小升初核心课程培优班

前言21世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作为根底教育的核心课程，数学学习与孩子的思维开展密切相关。为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。具体来说本教材有以下几个方面的亮点：1．内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识的划分，安排了数的认识、数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习，各个击破，提高效率，针对性和指导性更强。2．循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解答过程剖析详尽。拓展演练与例题讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐进地进行学习。3．专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有针对性地辅导，也可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的学习目的。4．选题新颖：所选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子创新思维能力。今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩子的创新思维能力，帮助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。《小升初数学培优》编写组目录一、数的认识TOC\o"1-1"\h\z\u第1讲数的认识1第2讲数的整除5二、数的运算第3讲简便运算〔1〕8第4讲简便运算〔2〕11第5讲简便运算〔3〕15第6讲简易方程18第7讲定义新运算21三、空间与图形第8讲巧求面积〔1〕24第9讲巧求面积〔2〕27第10讲长方体的外表积和体积30第11讲圆柱体的外表积33第12讲圆柱和圆锥的体积36四、解决问题第13讲画图法解应用题39第14讲假设法解应用题42第15讲列方程解应用题〔1〕45第16讲列方程解应用题〔2〕48第17讲行程问题之屡次相遇51第18讲行程问题之环形赛道54第19讲行程问题之巧用比例57第20讲图示法解分数应用题60第21讲复原法解分数应用题63第22讲转化法解分数应用题66第23讲抓住不变量解分数应用题69第24讲巧用比解分数应用题72第25讲对应法解分数应用题75第26讲假设法解分数应用题78第27讲百分数应用题—溶剂问题81第28讲工程问题〔1〕84第29讲工程问题〔2〕87第30讲按比例分配90第31讲比例的应用〔1〕93第32讲比例的应用〔2〕96第33讲牛吃草问题99第34讲时钟问题102第35讲容斥原理105第36讲抽屉原理108五、实战模拟小升初选校模拟试卷〔一〕111小升初选校模拟试卷〔二〕114外国语中学入学潜能测试卷〔一〕117外国语中学入学潜能测试卷〔二〕121第1讲数的认识一、夯实根底1．数的意义〔1〕自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3……叫做自然数。〔2〕小数把整数“1〞平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。〔3〕分数把单位“1〞平均分成假设干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。〔4〕百分数表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百分比。百分数不能表示一个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。2．数的大小比拟〔1〕整数的大小比拟比拟两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，相同数位上的数大的那个数就大。〔2〕小数的大小比拟比拟两个小数的大小，先看整数局部，整数局部大的小数比拟大；如果整数局部相同，就看十分位，十分位大的小数比拟大；如果十分位相同，再看百分位，百分位大的小数比拟大……〔3〕分数的大小比拟整数局部相同的同分母分数，分子大的分数比拟大。例如：＜，2＞2。整数局部相同的同分子分数，分母小的分数比拟大。例如：＞，3＞3。分子、分母不相同的分数，一般先通分再比拟，也可以把各个分数化成小数再进行比拟。3．小数、分数、百分数的互化〔1〕小数化成分数。原来是几位小数，就在1后面写几个零做分母，把原来的小数去掉小数点做分子，能约分的约分。〔2〕分数化成小数。分母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中1后面有几个零，就在分子从最后一位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有除了2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。〔3〕小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。〔4〕百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。〔5〕分数化成百分数。通常把分数化成小数后〔遇到除不尽时常要保存三位小数〕，再化成百分数。〔6〕百分数化成分数。先把百分数改成分母是100的分数，再约分成最简分数。二、典型例题例1．比拟以下各组分数的大小〔1〕和〔2〕和分析：进行分数的大小比拟时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选择比拟方法，比拟的方法越简单越好。〔1〕和这两个分数的分母比拟大，分子比拟小，可变为同分子比拟。〔2〕和这两个分数一个大于，一个小于，可用为标准进行比拟。解〔1〕：==，==，＞，得出＞。解〔2〕：＞，＜，得出＞。例2．某数增加它的20%后，再减少20%，结果比原数减少了〔〕。A.4%

B.5%

C.10%

D.20%分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。解：设某数为100那么100×〔1+20%〕=120，120×〔1－20%〕=96，〔100－96〕÷100=4%。故应选A。数的认识课堂过关卷一、细心填空1．用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是〔〕；读两个零的六位数是〔〕；一个零也不读的最小六位数是〔〕。2．一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是〔〕，最小是〔〕。3．假设被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为〔〕。4．把0.35，，，34%，从大到小排序〔〕。5．某班男生人数是女生的，女生人数占全班人数的〔〕％6．甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少〔〕%。7．一个分数的分子比分母少20，约分后是，这个分数是〔〕。8．写出三个比小，而比大的最简分数是〔〕、〔〕、〔〕。9．中有〔〕个。10．有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是〔〕。11．A+B=60，A÷B=，A=〔〕，B=〔〕。12．13．一个最简分数，假设分子加上1，可以约简为，假设分子减去一，可化简成，这个分数是〔〕。14．修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修〔〕天完成它的。15．一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为〔〕元。16．甲、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是5：2，这两个数的和是〔〕。17．有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水含盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水60千克。如果这项工作由你来做，你打算用〔〕种盐水，取〔〕千克，加水〔〕千克。18．[x]表示取数x的整数局部，比方[13.58]=13。假设x=8.34，那么[x]＋[2x]＋[3x]=〔〕。二、选择1．最大的小数单位与最小的质数相差〔

