安徽I省2021年中考数学题型专项复习训练：题型六　二次函数的实际应用

题型六二次函数的实际应用

类型1利润最值问题

1.[2020辽宁营口]某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,

当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映:销售

单价每降低0.5元很每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本单价），若设这款“免洗洗手液”

的销售单价为M元），每天的销售量为“瓶）.

⑴求每天的销售量M瓶）与销售单价M元）之间的函数关系式；

⑵当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

2.[2020合肥蜀山区模拟]某水果连锁店销售某种热带水果，其进价为20元,阡克.销售一段时间

后发现，这种水果的日销售量M千克）与售价M元汗克）的函数关系的图象如图所示.

“千克

叼千克）

⑴求y关于x的函数解析式.

⑵当售价为多少时,当日的销售利润最大，最大利润是多少?

⑶由于某种原因,这种水果每千克的进价提高了0元（加和）,物价局规定这种水果的售价最高不得

超过40元/午克，但日销售量与售价仍然满足⑴中的函数关系.若日销售利润最大是1280元清

直接写出0的值.

3.[2020贵州黔东南州]黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品,

需60兀;购进2件甲商品和3件乙商品，需65兀.

⑴甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

⑵设甲商品的销售单价为M元），在销售过程中发现，当11WXW19时，甲商品的日销售量M件）与

销售单价M元）之间存在一次函数关系/与y之间的部分对应值如下表：

销售单价x/元1119

日销售量牛182

请写出当11WXW19时j与x之间的函数关系式.

⑶在⑵的条件下，设甲商品的日销售利润为冲元,当甲商品的销售单价M元）定为多少时,日销售

利润最大?最大利润是多少?

4.[2020安庆四中二模]某市在党中央精准扶贫政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民

组建农副产品销售公司.某农副产品的年产量不超过100万件，已知生产出的产品都能在当年销

售完,达到产销平衡.该产品每年的生产费用M万元）与年产量M万件）之间的函数图象是顶点为

原点的抛物线的一部分,如图⑴所示.该产品的售价z（元/牛）与年销售量M万件）之间的函数图象

是如图⑵所示的一条线段.设所获毛利润为眼万元）.（毛利润超售额性产费用）

⑴请直接写出y与X以及z与X之间的函数关系式.

⑵求/与X之间的函数关系式，并求年产量为多少万件时，所获毛利润最大，最大毛利润是多少.

⑶受资金的影响,2020年投入生产的费用不会超过360万元，问：2020年最多可获得多少万元的

号！I润?

图⑴图⑵

5.[2020合肥瑶海区二模]随着时代的不断发展，生活中出现了许多新颖的网络购物方式.某电商

平台上提供了一种拼团购买的方式，当拼团（单数不超过15单）成功后商家将会让利一定的金额

给予顾客实惠.现在某商家准备出售一种每件成本为25元的新产品，经市场调研发现，单价M单

位:元）、日销售量网单位:件）与拼单单数x之间满足一次函数关系，部分数据如下表.

请根据以上信息解决下列问题：

⑴请分别写出单价K日销售量与拼单单数x之间的函数关系式;（直接写出结果）

⑵拼单单数设置为多少时日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

⑶在实际销售的过程中，厂家希望能有更多的商品出售，因此电商每销售一件商品厂家就给予电

商补助a元（aW2）,已知电商在获得补助之后日销售利润能够随单数x的增大而增大，求a的取值

范围.

6.[2020湖北随州]2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月

（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格4元ZR）和销量q（只）与第x天的关系如下表：

第x天12345

销售价格元/

23456

只）

销量<7/只7075808590

物价部门发现这种乱象后,统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第

6天起将该型号口罩的价格调整为1元ZR.据统计，该药店从第6天起销量7（只）与第x天的关

系为片-2,比0x-200（6WxW30,且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/R.

⑴直接写出该药店该月前5天的销售价格。与x和销量，/与x之间的函数关系式；

⑵求该药店该月销售该型号口罩获得的日销售利润仪元）与x的函数关系式，并判断第几天的利

润最大；

⑶物价部门为了进一步加强市场整顿,对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常

利润之外的非法所得部分处以0倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围

为.

