2023学年常州市实验初级高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=一'一2"+3，”4］若关于丫的方程"0=入一!恰有4个不相等的实数根，则实数4的取值范围

Inx,x>12

是（）

2.若复数二满足zi=l-i（i为虚数单位），则其共甄复数1的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120。，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在

背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度

为（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

，、111，,

4.已知等差数列｛4｝的公差不为零，且一，一，一构成新的等差数列，S“为｛4｝的前〃项和，若存在“使得S“=0,

d।Cl3^^4

则71=（）

A.10B.11C.12D.13

03

5.设a=k）g3（）.5,b=log020.3,c=2,则4,dc的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

6.祖眼原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、

3为两个同高的几何体，P：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖晅原理可知，P是q

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

TT

7.函数y=Asin（＜yx+e）（«y＞0,I例＜］，xGR）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）

..7171

B.y=4sin(—%-—)

D.y=4sin《x+?)

8.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）.

万元

A.收入最高值与收入最低值的比是3:1

B.结余最高的月份是7月份

C.1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为4（）万元

9.已知锐角a满足2sin2a=l-cos2a,则tana=（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

10.设“、bwR*,数列｛a“｝满足q=2,an+i=a-a^+b,〃eN*，则（）

A.对于任意都存在实数使得4＜M恒成立

B.对于任意/?,都存在实数使得＜M恒成立

C.对于任意匕e（2-4a,+8）,都存在实数使得q恒成立

D.对于任意be（0,2-4a）,都存在实数A7,使得/＜用恒成立

11.集合｛2,0,1,9｝的真子集的个数是()

A.13B.14C.15D.16

12.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加

强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目

前该教师的月退休金为().

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2\x<l,

13.已知函数/(尤)=log>1,则/(/⑵)=——.

、2

14.已知函数/(%)=%-〃211nxi恰好有3个不同的零点，则实数〃2的取值范围为一

y>x

15.若实数x,N满足,x+yN6,则z=-2x+y的最小值为.

y<6

16.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”

借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还

差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为______元.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=(x-a)2-2xlnx,其导函数为/'(x),

⑴若a=0,求不等式/(幻>1的解集；

(2)证明：对任意的0<s<，<2,恒有⑺<1.

s-t

18.(12分)设函数/(x)=|2x+a|+|2x-3|.

(D当时,求不等式〃x)W6的解集；

(2)若不等式“X)24恒成立，求实数a的取值范围.

19.(12分)己知等差数列｛4｝的公差d/0,q=25,且q,%,八成等比数列.

(1)求使不等式4,NO成立的最大自然数小

11312

(2)记数列------的前”项和为小求证：~—<Tn<—.

aa

,nn+i2525

20.(12分)已知数列｛q｝为公差为d的等差数列，d>Q,%=4,且％,%，。9依次成等比数列，2=2"".

(1)求数列也｝的前"项和S,；

(2)若c,=y—,求数列｛%｝的前〃项和为T”.

21.(12分)如图，三棱台ABC-EEG的底面是正三角形，平面ABC_L平面8CGb,CB=2GF,BF=CF.

(1)求证：AB±CG；

(2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.

x=1+cosa

22.(10分)曲线G的参数方程为<(&为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

y=sina

系，曲线G的极坐标方程为0cos2e=4sin6.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

(2)过原点且倾斜角为。(?<a<《)的射线/与曲线G，G分别交于A8两点(异于原点)，求|。4卜|0目的取值

范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由已知可将问题转化为：y=/(x)的图象和直线y=丘一;有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线>=丘

一71的下方，即可求得：*>1-；再求得直线)=履一1；和)=/〃X相切时，k=上；结合图象即可得解.

222e

【详解】

若关于X的方程大幻=在一；恰有4个不相等的实数根，

则y=/(x)的图象和直线》=丘一；有4个交点.作出函数y=1/(x)的图象，如图,

故点(1,0)在直线y=kx-1的下方.

.,.Axl-l>0,解得A>」.

22

当直线y=Ax—；和相切时，设切点横坐标为机,

,11

,\nm+—1.r

则ntI4=2=—，・・m=Ne・

m

m

此时，4='=立，八*)的图象和直线>=履一,有3个交点，不满足条件,

me2

故所求A的取值范围是

故选D..

【点睛】

本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题.

2.D

【解析】

由已知等式求出z,再由共枕复数的概念求得2,即可得之的虚部.

【详解】

1—z—i(1—i).

由zi=l-i,...z=^^=./=-1,所以共扼复数2=-l+i,虚部为1

il\-l)

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共匏复数的基本概念，属于基础题.

3.B

【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.

【详解】

因为弧长比较短的情况下分成6等分，

所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，

27r

故导线长度约为7X30=20〃=63(厘米).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.

4.D

【解析】

利用等差数列的通项公式可得4=-64,再利用等差数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】

111

由一，一，一构成等差数列可得

1%

J__J____1_

%%%。3

即=&=色*=3=超=%=24

aa

%生。3。4\4

又4=4+3〃=4=2(a,+3d)

解得：a}=-6d

又S“=s2«1+(H-1)^/]=|(-12J+(n-1)J)=J(n-13)

所以S“=0时，”=13.