〕。A．1.1

B．1.9

C．0.9

D．2．3.999保存两位小数是〔

〕。A．3.99

B．4.0

C．4.00

D．3．以下四个数中，最大的是〔〕。A．101%B．0.C．D．14.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有人乘坐游览车。A．少于100B．100与150之间C．150与200之间D．200与250之间5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是96分，小明考试得分比小强的得分〔〕。A．高B．低C．一样高D．无法确定6．一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、82分、a分、88分、92分，他们的平均分可能是〔〕。A．75B．84C．86D．937．的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该〔〕A．加上20B．加上6C8．书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是()A．亏本B．赚钱C．不亏也不赚9．把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是〔〕。A．1：99B．1：100C．1：101D．100：10110．甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓，这时甲仓中的煤的数量比乙仓少〔〕。A.50%B.40%C.25%三、星级挑战★1．财会室会计结账时，发现财面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点点错了一位，原来这笔钱是多少元？★★2．暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，并约好明明每两天去一次，亮亮每3天去一次。〔1〕7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是〔〕。〔2〕从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有〔〕次。第2讲数的整除一、夯实根底整数a除以整数b〔b≠0〕，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。不能被2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的两个数或几个数，叫做互质数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最小公倍数。二、典型例题例1．从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被2、3和5整除．这样的三位数有几个？分析：根据能被2、3、5整除的数的特征，确定出所组成的三位数要能同时被2、3、5整除，这个三位数的个位数字必须是0。现在一共有四个数字，这个三位数的十位和百位上的数字只能从7、5、3三个数字中选取，且每位上数字的和要能被3整除。解：一共有两个：570或750。例2．有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁，又知它们年龄的乘积是360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？分析：360是年龄的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依据题意，组合成4个连续自然数的乘积。再经过比拟、分析，便可找到年龄最大的小朋友的年龄数。解：360=2×2×2×3×3×5=3×〔2×2〕×5×〔2×3〕=3×4×5×6答：年龄最大的小朋友是6岁。例3．同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？分析：题目要求的是“最少〞为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和24的最小公倍数。解：10、15、18和24的最小公倍数是:2×3×5×1×1×3×4=360答：操场上的同学最少是360人。数的整除课堂过关卷一、填空1．在l至20的自然数中，〔〕既是偶数又是质数；〔〕既是奇数又是合数。2．一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是〔〕，用一个数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是〔〕。3．8〔〕5〔〕同时是2，3，5的倍数，那么这个四位数为〔〕。4．一个五位数7□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是〔〕，△代表的数字是()。5．从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是〔〕，把它分解质因数是：〔〕。6．把84分解质因数：84=〔〕。72和54的最大公约数是〔〕。7．12的约数有〔〕，从中选出4个数组成一个比例是〔〕。8．公因数只有〔〕的两个数，叫做互质数，自然数a和〔〕一定是互质数。9．a、b都是非零自然数，且a÷b=c，c是自然数，〔〕是〔〕的因数，a、b的最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。10．A、B分解质因数后分别是：A=2×3×7，B=2×5×7。A、B最大公因数是〔〕，最小公倍数是〔〕。11．A=2×2×3，B=2×C×5，A、B两数的最大公约数是6，那么C是〔〕，A、B的最小公倍数是〔〕。12．在括号里填上适宜的质数：〔〕＋〔〕=21=〔〕×〔〕。13．两个质数的和是2001，这两个质数和积是〔〕。14．45与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是〔〕。15．两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是〔〕和〔〕。二、解决问题1．有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的跳绳，而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？2．一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平方分米？3．汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。三路汽车在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？三、星级挑战★1．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？★★2．有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如果5个5个的数，最后余4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？第3讲简便运算〔1〕一、夯实根底所谓简算，就是利用我们学过的运算法那么和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆〞与“凑〞，拆是指把一个数拆成的两局部中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下根本的运算法那么和性质：乘法结合律：a×b×c=a×〔b×c〕=〔a×c〕×b乘法分配律：a×〔b＋c〕=a×b＋a×ca×〔b－c〕=a×b－a×c二、典型例题例1.〔1〕9999×7778＋3333×6666〔2〕765×64×××分析〔一〕：通过观察发现这道题中9999是3333的3倍，因此我们可以把3333和6666分解后重组，即3333×3×2222=9999×2222这样再利用乘法分配律进行简算。解〔一〕:原式=9999×7778＋3333×3×2222=9999×7778＋9999×2222=〔7778＋2222〕×9999=99990000×2，××8均可得到整数或整十数，从而使问题得以简化，故可将64分解成2×4×8，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。解〔二〕：原式=765×〔2×4×8〕×××=765×〔2×0.5〕×〔4×2.5〕×〔8×0.125〕=765×1×10×1=7650×9－1998×××5〕×〔9÷5〕，即1998×1.8，这样再根据乘法分配律进行简算。×5〕×〔9÷5〕－1998×=1998×1.8－1998×=1998×〔1.8－0.8〕=1998×1=1998例3．654321×123456－654322×123455分析：这道题通过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1和多1，即654321比654322少1，123456比123455多1，我们可以将被减数改写成〔654321〕×〔123455＋1〕，把减数改写成〔654321＋1〕×123455，再利用乘法分配律进行简算。解：原式=654321×〔123455＋1〕－〔654321＋1〕×123455=654321×123455＋654321—654321×123455－123455=654321－123455=530866三、熟能生巧1．〔1〕888×667＋444×666〔2〕9999×1222－3333×6662．