类型2抛物线形问题

7.某景区平面图如图⑴所示为边界上的点，已知边界皈是抛物线的一部分，且点E为

其顶点，其余边界均为线段，且/〃，/^^[〃^/^^4，/^，抛物线的顶点£到4?的距离0E=7,以

四所在直线为x轴，龙■所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

⑴求边界皈所在抛物线的解析式；

⑵如图⑵，该景区管理处欲在区域四曲内，以四为一边，用围栏围一个矩形场地拗幽使得点

跖V在边界四上，点打。在边界侬上，求所用围栏的最大长度及此时点一的位置.

8.如图所示,x轴上线段必表示一段平直公路，比1为山坡.一辆喷灌车停在平面直角坐标系的原

点。处,从喷头”0,2)喷出抛物线形水柱,能给山坡上点C(4O,0)处的水窖注水，山脚点5(19,0).水柱

离开喷头水平前进30m达到最高47m.

⑴求水柱所在抛物线的函数解析式和勿的值；

⑵若喷出的抛物线形水柱形状不变，欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖，要给它注水,

必须把车开到距山脚点占多少米处？

9.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12叫宽是4m.按照图中所示的直角坐

标系,抛物线可以用表示，且抛物线上的点。到墙面防的水平距离为3叫到地面0A

的距离为5m.

⑴求该抛物线的解析式,并计算出拱顶〃到地面0A的距离；

⑵一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4叫如果隧道内设双向行车道，那么这辆货

车能否安全通过？

⑶在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8

m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

类型3面积问题

10.为了改善市民的生活环境，某市修建了一个休闲文化广场，如图，在口△/园内修建矩形水池

〃比使顶点在斜边4?上,分别在直角边园/C上，又分别以4?阳为直径作半圆，构造

出两弯新月形状的区域（图中阴影部分）,并在该区域种植花草，其余空地铺设瓷砖，其中，彷=24百

米，/胡C=60。，设EF=x米,DE=y米.

⑴求y与x之间的函数关系式（请直接标明x的取值范围）.

⑵当/为何值时，矩形座尸。的面积最大?最大面积是多少?

⑶求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形应的面积等于两弯新月面积的

11.李师傅想在自家院子里利用夹角为135°的两面墙修建一个储物间，即四边形四◎如图，其中

BC//ADZCK。，现欲在新建的墙比1上预留一个宽为2m的门跖已知李师傅家现有的砖只能

修建16m长的墙，设CD=xm,四边形月物的面积是ym2.

⑴求y与*之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.

⑵当天取何值时』取得最大值，最大值是多少?

12.农业承包大户李师傅承包了一片空田养殖草鱼.他用总长为88m的围网围成如图所示的矩

形区域，并将矩形ABCD分为5个较小的矩形，其中矩形②③④⑤面积相等.若EF=x叫矩形ABCD

的面积为7m2.

⑴求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围.

⑵当x为何值时/取最大值?最大值是多少?

AD

H

MNC

答案

题型六二次函数的实际应用

类型1利润最值问题

L[2020辽宁营口]某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,

当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映销售

单价每降低0.5元很U每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本单价），若设这款“免洗洗手液”

的销售单价为M元），每天的销售量为M瓶）.

⑴求每天的销售量M瓶）与销售单价M元）之间的函数关系式；

⑵当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

解:⑴*80+20X需，

.:尸YOx比80.

⑵设每天的销售利润为“元,

则呼H0x+880)(xT6)=M0(xT9*360.

:yoe,

.:当x=19时，/取最大值",最大=360.

答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大，最大利润为360元.

2.[2020合肥蜀山区模拟]某水果连锁店销售某种热带水果，其进价为20元/千克.销售一段时间

后发现，这种水果的日销售量M千克）与售价M元/千克）的函数关系的图象如图所示.

〃千克

F-u而占千克）

⑴求y关于x的函数解析式.

