直角坐标系中一个点的横坐标、纵坐标．（1）用表格列出这样的点所有可能的坐标；（2）求这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上的概率．21．（8分）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．22．（10分）在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；（2）己知tanA＝，AB＝6，求AC、BC的长．23．（10分）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）24．（10分）为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）25．（12分）如图在直角坐标系中△ABC的顶点A、B、C三点坐标为A(7，1)，B(8，2)，C(9，0)．（1）请在图中画出△ABC的一个以点P(12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形△A'B'C'（要求与△ABC在P点同一侧）；（2）直接写出A'点的坐标；（3）直接写出△A'B'C'的周长．26．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=1．（1）求反比例函数的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（1）求经过C、D两点的一次函数解析式．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】120000000＝1.2×108，故选：B．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2、B【分析】先根据点A（3、4）是反比例函数y=图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．【详解】∵点A（3，4）是反比例函数y=图象上一点，

∴k=xy=3×4=12，

∴此反比例函数的解析式为y=，

A、因为k=12＞0，所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；

B、因为k=12＞0，所以在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确；

C、因为2×（-6）=-12≠12，所以点（2、-6）不在此函数的图象上，故本选项错误；

D、当y≤4时，即y=≤4，解得x＜0或x≥3，故本选项错误．

故选：B．【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键．3、D【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律.4、C【分析】连接OC，根据圆的性质和已知条件即可求出OC=OB=，BE=，从而求出OE，然后根据垂径定理和勾股定理即可求CE和DE，从而求出CD.【详解】解：连接OC∵，∴OC=OB=，BE=∴OE=OB－BE=6∵是的弦，，∴DE=CE=∴CD=DE＋CE=16故选：C.【点睛】此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.5、C【详解】试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以①错误；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以②正确；③∵x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，∵对称轴为直线x=﹣1，∴，∴b=2a，∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．所以本题正确的有：②③④，三个，故选C．6、D【详解】解：由两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，得点（﹣3，2）关于原点对称的点是（3，﹣2）．故选D．【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标．7、C【解析】解：画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P（一红一黄）==．故选C．8、B【解析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴===∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2:5.故选B.9、D【详解】解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴AC=，∵AP=x，∴PC=-x，∴PF=FC=，∴BF=FE=1-FC=，∴S△PBE=BE•PF=，即（0＜x＜），故选D．【点睛】本题考查动点问题的函数图象．10、A【分析】依据一元二次方程的定义判断即可．【详解】A.3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故A正确；B.＋－2＝0是分式方程，故B错误；C.当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C错误；D.x2+2x=x2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D错误；故选A.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.11、B【解析】试题解析：A.是一元一次方程，故A错误；