〔1〕×7－2003×〔2〕239×7.2＋956×8.23．〔1〕1989×1999－1988×2000〔2〕8642×2468－8644×2466四、拓展演练1．1234×4326＋2468×28372．275×12＋1650×23－3300×3．7654321×1234567－7654322×1234566五、举一反三六、星级挑战★1．31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷5★★★2．3333×4＋5555×5＋7777×7★★★3．99＋99×99＋99×99×99★★★4.×××第4讲简便运算〔2〕一、夯实根底在进行分数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩小假设干倍，从而简化计算过程；还可以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的运用简算方法。让我们先回忆一下根本的运算法那么和性质：乘法结合律：a×b×c=a×〔b×c〕=〔a×c〕×b乘法分配律：a×〔b＋c〕=a×b＋a×ca×〔b－c〕=a×b－a×c拆分：=－=〔－〕二、典型例题例1．〔1〕2006÷2006××4÷1.6÷分析〔一〕：把2006化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，那么便于约分和计算。解〔一〕:原式=2006÷=2006÷=2006×=××4÷1.6÷××4××1.3〕，又根据分数与除法，4.8与1.6，4与存在倍数关系，可以进行约分后再计算。解〔二〕：原式==7×3×30=630例2．〔1〕〔2〕〔9＋7〕÷〔＋〕分析〔一〕：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中2005×2006可变形为〔2004＋1〕×2006=2004×2006＋2006－1，同时发现2006－1=2005，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。解〔一〕：原式===1分析〔二〕：在此题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多。解〔二〕：原式=〔＋〕÷〔＋〕=[65×〔＋〕]÷[5×〔＋〕]=65÷5=13例3．＋＋……＋分析：因为这个算式中的每个加数都可以分裂成两个数的差，如=1－，=－，=－……其余的局部分数可以互相抵消，这样计算就简便许多。解:原式=〔1－〕＋〔－〕＋〔－〕＋……＋〔－〕=1－＋－＋－＋……＋－=1－=三、熟能生巧1．〔1〕238÷238××0.38÷0.19÷32．〔1〕〔2〕〔＋1＋〕÷〔＋＋〕3．＋＋＋＋＋四、拓展演练1．〔1〕123÷41〔2〕×2.84÷3÷〔1×1.42〕×12．〔1〕〔2〕〔96〕÷〔32〕3．＋＋＋……＋＋五、举一反三六、星级挑战★1．＋＋＋＋＋＋★★2.＋＋＋……＋★★★3．＋＋＋……＋★★★4．1－＋－＋－第5讲简便运算〔3〕夯实根底所谓简算，就是利用我们学过的运算法那么和运算性质以及运算技巧，来解决一些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。简便运算中常用的技巧有“拆〞与“凑〞，拆是指把一个数拆成的两局部中含有一个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行简算。让我们先回忆一下根本的运算法那么和性质：等差数列的一些公式：项数=〔末项－首项〕÷公差＋1某项=首项＋公差×〔项数－1〕等差数列的求和公式：〔首项＋末项〕×项数÷2二、典型例题例1．2＋4＋6＋8……＋198＋200分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2，末项是200。这个数列的项数=〔末项－首项〕÷公差＋1=〔200－2〕÷2＋1=100项，如何求和呢？我们先用求平均数的方法：首、末两项的平均数=〔2＋200〕÷2=101；第二项和倒数第二项的平均数也是〔4＋98〕÷2=101……依次求平均数，共算了100次，把这100个平均数加起来就是数列的和。即和=〔首项＋末项〕÷2×项数。解:原式=〔2＋200〕÷2×100=10100例2．0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9分析：通过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、10000、100000这6个整数，都分别少0.1，因此我们可以把这6个加数分别看成1、10、100、1000、10000、100000的整数，再从总和中减去6个0.1，使计算简便。×6例3．2023×20232023－2023×20232023分析：这道题数值较大，计算起来比拟繁琐，但观察这些数，可以发现具有规律性，即被减数和减数中因数具有相同的排列规律，因此我们可以把20232023写成2023×10001，把20232023写成2023×10001，这样题目中被减数和减数的因数就完全相同，我们也就可以直接算出结果为0。解:原式=2023×2023×10001－2023×2023×10001=0三、熟能生巧1．1＋3＋5＋7＋……＋65＋672．9＋99＋999＋9999＋99999四、拓展演练1．〔1〕0.11＋0.13＋0.15＋……×××0.2＋……×2．〔1〕98＋998＋9998＋99998＋9999983．〔1〕1234×432143214321－4321×〔2〕2002×60066006－3003×40044004五、举一反三六、星级挑战★1．××★★2.〔44332－443.32〕÷〔88664－886.64〕★★3．1.8＋2.8＋3.8＋……★★★4．2002－1999＋1996－1993＋1990－1987＋……＋16－13＋10－7＋4第6讲简易方程一、夯实根底含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程解应用题的根底，解方程通常采用以下策略：①对方程进行观察，能够先计算的局部先进行计算或合并，使其化简。②把含有未知数的式子看做一个数，根据加、减、乘、除各局部的关系进行化简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。③将方程的两边同时加上〔或减去〕一个适当的数，同时乘上〔或除以〕一个适当的数，使方程简化，从而求方程的解。④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。二、典型例题例1．解方程4〔x－2〕＋15=7x－20分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的根本性质合并求解。4〔x－2〕＋15=7x－20解：4x－8＋15=7x－203x=27x=9经检验x=9是原方程的解。例2．解方程x÷2=〔3x－10〕÷5分析：根据等式的根本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转化为x×5=〔3x－10〕×2再求解。x÷2=〔3x－10〕÷5解：x÷2×10=〔3x－10〕÷5×10x×5=〔3x－10〕×25x=6x－20x－20=0x=20经检验x=20是原方程的解。例3．解方程360÷xx=6分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。360÷xx=6解：1080－720=18x18x=360x=20经检验x=20是原方程的解。三、熟能生巧1．①12－2〔x－1〕=4②5x＋19=3〔x＋4〕＋152．①〔2x＋4〕÷18=28②x－5〕÷7=x－83．①7〔x－3〕=3〔x＋5〕＋4②x＋x÷3＋2x－30=180四、拓展演练1．①〔x+10〕＝6x＝32．①x＋—x＝②x＋7.4=x3．①：18%＝②＝五、举一反三六、星级挑战★1．解方程：13x－4〔2x＋5〕=17〔x－2〕－4〔2x－1〕★2．解方程：17〔2－3x〕－5〔12－x〕=8〔1－7x〕★3．解方程：－=2★★4.解方程：〔x－5〕=3－〔x－5〕第7讲定义新运算一、夯实根底同学们，我们都知道四那么运算包括加、减、乘、除，我们接触到的运算符号也无外乎“＋〞、“－〞、“×〞、“÷〞。而在升学考试中，经常会出现一些崭新的题目，这种题目中又出现了新的运算符号，如：⊙、※、◎……并赋予它们一种新的运算方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种运算以及运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来学习定义新运算。二、典型例题例1．〔1〕a◎b=a＋b，求95的值。〔2〕定义新运算“⊙〞，m⊙n=m÷n×。求：①60.4⊙0.4的值是多少？②351⊙0.3的值是多少？分析〔1〕：此题中的新运算符号“◎〞表示的是求“◎〞前后两个数的和，也就是求9与5的和是多少。解〔1〕：9◎5=9＋5=14分析〔2〕：此题中新运算“⊙〞的含义是求“⊙〞前后两个数的商的2.5倍是多少。解〔2〕：①×2.5=151×2.5=377.5②351⊙0.3=351÷0.3×2.5=1170×2.5=2925例2．对于任意两个自然数，定义一种新运算“*〞，a*b=〔a－b〕÷2，求34*〔52*48〕值。分析：新运算“*〞的含义表示：求“*〞前后两数差的一半。此题在计算时，要注意运算顺序，先计算括号内的“52*48〞，再用34与“52*48〞的结果在进行一次这样的运算。解：52*48=〔52－48〕÷2=4÷2=2因此34*〔52*48〕=34*2=〔34－2〕÷2=32÷2=16。例3．定义两种新运算“