⑵当售价为多少时,当日的销售利润最大，最大利润是多少？

⑶由于某种原因,这种水果每千克的进价提高了加元（加0）,物价局规定这种水果的售价最高不得

超过40元/阡克，但日销售量与售价仍然满足⑴中的函数关系.若日销售利润最大是1280元清

直接写出加的值.

解:⑴由图象可知，日销售量武千克）与售价N元不克）满足一次函数关系，

故设尸奴坳将（25,110）,（30,100）分别代入,

,（25k+b=110,

后s（30k+b=100,

解得忆温

•:尸一2户160.

⑵设售价为M元阡克)时,日销售利润为“(元)，

则呼(x-20)(-2x+160)=-2/+200x-3200=-2(x-50y+l800.

：-2<0,.：抛物线开口向下，

.:当x书0时，『取最大值，最大值为1800.

答:当售价为50元/千克时，日销售利润最大，最大利润是1800元.

⑶“工.

解法提示根据题意知，每千克进价提高m元后，呼(x-20而X(-2x+160)=-2产《200+2俞xy200

160典

•:抛物线的对称轴为直线X=斐啰节0号.

:•苏0,

.：50型，50,

.:当肝40时,，『取最大值1280,

艮P当xNO时,「一2X40-"200+2就X40-3200-160^1280,

解得m=4.

3.[2020贵州黔东南州]黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品,

需60兀;购进2件甲商品和3件乙商品，需65兀.

⑴甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

⑵设甲商品的销售单价为M元)，在销售过程中发现，当11WXW19时，甲商品的日销售量M件)与

销售单价M元)之间存在一次函数关系/与y之间的部分对应值如下表：

销售单价x/元G——19

日销售量”牛182

请写出当11WXW19时j与x之间的函数关系式.

⑶在⑵的条件下，设甲商品的日销售利润为冲元,当甲商品的销售单价M元)定为多少时,日销售

利润最大?最大利润是多少？

解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a元、。元.

由题意得｛MM热

解得｛M2'

故甲、乙两种商品的进货单价分别是10元、15元.

⑵设11W后19时,y与x之间的函数关系式为y=k、x+b、.

将(11,18),(19.2)分别代入得｛款徵二,

解哦二孩

故UWxW19时y与x之间的函数关系式为y=-2x+40(ll-W19).

⑶由题意得-尚0)(xT0)=-2寸40xY00=-2(xT5『拈0(11WXW19).

：*-2<0,

,:当15时,，r取得最大值50.

答:当甲商品的销售单价定为15元时，日销售利润最大，最大利润是50元.

4.[2020安庆四中二模]某市在党中央精准扶贫政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民

组建农副产品销售公司.某农副产品的年产量不超过100万件，已知生产出的产品都能在当年销

售完，达到产销平衡.该产品每年的生产费用N万元）与年产量4万件）之间的函数图象是顶点为

原点的抛物线的一部分,如图⑴所示.该产品的售价z（元/牛）与年销售量M万件）之间的函数图象

是如图⑵所示的一条线段.设所获毛利润为叫万元）.（毛利润嘴售额住产费用）

⑴请直接写出y与X以及z与X之间的函数关系式.

⑵求犷与x之间的函数关系式，并求年产量为多少万件时，所获毛利润最大，最大毛利润是多少.

⑶受资金的影响,2020年投入生产的费用不会超过360万元，问：2020年最多可获得多少万元的

毛利润?

解：（1）尸与x之间的函数关系式为y■广

%与人之间的函数关系式为/丁系x+30.

解法提示:设

将(100,1000)代入彳导1000=10000a,

解得a^io,

故y与，、之间的函数关系式为」*'.

设z"x为将(0,30),(100,20)分别代入,

得0=3。，

1寸tl00k+b=20,

解得卜=一2，

lb=30,

故/与X之间的函数关系式为/=号"30.

(2)Vf=zx-y=-^-x=7+30广二(丁T5(M^(A-75)2+1125.

.:当x=75时，/取最大值，为1125,

故年产量为75万件时，毛利润最大，最大毛利润为1125万元.

⑶令片360,即看x-360,

解得>=60(负值不合题意，已舍去).