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

5.A

【解析】

选取中间值o和1,利用对数函数y=log3x,y=log°.2无和指数函数y=2*的单调性即可求解.

【详解】

因为对数函数y=log3x在(0,+8)上单调递增，

所以Iog30.5<log31=0,

因为对数函数y=log02x在(0,+“)上单调递减，

所以0=log021<log020.3<log020.2=1,

因为指数函数y=2'在R上单调递增，

所以2°3>2°=1,

综上可知,a<〃<c.

故选:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是

求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

6.A

【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.

【详解】

解：由题意，若A、3的体积不相等，则A、3在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A、3在等高处的

截面积不恒相等，但A、B的体积可能相等，例如A是一个正放的正四面体，8一个倒放的正四面体，必要性不成立,

所以，是4的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.

7.A

【解析】

TT

根据图像的最值求出A，由周期求出“，可得y=4sin(qx+。)，再代入特殊点求出。，化简即得所求.

O

【详解】

T27r7i

由图像知A=4,彳=6—(—2)=8,T=16=—,解得口=工，

2co8

TTJI

因为函数y=4sin(wx+e)过点(2,-4),所以4sin(《x2+e)=-4,

OO

TTJTTT

sin(—x2+°)=-l,即一x2+e=---卜2k兀(kGZ),

882

37ryr

解得°=一二+2%乃(左eZ),因为|如<一,所以。,

424

..7L5乃"、,7T兀、

y=4sin(—xd---)=-4sin(—x+—).

■8484

故选：A

【点睛】

本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.

8.D

【解析】

由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为3()万元，其比是3:1,故A项正确；

结余最高为7月份，为8()—20=6(),故B项正确；

1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C项正确；

前6个月的平均收入为'(40+60+30+30+50+60)=45万元，故D项错误.

6

综上，故选D.

9.C

【解析】

利用sin2e=2sinacosa,cos2a=1-2sin2a代入计算即可.

【详解】

由已知，4sin«cos<2=2sin2«»因e为锐角，所以sinawO,2cosa=sina,

即tana=2.

故选：c.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.

10.D

【解析】

取。=8=1,可排除AB；由蛛网图可得数列｛4｝的单调情况，进而得到要使只需2〈匕也三逛，由此

2a

可得到答案.

【详解】

取。=/?=1,a„+1=a；+l,数列｛4｝恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项;

因为当0＜%＜不时，数列｛““｝单调递增，则为＜%；

当玉＜4＜%时，数列｛«„）单调递减，则玉＜«„W«,；

所以要使。“＜用，只需要0＜%＜々，故2＜1+5二4也,化简得匕＜2—4。且力＞0.

2a

故选：D.

【点睛】

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

11.C

【解析】

根据含有〃个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子集，计算可得；

【详解】

解：集合集,0,1,9｝含有4个元素,则集合｛2,0,1,9｝的真子集有2-1=15（个），

故选：c

【点睛】

考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有〃个元素的集合，有2"个子集，有2"-1个真子

集，属于基础题.

12.D

【解析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可.

【详解】

设目前该教师的退休金为X元，则由题意得：6000X15%-XX1O%=1.解得x=2.

故选D.

【点睛】

本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

I

13.一

2

【解析】

先由解析式求得了(2),再求/(/(2)).

【详解】

f⑵R2=T,/(-1)=2-'=1,

所以/(7(2))=/(-D=p

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题.

14.(e,+oo)

【解析】

/(x)=x-相|InxI恰好有3个不同的零点=〃?一府=0(*=1)恰有三个根，然后转化成求函数值域即可.

【详解】

解：/(x)=x-m|lnx|恰好有3个不同的零点=加-画=°(XH1)恰有三个根,

-■—，%w(0,1)

令g("=扃'("力8(小扁Inx

”,xw(l,+8)

IInx

■xe(O,l),g，(x)=］卢〉()，g(x)在xe(O』)递增

xe(1,8),g，(x)=1>0,

Inx

xe(l,e),g<x)=皆」<°，g(x)递减，

xe(e,8),g<x)=l：11>0,g(x)递增,

Inx

g(%n=g(e)=e

，m〉e时，/(x)在xw(O,l)有一个零点，在工€(1,小)。)有2个零点;

故答案为：〃?e(e,+8).

【点睛】

已知函数的零点个数求参数的取值范围是重点也是难点，这类题一般用分离参数的方法，中档题.

15.-6

【解析】

由约束条件先画出可行域，然后求目标函数的最小值.

【详解】

y=6

由约束条件先画出可行域，如图所示，由z=-2x+y,即y=2x+z,当平行线经过点A时z取到最小值，由

y=x

可得A(6,6),此时z=-2x+y=-2x6+6=-6,所以z=-2x+)，的最小值为一6.

故答案为-6.