〞和“*〞，对于任意两个数x、y，规定x

y=x＋5y，x*y=〔x－y〕×2，求5

*2.5的值。分析：此题包含两种新运算，第一种新运算“

〞表示求“

〞前面的数与后面数的5倍的和是多少；第二种运算“*〞表示“*〞前面的数减去“*〞后面数的差的2倍是多少。所以可以根据他们各自的含义分别求值再作和。解：5

6=5＋5×6=35*2.5=〔3.5－2.5〕×2=25

*2.5=35＋2=37三、熟能生巧1．〔1〕a★b=a－b，求45.2★38.9的值。〔2〕x、y是两个自然数，规定x⊙y=〔x+y〕×10，求3⊙8的值。2．定义一种新运算“◎〞，规定A◎B=2×〔A＋B〕，求0.6◎〔5.4◎5〕的值。3．定义两种新运算“☆〞和“●×b，a●b=8＋3〔a－b〕，求6☆1＋4●2的值。四、拓展演练1．〔1〕定义一种新运算“※〞，规定A※B=4A＋3B－5，求〔1〕6※9〔2〕9※6。〔2〕定义一种新运算“◆〞，规定a◆b=〔3x＋y〕＋2＋x，求：①10◆15②15◆102．〔1〕定义新运算“♂〞，规定m♂n=〔m－n〕÷2，那么8♂〔12♂2〕与12♂〔8♂2〕是否相等？如果不相等，哪个大？〔2〕定义一种新运算“〞，ab=5a＋10b，求37＋58的值。3．定义两种运算“〞和“⊙〞，对于任意两个整数a，b，ab=a＋b－1，a⊙b=a×b－1。计算4⊙[〔68〕〔35〕]。五、举一反三六、星级挑战★1．定义新运算“※〞，假设2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8。求2※〔3※2〕的值。★★2.设a、b表示两个数如果a≥b，规定：a◎b=3×a－2×b；如果a＜b，规定：a◎b=〔a＋b〕×3。求：①9◎6②8◎8③2◎7★★3．设a、b表示两个数，a⊙b=a×b－a+b，a⊙7=37，求a的值。★★★4．设a、b表示两个整数，规定：a◎b=a＋〔a＋1〕＋〔a＋2〕＋〔a＋3〕＋…＋〔a＋b－1〕，求1◎100的值。第8讲巧求面积〔1〕一、夯实根底小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等根本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：正方形边长×边长S=a2长方形长×宽S=ab平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2S=ah÷2梯形〔上底+下底〕×高÷2S=(a+b)h÷2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些根本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。二、典型例题例1．两个相同的直角三角形如下图〔单位：厘米〕重叠在一起，求阴影局部的面积。分析：阴影局部是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影局部与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影局部的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。解：直角梯形OEFC的上底为：10－3=7〔厘米〕，直角梯形OEFC的面积为〔7+10〕×2÷2=17〔平方厘米〕。答：阴影局部的面积是17平方厘米。例2．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。阴影局部的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。分析：因为阴影局部比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40〔平方厘米〕。平行四边形ABCD的面积为：40+10=50〔平方厘米〕。答：平行四边形的面积为50平方厘米。例3．如图,在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？分析:由“E、F分别为AB和AC的中点〞可知，AF=CF，AE=BE，所以三角形ABF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形BEF面积也相等，故有S三角形EBF=S三角形ABF，S三角形ABF=S三角形ABC解：S三角形ABC=8×6÷2=24〔平方厘米〕S三角形ABF=S三角形ABC=×24=12〔平方厘米〕S三角形EBF=S三角形ABF=×12=6〔平方厘米〕答：三角形EBF的面积是6平方厘米。三、熟能生巧1．两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影局部的面积。〔单位：厘米〕2．3．在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影局部的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。四、拓展演练1．3．五、星级挑战★1．梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？★★2．有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。等腰直角三角形的面积是36平方厘米，两个正方形的面积分别是多少？第9讲组合图形面积〔2〕一、夯实根底不规那么图形常由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规那么图形组合而成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转，使之转化为规那么图形的和、差关系，有时要和“容斥原理〞合并使用才能解决。计算圆的周长与面积的主要公式有：〔1〕圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr(2)中心角为n°的弧的长度=n×π×(半径)÷180，即：l=〔3〕圆的面积=π×(半径)2，即：S=πr2(4)中心角为n°的扇形的面积==n×π×(半径)2÷360，即：S==l=lr二、典型例题例1．如以下图〔1〕，在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，求阴影局部的面积。分析〔一〕：把上图靠下边的半圆换成〔面积与它相等〕右边的半圆，得到图〔2〕。这时，右图中阴影局部与不含阴影局部的大小形状完全一样，因此它们的面积相等。所以上图中阴影局部的面积等于正方形面积的一半。分析〔二〕：将上半个“弧边三角形〞从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如图〔3〕所示。阴影局部的面积是正方形面积的一半。分析〔三〕：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如图〔4〕所示。阴影局部的面积是正方形的一半。解：4×4÷2=16〔平方厘米〕例2．如以下图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影局部面积。分析：阴影局部的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。解：S阴影=S扇形ACB＋S扇形ACD－S正方形ABCDABDC=×AB2×ABDC=×42×2－42≈16×=9.12〔平方厘米〕。例3．如以下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影局部的面积。分析：阴影局部的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中〔Ⅰ〕的面积之差。而图中〔Ⅰ〕的面积等于边长为6的正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。解：S阴影=S三角形ACD－〔S正方形BCDE－S扇形EBD〕==40.26〔平方厘米〕。三、熟能生巧1．如以下图，圆的直径为8cm，求阴影局部的面积。2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，分别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影局部的面积。3．如以下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果阴影〔1〕的面积比阴影〔2〕的面积大7平方厘米，求BC长。四、拓展演练1．如以下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影局部面积占大圆面积的百分之几？2．如以下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影局部的面积。3．如图，直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？五、星级挑战★1．如以下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影局部的面积〔取π〕。★★2．求图中的阴影局部的面积。〔单位：厘米〕第10讲长方体的外表积和体积一、夯实根底长方体和正方体六个面的总面积，叫做它们的外表积。长方体的六个面分为上下、左右、前后三组，每组对面的大小、形状完全相同；正方体的六个面是大小相等的六个正方形。长方体的外表积=〔长×宽+宽×高+长×高〕×2正方体的外表积=棱长×棱长×6物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物体的容积计算方法与体积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计算。通常物体的体积要大于容积，当厚度忽略不计时，容积就等于体积。长方体体积=长×宽×高正方体体积=棱长×棱长×棱长二、典型例题例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图，结合空间相像，可知做成的长方体铁盒的长是24－3×2=18〔厘米〕，高就是剪下的小正方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原来长方形铁皮的宽，再加上3×2=6〔厘米〕才是原铁皮的宽。解：长方体铁盒的长：24－3×2=18〔厘米〕长方体铁盒的宽：486÷3÷18=9〔厘米〕长方形铁皮的宽：9＋3×2=15〔厘米〕长方形铁皮的面积：24×15=360〔平方厘米〕答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余局部的长度等于长方体长与宽和的2倍。