结合y与x之间的函数图象可知，当0<x<60时,0GW360.

对于心*广75"1125,

当0JW60时，”随x的增大而增大，

故当产60时,/取最大值，最大值为1080.

故2020年最多可获得毛利润1080万元.

5.[2020合肥瑶海区二模]随着时代的不断发展，生活中出现了许多新颖的网络购物方式.某电商

平台上提供了一种拼团购买的方式，当拼团（单数不超过15单）成功后商家将会让利一定的金额

给予顾客实惠.现在某商家准备出售一种每件成本为25元的新产品，经市场调研发现，单价M单

位:元）、日销售量底单位:件）与拼单单数x之间满足一次函数关系，部分数据如下表.

拼单单数x

单价y/7t

日销售量必

请根据以上信息解决下列问题：

⑴请分别写出单价K日销售量0与拼单单数X之间的函数关系式;（直接写出结果）

⑵拼单单数设置为多少时日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

⑶在实际销售的过程中，厂家希望能有更多的商品出售，因此电商每销售一件商品厂家就给予电

商补助a元（aW2）,已知电商在获得补助之后日销售利润能够随单数X的增大而增大，求a的取值

范围.

解:⑴片-%+35；

/〃Nx40.

解法提示:设y=kx+b,

将(4,34)阳33)分别代入,

+"=34,解得.k=-；

+b=33,肿1可

b=35,

・：厂335.

设m=k、x+b\,

将(4,76),(8,92)分别代入,

得"1+瓦=76,解得件=4,

1守18kl+瓦=92,用牛个瓦=60,

•:勿2x40.

⑵设日销售利润为M元),根据题意彳导

H2x+35-25)(41与0)=-/+25*与00=-(A--)

:一1©才是整数，

.:当产12或13时，“取最大值，最大值为756.

答:当拼单单数为12或13时日销售利润最大，最大日销售利润是756元

⑶设电商获得补助后日销售利润为网元),

根据题意，得K二#35-25+a)(4x450)-«25Ma)x对00用0a,

4

易知该二次函数图象开口向下,对称轴是直线1-警

「当后15时,//随x的增大而增大小是整数,

2

又aW2,.：l<aW2.

6.[2020湖北随州]2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月

（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格以元ZR）和销量g（只）与第x天的关系如下表：

第x天12345]

销售价格。/（元/

23456

只）

销量”只7075808590

物价部门发现这种乱象后,统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第

6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只.据统计，该药店从第6天起销量4只）与第x天的关

系为g=-2/比0『200（6WxW30,且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/R.

⑴直接写出该药店该月前5天的销售价格。与*和销量q与x之间的函数关系式；

⑵求该药店该月销售该型号口罩获得的日销售利润网元）与，丫的函数关系式，并判断第几天的利

润最大；

⑶物价部门为了进一步加强市场整顿,对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常

利润之外的非法所得部分处以加倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则勿的取值范围为

党.

解:⑴且x为整数；

<7=5入出5,1WxW5且x为整数.

⑵当1WXW5且x为整数时,

修户1-0.5）（5x用5）巧x：芍若；

当6WxW30且x为整数时，

炳I-0.5）（-2/比0才-200）

=-*M0xT00.

（5/+手x+领14xS5且x为整数），

即有叫22

卜产+40%-100（6<X<30且x为整数）.

当1WxW5且x为整数时,售价、销量均随A的增大而增大，

故当产5时,我最大乂95；

当6WxW30且x为整数时,/=-^M0*-100-{;（-20）2+300,

故当心20时，川最大」00.

由495>300,可知第5天利润最大.

®类型2抛物线形问题

7.某景区平面图如图⑴所示,4阳为边界上的点已知边界C班是抛物线的一部分，目点£为

其顶点，其余边界均为线段，且抛物线的顶点£至!]46的距离为7,以

所在直线为“轴，宏所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

图⑴图⑵

⑴求边界碎所在抛物线的解析式；

⑵如图⑵，该景区管理处欲在区域四曲内以四为一边，用围栏围一个矩形场地楸倒使得点

跖平在边界然上，点＜0在边界优。上，求所用围栏的最大长度及此时点P的位置.