【点睛】

本题考查了线性规划的知识，解题的一般步骤为先画出可行域，然后改写目标函数，结合图形求出最值，需要掌握解

题方法.

16.753

【解析】

根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可

【详解】

设共有x人，

由题意知8x—3=7x+4,

解得x=7,可知商品价格为53元.

即共有7人，商品价格为53元.

【点睛】

本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1){x|x>l}(2)证明见解析

【解析】

(1)求出“X)的导数，根据导函数的性质判断函数/(x)的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；

(2)构造函数夕(x)=f(x)-x,利用导数判断。(x)在区间(0,2)上单调递减，结合0<s<，<2可得结果.

【详解】

(1)若。=0,则/(x)=/-2xlnx,/'(x)=2x-2(l+lnx).

,2

设〃(x)=2x—2(l+lnx),则/(无)=2—一,

x

所以〃(工)在(0,1)上单调递减，在(1,丑。)上单调递增.

又当x—0时，%(x)f+8；当X=1时，h(x)=0；当Xf+oo时，/?(x)f+ao,

所以〃(x)NO

所以fM在(0,+/)上单调递增，

又/(D=1,所以不等式又x)>1的解集为{x|x>1}.

(2)设g(x)=r(x),再令夕(x)=g(x)-x=x-2-21nx-2a,

0(x)在(0,2)上单调递减，

又；0<s<t<2,

•••(p(s)<(p(t),

•••g(s)-gQ)>s-f，

/.s—r<0,

.g(s)-g⑺<[

s—t

/(.?)-/(r).

即BnJ__J<1

s-t

【点睛】

本题考查利用函数的导数来判断函数的单调性，再利用函数的单调性来解决不等式问题，属于较难题.

18.(1){x|-l<%<2}(2)(―

【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值，结合图象，从而求得不等式/(x)<6的解集；

⑵求出函数/(X)的最小值，把问题化为/(x)min24,从而求得4的取值范围.

【详解】

(1)当“=1时，

—4x+2,x<—,

2

i3

则〃力二彳4,一万<工<2,

4-x-2,x>—,

所以不等式/(X)<6的解集为｛x|-l<x<2].

(2)/(x)24等价于|2x+a|+|2x-3|",

jfff|2x+«|+|2x-3|>|«+3|,

故/(x)24等价于|a+3]N4,

所以。+324或。+3W-4,

即。21或a4-7,

所以实数a的取值范围为(-8,一刀U[l,”).

【点睛】

本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻

辑推理能力、运算求解能力，难度一般.

19.(1)n=13；(2)证明见解析

【解析】

(1)根据囚，为，《3成等比数列，有结合公差"HO，q=25,求得通项，再解不等式4,20.

111(11、

⑵根据⑴^；=(-2〃+27)(一2〃+25)=一5^^一^^｝用裂项相消法求和'然后研究其单调

性即可.

【详解】

(1)由题意，可知a：=q・q3,

即(4+10d)~=4・(4+12d),

工d(2q+254)=0.

又4=25,dwO,:•d=—2,

/•an=-2/1+27.

A-2n+27>0,

:.n<13.5,

故满足题意的最大自然数为〃=13.

111(11)

anan+{(-2〃+27)(-2“+25)2(-2〃+27-2n+25)

«|«2〃2a3«3«4

悬一^MT+志

从而当时，北=一'-+—'—单调递增，且1,>0，

5050-4n

当〃213时，7；,=-—+—1—单调递增，且北<0,

5()50-4n

所以九几，

1213

由工2=一，==-，知不等式成立・

2525

【点睛】

本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20.(1)5“=2e-2(2)-——'—

“22,,+2-2

【解析】

(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差d=l,从而求出a=2""=2",再利用等比数列的前“项和公

式即可求解.

（2）由（1）求出c,,再利用裂项求和法即可求解.

【详解】

（1）4=4,且外,。3，依次成等比数列，

即：（4—d『=（4—3d）（4+5d）,vJ>0,:.d=\,

■'a”=〃，：.b“=2a"-2",

20-2")

向S,

SjSz%SS„-S„+1S„

---------1-----------------FLH--------

s.S,

【点睛】

本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前“项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.

21.（I）见证明；（H）如

【解析】

（I）取8C的中点为O,连结。尸，易证四边形C0FG为平行四边形，即CG///*,由于=D为BC的

中点,可得到DFA.BC,从而得到CGA.BC,即可证明CG，平面ABC,从而得到CG_LAB；（II）易证。8,DF,

D4两两垂直，以。8,DF,D4分别为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。一肛z,求出平面BEG的

一个法向量为万=（x,〉,z）,设AE与平面BEG所成角为,即可得到答案.

【详解】

解：（I）取8c的中点为。，连结。尸.

由ABC-EFG是三棱台得，平面ABC//平面EFG,从而3C//FG.

,:CB=2GF,：.CDgF,

...四边形CDFG为平行四边形，...CG//DF.

,:BF=CF,。为8c的中点，

ADF1BC,：.CG±BC.

•平面平面BCGE,