解：长＋宽＝〔515－5〕÷2＝255〔cm〕长＋高＝〔445－5〕÷2＝220〔cm〕

宽＋高＝〔235－5〕÷2＝115〔cm〕

长＋宽＋高＝〔255＋220＋115〕÷2＝295〔cm〕

长：295－115＝180〔cm〕

宽：295－220＝75〔cm〕

高：295－255＝40〔cm〕

礼盒体积：180×75×40=540000〔cm3〕=540〔dm3〕

答：这个礼盒的体积是540立方分米。

例3．如图〔1〕，一个密封的长方体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃缸按图〔2〕放置，里面的水深是多少厘米？〔玻璃的厚度忽略不计〕分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相应的变化了。解：设容器侧放后水深是x厘米15×8×3＝15×4×xx＝6答：如果把玻璃缸按图〔2〕放置，里面的水深是6厘米。三、熟能生巧1．在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体〔以下图〕，求这个立体图形的外表积。2．一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，假设将长方体的长边竖立起来，水深会是多少分米？3．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的外表积是多少？四、拓展演练1．如下图是一个棱长12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。“十”字最短边长都是2厘米，求它的外表积和体积？2．如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地)。这个水泥池的体积是多少？.3．图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的外表积是多少平方厘米？五、星级挑战★1．一个长方形水箱，从里面量长40厘米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面仍然高于水面，这时水面高多少厘米？★★2．有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的外表涂上红油漆。将这个大正方体木块锯成棱长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂红漆的有几块？两面涂红漆、一面涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？第11讲圆柱体的外表积一、夯实根底圆柱体是常见的立体图形。它的外表是由一个侧面〔展开是长方形〕和两个相同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。圆柱的外表积=侧面积+两个底面积，即S表=S侧＋2S底，S表=2πrh+2πr2二、典型例题例1．把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同的两块，外表积增加了320平方分米，原来这段圆柱形圆木的外表积是多少平方分米？分析：按这种方法，截面是相同的两个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径。解：长方形面积是320÷2=160〔平方分米〕；底面直径：160÷20=8〔分米〕；×8×20=502.4〔平方分米〕；×〔8÷2〕2=50.24〔平方分米〕；外表积：502.4＋50.24=552.64〔平方分米〕答：原来这段圆柱形圆木的外表积是552.64平方分米。例2．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如以下图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气局部涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析：解题时，既要注意圆柱体的外外表积，又要注意圆孔内的外表，同时还要注意到零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。解：×〔6÷2〕2××6××4×5×〔18＋60＋20〕×98＝307.72〔平方厘米〕．答：涂油漆面积是307.72平方厘米。例3．在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后它的外表积是多少？分析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的外表积，等于原来正方体的外表积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积。解：4×4×6＋2π×1×6=133.68〔平方厘米〕答：打孔后它的外表积是133.68平方厘米。三、熟能生巧1．把一个圆柱体的侧面展开，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底面周长是多少分米？底面积是多少平方分米？2．一个圆柱体的零件，高20厘米，底面直径是14厘米，零件的上面有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是8厘米，孔深12厘米〔见右图〕。如果将这个零件接触空气的局部涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？3．有一个长方体木块，高20厘米，底面是个长方形，长30厘米，宽15厘米，上面有一个底面直径和高都是10厘米的圆柱形的孔，它的外表积是多少平方厘米？四、拓展演练1．将高都是1米，底面半径分别是、1米和的三个圆柱体组成一个物体，求它的外表积。2．右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的外表积。3．右图是一顶帽子。帽顶局部是圆柱形，用黑布做；帽沿局部是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？五、星级挑战★1．一根圆柱形钢材，如图沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体。一个剖面的面积是960平方厘米，求原来钢材的侧面积。★★2．有一张长方形铁皮，如图剪下阴影局部制成圆柱体，求这个圆柱体的外表积。第12讲圆柱和圆锥的体积一、夯实根底本节主要是对圆柱和圆锥的认识，圆柱的外表积以及圆柱、圆锥体积计算。圆柱的特征：圆柱有一个侧面〔展开是长方形〕和两个底面〔完全相同的圆〕，圆柱有无数条高〔两个底面之间的距离〕。圆柱的侧面积=底面周长×高，S侧=ch=2πrh；圆柱的外表积=圆柱的侧面积+两个底面面积；圆柱的体积=底面积×高，即V=sh=πr2h；圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面〔展开是扇形〕。圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。〔一个圆锥只有一条高〕；圆锥的体积=×底面积×高，即V=sh=πr2h；圆锥的外表积=扇形面积+底圆面积。二、典型例题例1．把高10厘米的圆柱体按以下图切开，拼成近似的长方体，外表积就增加了60平方厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？