解:⑴根据题图可知凤0,7),边界皿所在抛物线的对称轴为y轴，

.：可设抛物线的解析式为片ax—7,。吗仞4

又BC，AB,BCA

将(4,3)代入尸a*+7,解得a叫

.：边界以〃所在抛物线的解析式为+7.

4

(2)设久"厂//+7),

则偌0六二府+7,

4

•:围栏的长度为图于V+Q法27+2(二序+7)-，+27+M-力广2)。16,

•:当，片2时，围栏的长度最大，最大长度为16,此时点尸的坐标为⑵6).

8.如图所示/轴上线段仍表示一段平直公路，比为山坡.一辆喷灌车停在平面直角坐标系的原

点。处,从喷头4(0,2)喷出抛物线形水柱,能给山坡上点口40,血处的水窖注水,山脚点以19,0).水柱

离开喷头水平前进30m达到最高47m.

⑴求水柱所在抛物线的函数解析式和〃的值;

⑵若喷出的抛物线形水柱形状不变，欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖，要给它注水,

必须把车开到距山脚点8多少米处?

解:⑴由题意可知抛物线的顶点为(30,47),

故可设抛物线的解析式为y=a(x-30)M7,

把点A的坐标代入彳导2=a(0-30)2^7,

解得05,

.:尸-0.05(x-30)2掰7.

当了20时，片05X(40-30『M722,

.\m=A2.

⑵设直线团的解析式为y=kx+b,

代入点419,0),6(40,42》得

(19fc+b=0,M彳曰心=2,

{40k+b=42,用牛信以=-38,

•:直线旗的解析式为y4x-38,

当片17时,47之『38,得产42.5.

19-(42.5-30)=6.5(m).

故欲在山坡上水柱所能喷到的最高处建一个水窖，要给它注水，必须把车开到距山脚点56.5m

处.

9.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐

标系,抛物线可以用六4x'Hx+c表示，且抛物线上的点。到墙面必的水平距离为3m,到地面0A

的距离为日m.

⑴求该抛物线的解析式,并计算出拱顶〃到地面0A的距离；

⑵一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4叫如果隧道内设双向行车道，那么这辆货

车能否安全通过？

⑶在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8

m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

解:⑴由题意知，点夙0,4）435在抛物线上，

所以&

所以抛物线的解析式为

O

所以拱顶〃到地面切的距离为丝注三=10（m）.

4X（二）

⑵抛物线的对称轴为X-右告6

由题意知，车最外侧与地面0A的交点为⑵0）（或（10,0））.

当产2（或x=10）时，片争6,

所以货车可以安全通过.

⑶令尸8,即二掰W,可得xT2x+24=0,

6

解得xM包Bx3-2曲.

X,M可遮.

即两排灯的水平距离最小是1V3m.

®类型3面积问题

10.为了改善市民的生活环境，某市修建了一个休闲文化广场，如图，在Rt△/a'内修建矩形水池

比1出使顶点在斜边4?上,£G分别在直角边以"。上，又分别以/KSC/IC为直径作半圆，构造

出两弯新月形状的区域（图中阴影部分）,并在该区域种植花草，其余空地铺设瓷砖，其中AB3相

米，/胡660。陵EF=x米,DE=y米.

⑴求J，与x之间的函数关系式（请直接标明x的取值范围）.

⑵当x为何值时，矩形〃仔日的面积最大?最大面积是多少?

⑶求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形座尸。的面积等于两弯新月面积的条

C

ADR

解:⑴在Rt△被7中，：,/〃游90°,AB^Ay/3,ZBAC=60°,

当仍=12乃,6呼四46,N被¥30°.

:•四边形加％是矩形，

；.NADG=NFEB挈°,DG=EF=x,

•:小磊去，%黑®

:AD+DE+BE=AB,

.：y.r+KA/3A^4V3,

.7^4>/3-~-xs[3x---x+24yf3,

即y与、之间的函数关系式为尸华犬+24圾00〈⑻.

⑵由题意可知矩形%'*的面积为灯=4#