专题14.2 因式分解（压轴题专项讲练）（人教版）（原卷版）

专题14.2因式分解【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c进行因式分解呢？我们已经知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1反过来，就得到：a1我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为a1xc1像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子x2-x-6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次项的系数－1，于是x2-x-6就可以分解为(x2)(请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x2-x-6=【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2x2+5x-7（2）6x2-7xy+2【探究与拓展】对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mxpyjnx（1）分解因式3x2+5xy-2（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy-18y（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+3y=-1【思路点拨】【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．【解题过程】解：【阅读与思考】画十字交叉图：∴x2-x-6=x-3x2故答案是：x-3x2；【理解与应用】（1）画十字交叉图：∴2x25x7=x12x7，故答案是：x12x7；（2）画十字交叉图：∴6x27xy2y2=2xy3x2y，故答案是：2xy3x2y；【探究与拓展】（1）画十字交叉图：∴3x25xy2y2x9y4x2y13xy4，故答案是：x2y13xy4；（2）如图，∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3=－24，7=1×(－2)+1×9，－5=1×(－8)+1×3，∴m=9×3+(－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3=－78．∴m的值为：43或－78；（3）∵x2∴x2画十字交叉图：∴(x+2y+1)(x+y+1)=0，∴x+2y+1=0或x+y+1=0，∵x，y为整数，∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：x6-283．（2023春·七年级课时练习）分解因式：a4-44．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：6x26．（2023春·七年级课时练习）分解因式：x+y-2xyx+y-2+7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：（1）x2-7x+10（2（3）x2x2-5x-6（5）x23x2+x-2（7）x2-12x2+25x-12（9）x2x2-y（11）x2a2+4a-9b8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：（1）x2-2x3+16x2（3）x2(x2-x-3)(x2（5）x29．（2023春·七年级课时练习）因式分解：（1）x2a2-4b2+12bc-9（3）x210．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：（1）3a(b2+9)2-108ab（3）计算：24+1414+11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式：（1）a2+4ab+4b2-ac-2bc（3）a2-b2-12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：（1）2aa-12-28a2（3）4x3-2x213．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：x14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：（1）2（2）x15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当m为何值时，多项式6x2+mxy-5y216．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣317．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x（2）分解因式：9m（3）分解因式：4a18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝．（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：．（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2x===这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列