分析：把圆柱体按上图切开并拼成近似长方体，外表积比原来增加了左、右两个侧面〔长方形〕，长方形的长是底面半径，宽是圆柱的高。

解：60÷2=30〔平方厘米〕

30÷10=3〔厘米〕

×32×10=282.6〔立方厘米〕答：圆柱的体积是282.6立方厘米。例2．把一块长，宽5厘米，高4厘米的长方体钢锭和一块底面直径是8厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块，这个圆锥形钢块的高是多少厘米？分析：要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而题中的圆锥是两个不同形体的几何体熔铸而成的，所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和。解：设圆锥的高为厘米。×〔×82××5×4＋×〔8÷2〕2×25答：这个圆锥形钢块高是。例3．以下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影局部，刚好能做成一个油桶〔接头处忽略不计〕。求这个油桶的容积。

分析：图中的两个圆是圆柱的底面，长方形是圆柱的侧面，因为刚好做成一个圆柱形油桶，所以长方形的长相当于圆柱的底面周长，也就是说：以底面直径为1倍，长方形的长应是直径的倍。从图中可以看出长方形的宽是直径的2倍。

解：设底面直径为厘米。

×〔4÷2〕2×〔4×2〕=100.48〔立方厘米〕=100.48〔毫升〕

答：这个油桶的容积是100.48毫升。三、熟能生巧1．把一个底面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，外表积增加了100平方厘米。求这个圆柱体的体积。2．求空心机器零件的体积。〔单位：厘米〕3．有一张长方体铁皮〔以下图〕，剪以下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？四、拓展演练1．一种儿童玩具——陀螺〔如以下图〕，上面是圆柱体，下面是圆锥体。经过测试，只有当圆柱直径3厘米，高4厘米，圆锥的高是圆柱高的时，才能旋转时稳又快，试问这个陀螺的体积是多大？〔保存整立方厘米〕2．一个圆柱形水桶，假设将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍，可装水40千克，那么原来的水桶可装水多少千克？3．如以下图：用一张长的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的局部围在底面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？〔铁皮厚度不计〕。五、星级挑战★1．一个胶水瓶〔如图〕，它的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，容积为32.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余局部高为2厘米。请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？★★2．有一块棱长分别为6dm、8dm、10dm的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。求这个圆锥体木块的体积？第13讲画图法解应用题一、夯实根底在解答一些应用题时，用作图法可以把题目的数量关系揭示出来，使题意形象具体，一目了然，从而有助于快速找到解题的途径。作图法解题可以画线段图，也可以画示意图，对解答条件隐蔽，复杂疑难应用题，能起到化难为易的作用。例如在解答和差、和倍和差倍三类问题时，都可以用画图法表示。简图如下：〔1〕和差问题〔2〕和倍问题〔3〕差倍问题二、典型例题例1．哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？分析：由条件“哥哥给弟弟4张后，还比弟弟多2张〞画图如下，可知哥哥的邮票比弟弟多4×2＋2＝10〔张〕。解：弟弟有邮票：〔70－10〕÷2=30张，哥哥有邮票：30+10=40张。答：弟弟有邮票30张，哥哥有邮票40张。例2．果园里有桃树、梨树、苹果树共146棵。桃树比梨树少7棵，苹果树比桃树多4棵，三种树各有多少棵？分析：先用线段图表示出三种树棵数之间的关系：从图上可以看出，梨树的棵数比桃树多7棵，苹果树的棵数比桃树多4棵，假设移动多的棵数，那么两种果树共减少了7＋4=11〔棵〕，相应的总棵数就减少11棵：146－11=135〔棵〕，而135棵对应的就是桃树棵数的3倍。解：桃树：〔146－7－4〕÷3=45〔棵〕，梨树：45+7=52〔棵〕，苹果树：45+4=49〔棵〕。答：桃树有45棵，梨树有52棵，苹果树有49棵。例3．某公司三个厂区共有员工1900人，甲厂区的人数是乙厂区的2倍，乙厂区比丙厂区少300人，三个厂区各有多少人？分析：先用线段图表示出三厂区人数之间的关系：从图上可以看出，假设丙厂人数减少300人，总人数也减少300人，为1900－300=1600〔人〕，此时总人数恰好是乙厂的4倍。解：乙厂：〔1900－300〕÷4=400〔人〕，甲厂：400×2=800〔人〕，丙厂：400+300=700〔人〕。答：甲厂有800人，乙厂有400人，丙厂有700人。三、熟能生巧1．一个两层书架共放书72本，假设从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。