B.是一元二次方程，故B正确；

C.不是整式方程，故C错误；

D.不是一元二次方程，故D错误；

故选B．12、C【分析】根据勾股定理求解.【详解】设小方格的边长为1，得，OC=，AO=，AC=4，∵OC2+AO2==16，AC2=42=16，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC=90°．故选C．【点睛】考点：勾股定理逆定理.二、填空题（每题4分，共24分）13、k=【解析】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，∴，∵AB=AC，∴OB=CD，由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，故答案为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．14、2+2【分析】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．证明EJ是定值，可得点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，由此即可解决问题．【详解】如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．∵∠BAC＝∠OAF＝120°，∴∠BAO＝∠CAF，∵ABAC，AO＝AF，∴△OAB≌△FAC（SAS），∴CF＝OB＝，∵四边形BCDA是平行四边形，∴AE＝EC，∵AJ＝JF，∴EJ＝CF＝，∴点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，易知OJ＝当点E在OJ的延长线上时，OE的值最大，最大值为OJ+JE＝，故答案为2+2．【点睛】本题考查的是圆的综合，难度较大，解题关键是找出EJ是最大值.15、①③⑤【解析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①正确，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②错误，将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确，根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④正确，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题.【详解】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴对称轴为x=-=1，∴2a+b=0，①正确，∵a，b,抛物线与y轴交于正半轴，∴c∴abc0，②错误，∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y=ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确.∵对称轴为x=-=1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④错误，由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1.，⑤正确.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉二次函数的性质是解题关键.16、4【分析】勾股定理求AC的长,中位线证明EF=EC,DE=2.5即可解题.【详解】解：在中，,,∴AC=13（勾股定理）,∵点、分别是、的中点，∴DE=2.5（中位线）,DE∥BC,∵是的平分线，∴∠ECF=∠BCF=∠EFC,∴EF=EC=6.5,∴DF=6.5-2.5=4.【点睛】本题考查了三角形的中位线,等角对等边,勾股定理,中等难度,证明EF=EC是解题关键.17、【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.【详解】解：由，可设a=2k，b=3k，(k≠0),故：，故答案：.【点睛】此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.18、【解析】试题解析：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．三、解答题（共78分）19、商务楼的高度为37.9米．【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．【详解】过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=，∠DAC=，CE=AB=16设AC=x，则，BE=AC=x∵∵∴BE=DE∴∴∴∴答：商务楼的高度为37.9米.20、（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意列表，展示出所有等可能的坐标结果；（2）由（1）可求得点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上的结果数，再根据概率公式计算即可解答．【详解】（1）根据题意列表如下：纵坐标横坐标312﹣1（﹣1，3）（﹣1，1）（﹣1，2）0（0，3）（0，1）（0，2）1（1，3）（1，1）（1，2）2（2，3）（2，1）（2，2）3（3，3）（3，1）（3，2）4（4，3）（4，1）（4，2）由表可知，共有18种等可能的情况；（2）由上表可知，点（1，2）、（4，2）都在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上，所以P（这些点落在二次函数y＝x2﹣5x+6的图象上）＝＝．【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是不重复不遗漏地列出所有等可能的结果．21、(1)A社区居民人口至少有2.1万人；(2)10.【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；

（2）A社区的知晓人数＋B社区的知晓人数＝7.1×76%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.1−x）万人，

依题意得：7.1−x≤2x，

解得x≥2.1．

即A社区居民人口至少有2.1万人；

（2）依题意得：1.2（1＋m%）2＋1×（1＋m%）×（1＋2m%）＝7.1×76%，

设m%＝a，方程可化为：1.2（1＋a）2＋（1＋a）（1＋2a）＝1.7，

化简得：32a2＋14a−31＝0，

解得a＝0.1或a＝−（舍），

∴m＝10，

答：m的值为10．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．22、（1）AB＝4，AC＝2；（2）BC＝2，AC＝1．【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；（2）解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2；（2）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AB＝6，∴＝，∴设BC＝k，AC＝4k，∴AB＝＝3k＝6，∴k＝2，∴BC＝k＝2，AC＝4k＝1．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．23、（1）证明见解析；（2）6；（3）.【解析】(1)连接OA、OD,如图,利用垂径定理的推论得到OD⊥BE,再利用CA=CF得到∠CAF=∠CFA,然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=,则OA⊥AC,从而根据切线的判定定理得到结论;(2)设⊙0的半径为r,则OF=8-r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到,然后解方程即可;(3)先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB=,则OA=,再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=,则∠AOE=,接着在Rt△OAC中计算出AC,然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积.【详解】（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD=90°，∵CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，而∠CFA=∠OFD，∴∠ODF+∠CAF=90°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），即⊙O的半径为6；（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，∴△BOD为等腰直角三角形，∴OB=BD=，∴OA=，∵∠AOB=2∠ADB=120°，∴∠AOE=60°，在Rt△OAC中，AC=OA=，∴阴影部分的面积=••﹣=．【点睛】本题主要考查圆、圆的切线及与圆相关的不规则阴影的面积，需综合运用各知识求解.24、2.1．【分析】据题意得出tanB=,即可得出tanA,在Rt△ADE中,根据勾股定理可求得DE,即可得出∠FCE的正切值,再在Rt△CEF中,设EF=x,即可求出x,从而得出CF=1x的长.【详解】解：据题意得tanB=，∵MN∥AD，∴∠A=∠B，∴tanA=，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tanA=，∵AD=9，∴DE=1，又∵DC=0.5，∴CE=2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF=90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF=90°，∴∠A=∠FCE，∴tan∠FCE=在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=1x（x＞0），CE=2.5，代入得（）2=x2+（1x）2解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=±，舍负”），∴CF=1x=≈2.1，∴该停车库限高2.1米．【点睛】点评:本题考查了解直角三角形的应用,坡面坡角问题