上、下层各放书多少本？2．张明用272元买了一件上衣，一顶帽子和一双鞋子。上衣比鞋贵60元，鞋比帽子贵70元。求上衣、鞋子和帽子各多少钱？3．三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？四、拓展演练1．姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？2．城东小学共有篮球、足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数是篮球只数的2倍。篮球、足球、排球各是多少只？3．甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。每天从甲站开往乙站的汽车是21辆，从乙站开往甲站的汽车是24辆。经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍？五、举一反三六、星级挑战★1．有货物164吨，分放在甲、乙、丙、丁四个仓库里，乙仓存放吨数是甲仓存放吨数的3倍，甲仓比丙仓少5吨，比丁仓多3吨，甲、乙、丙、丁四个仓库各放多少吨？★★2．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？第14讲假设法解应用题一、夯实根底所谓“假设法〞就是依照条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，做适当调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼〞就是运用假设法解题的一个范例，其根本关系式是：方法1:设鸡求兔〔总足数－2×总头数〕÷〔4－2〕=兔头数总头数－兔头数=鸡头数方法2:设兔求鸡〔4×总头数－总足数〕÷〔4－2〕=鸡头数总头数－鸡头数=兔头数二、典型例题例1．学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元，篮球、排球的单价各多少元？分析：假设买的是9个排球，可以少花8×4=32〔元〕，即如果买9个排球会花185－32=153〔元〕，当然，也可以假设买的是9个蓝球。会多花8×5=40〔元〕，即如果买9个篮球会花185＋40=225〔元〕解〔一〕：假设买回的是9个排球排球的单价：〔185－8×4〕÷9=17〔元〕篮球的单价：17＋8=25〔元〕解〔二〕：假设买回的是9个篮球蓝球的单价：〔185＋8×5〕÷9=25〔元〕排球的单价：25－8=17〔元〕答：排球的单价是17元，篮球的单价是25元。例2．一只松鼠采松子，睛天每天采24个，雨天每天采16个，它一连8天共采168个松子，问这8天当中有几天睛天？分析：假设这8天全是睛天，应采24×8=192〔个〕，比实际采到的多192－168=24〔个〕，怎么会多24个呢？因为这8天中有雨天，每个睛天比每个雨天多采24－16=8〔个〕，24里面有3个8，所以有3个雨天，5个睛天。亦可以假设全是雨天，求出睛天的天数。解〔一〕：假设这8天全是睛天雨天：〔24×8－168〕÷〔24－16〕=3〔天〕睛天：8－3=5〔天〕解〔二〕：假设这8天全是雨天睛天：〔168－16×8〕÷〔24－16〕=5〔天〕答：这几天中有5天睛天。例3．鸡兔同笼，数头共10只，数脚共24只，鸡、兔各有多少只？分析：假设这10只全是鸡，应有脚2×10=20〔只〕，比实际的脚数少24－20=4〔只〕，怎么会少4只脚呢？因为这10只动物中有兔子，每只鸡的脚比每只兔子少4－2=2〔只〕，4里面有2个2，所以有2只兔子，8只鸡。亦可以假设全是兔子，求出鸡的数量。解〔一〕：假设这10只全是鸡兔：〔24－2×10〕÷〔4－2〕=2〔只〕鸡：10－2=8〔只〕解〔二〕：假设这10只全是兔鸡：〔4×10－24〕÷〔4－2〕=8〔只〕兔：10－8=2〔只〕答：鸡有8只，兔有2只。三、熟能生巧1．商场运进200双童鞋，分别装在3只木箱和4只纸箱里，刚好全部装满。如果2只纸箱装的童鞋与1只木箱装的同样多，那么每只纸箱和木箱各装童鞋多少双？2．六年级师生参观科技展览馆，买儿童票52张，成人票7张，共花了330元。成人票是儿童票的2倍。两种票价各是多少元？3．鸡兔同笼，共有27个头，72只脚，问：笼中鸡、兔各有多少只？4．学校组织学生和教师共460人春游，刚好共租了10辆客车，大客车每辆坐50人，小客车每辆坐30人，大、小客车各租了几辆？四、拓展演练1．玲玲的储蓄盒里有二分、五分硬币共65枚，共值2.86元，那么二分、五分的硬币各有多少枚呢？2．李华参加射击比赛，共打20发，规定每中一发记10分，脱靶一发那么倒扣6分，结果得了168分，他一共打中了多少发？3．一名搬运工人从批发部搬运500只瓷砖到商店，货主规定：运到一只完好的瓷砖得运费3角，打破一只赔9角，结果他领到运费136.80元。问在运输中，搬运工打破了多少只瓷砖？五、举一反三六、星级挑战★1．有一堆黄沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少吨？★★2．蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。问：每种小虫各几只？第15讲列方程解应用题〔1〕一、夯实根底列方程解应用题的一般步骤是：〔1〕弄清题意，找出未知数，并用x表示；〔2〕找出应用题中数量间的相等关系，列方程；〔3〕解方程；〔4〕检验，写出答案。二、典型例题例1．父亲今年50岁，儿子今年14岁，问几年前父亲的年龄是儿子的5倍？

分析：根据“几年前父亲的年龄=几年前儿子年龄的5倍〞，可建立等量关系。解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍。50－x=5〔14－x〕x=5答：5年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍。例2．涛涛家4口人的年龄之和147岁，妈妈比涛涛大27岁，爷爷的年龄是妈妈和涛涛年龄之和的2倍，且比爸爸大38岁。问：涛涛家四口人的年龄各是多少？分析：由一家四口人的年龄之和为147岁知等量关系为：“涛涛岁数＋妈妈岁数＋爸爸岁数＋爷爷岁数=全家年龄和〞。另外，经分析，设涛涛的年龄为x，那么此题化难为宜。解：设涛涛年龄为x岁，那么妈妈是〔x+27〕岁，爷爷是[(x+x+27)×2]岁，爸爸是[(x+x+27)×2－38]岁。x＋〔x+27〕＋[(x+x+27)×2－38]＋[(x+x+27)×2]=14解得：x=5妈妈年龄：x+27=5＋27=32(岁)爸爸年龄：x+x+27)×2－38=〔5＋5＋27〕×2－38=36〔岁〕爷爷年龄：(x+x+27)×2=〔5＋5＋27〕×2=74(岁)答：涛涛5岁，妈妈32岁，爸爸36岁，爷爷74岁。例3．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？分析：这题是数字问题，根据“新数比原数小108”可以列出等量关系式：“原数＝新数＋108”，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x，那么原三位数可表示为〔10x＋5〕，新三位数可表示为〔5×100＋x〕解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x。10x＋5＝5×100＋x＋10810x－x＝500＋108－59x＝603x＝6710×67＋5＝675答：原三位数是675。三、熟能生巧1．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，20年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：爸爸和儿子今年各是多少岁？2．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的和。这条大鲨鱼全长多少米？3．某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？四、拓展演练1．学校里白色粉笔的盒数是彩粉笔的4倍，如果再增加白粉笔130盒，再增加彩粉笔50盒，那么白粉笔是彩粉笔的3倍。求白粉笔和彩粉笔原来各有多少盒？2．78只鸡在田里捉青虫吃,共吃掉138条青虫，每只公鸡吃4条青虫，每只母鸡吃3条青虫，两只小鸡吃一条，母鸡比公鸡多18只，问这群鸡中公鸡，母鸡，小鸡各有多少只？3．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是新数的3倍。求原来的六位数。五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？★★2．箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球。如果经过假设干次后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个？第16讲列方程解应用题〔2〕一、夯实根底列方程的实质是把题中的“生活语言〞化为“代数语言〞，即把文字等量关系式用数与未知数代入即得方程。列方程解应用题的两个关键点：〔1〕用x表示未知量。〔2〕建立等量关系二、典型例题例1．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？分析：我们可以根据“两种零件合格的一共42个〞建立等式，可列出方程。解：设生产乙种零件为x个，那么生产甲种零件为x＋12个。〔x+12〕×+x=42x+=42x=18甲种零件个数为：18+12=30〔个〕答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。例2．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球个数是红球的，蓝球个数是红球的，黄球个数的比蓝球少2个。袋中共有多少个球？分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球进行比拟，所以设红球个数为x比拟简单。再根据“黄球个数的比蓝球少2个〞建立等式，可列出方程。解：设红球个数为x，那么黄球个数为x，蓝球个数为x。x－×x=2x=30x＋x＋x=30＋24＋20=74〔个〕答：袋中共有74个球。例3．有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米分析：如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出水是30立方米，第三次放出的水是剩下的水〔x－x－30〕的，所以有这样的等量关系：“第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量〞。解：设全池蓄水量为x立方米。x+30+〔x-x-30〕×+54=xx－x－x=72x=200答：全池蓄水为200立方米。三、熟能生巧1．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？2．六年级有学生300人，从六年级男生中选出，女生中选出参加校运动会，这样全年级还剩下91人参加布置会场工作。六年级有男、女生各多少人？，3．长江文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的和钢笔的相等，长江文具店共运来多少支笔？四、拓展演练1．某人装修房屋，原预算25000元。装修时因材料费下降了20％，工资涨了10％，实际用去21500元。求原来材料费及工资各是多少元？2．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的5折出售，将赔30元，按定价的9折出售，将赚20元，那么商品的定价为多少元？3．某书店出售一种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一局部后每本减价10元出售，全部售完。减价出售的挂历本数是减价前出售挂历本数的。书店售完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？五、举一反三六、星级挑战★1．甲、乙两人各有钱假设干，现有18元奖金，如果全部给甲，那么甲的钱为乙的2倍，如果全部给乙，那么乙的钱为甲的。问原来两人各有多少元钱？★★2．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。这群羊原来有多少只？第17讲行程问题之屡次相遇一、夯实根底在一些稍复杂的行程问题中，出现了第二次相遇〔即两次相遇〕的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，画图弄清数量关系，明确运动过程以及路程、速度、时间三个量之间的关系，解答起来也十分方便。二、典型例题例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。分析：根据题意可画出下面的线段图：从图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240〔千米〕，从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多解：80×3－60＝180〔千米〕答：A、B两地间的路程是180千米。例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。分析：根据题意可画出线段图：由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24解：〔80×3＋60〕÷2＝150〔千米〕答：A、B两地间的路程是150千米。例3．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路上巡逻，大警卫每秒走，小警卫每秒走，每天早晨俩人同时从路的两段相向走来，走到对方出发地点再向后转接着走。当他们第三次相遇时，大警卫走了多少厘米？分析：第一次相遇，两人共同走了一个全长；从第二次相遇到第三次相遇，两人又走了两个全长，从开始到第三次相遇，两人共走了5个全长，5个全长除以速度和求出相遇时间是：20×5÷〔0.5＋0.3〕=125秒，再乘以大警卫的速度就是所求。解：20×5÷〔0.5＋0.3〕××=125×=62.5〔厘米〕答：当他们第三次相遇时，大警卫走了。三、熟能生巧1．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，乙车每小时行57千米，甲车到达西城后立刻返回。两车从出发到相遇一共经过多长时间？2．客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。3．李明和王华步行同时从A、B两地出发，相向而行，第一次在距离A地520米处相遇，相遇后继续前进，到对方出发点后立即原速返回，第二次在距离A地四、拓展演练1．赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑，赵老师每分钟跑110米，王老师每分钟跑90米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后再返回继续跑。他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？2．快、慢两辆汽车同时从A、B两地相向而行，快车每小时行45千米，慢车每小时行30千米。两车不断往返于A、B两地运送货物。当两车第三次相遇后，快车又行了270千米才与慢车相遇。求A、B两地间的距离。3．小华、小明、小丽三人步行，小明每分钟走50米，小华每分钟比小明快10米，小丽每分钟比小明慢10米，小华从甲地，小明、小丽从乙地同时出发相向而行，小华和小明相遇后，过了15分钟又和小丽相遇，求甲、乙两地间的距离？五、举一反三六、星级挑战★