2023年高考考前数学押题密卷（天津）含答案

2023年高考考前押题密卷

数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.)

1.【原创】集合A=(xeZ|y=j2—log?/}，B={-1,0,2,3,5},则().

A.{2,3}B.{0,2,3}

C.{-1,0,5}D.0

2.【原创】已知向量a=(-l,x),b-(1,y).x,yeR,则是"％=y”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

0,x=0

3.函数/")=,其竺xwO的大致图象为()

TT

4.已知a=0.75,%=2厩2,c=sin《，则a,"c的大小关系是)

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

5.某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取

/150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形

最高点的纵坐标为居)

A.98B.103C.108D.112

6.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多

见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥

7.已知抛物线C:八2pxg。）的焦点为F,准线为1,过尸且斜率为当的直线与C交于A,8两点，。

为AB的中点，且。MU于点M,AB的垂直平分线交x轴于点N,四边形的面积为326，则P=（）

A.2V2B.4C.276D.4>/2

8.已知函数,f（x）=2石sinxco&r+R/x-Z,以下说法中，正确的是（）

①函数"X）关于点信0）对称；

②函数“X）在一&今上单调递增；

③当xe信到时，小）的取值范围为（-2,0）；

④将函数“X）的图像向右平移方个单位长度，所得图像对应的解折式为g（x）=2sin2x-l.

A.①②B.②③④C.①③D.②

TT

2sinyX,0<A:<1

9.已知定义在R上的函数y=〃x）是偶函数，当xNO时，/（x）=-若关于X的方程

,x>1

[〃X）『+4（X）+人=0（”,丘R）,有且仅有6个不同实数根，则实数。的取值范围是（）

A.1~4，一|）B.[工-鼻

C口.14,一涧一1,「）

第n卷

二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。）

10.【原创】已知复数z=壬t&（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第象限.

\-i

11.【原创】若（1+2x2）（V^x+-）6的展开式中所有项的系数和为192,则展开式中x4的系数为.

X

12.【原创】已知则+的最小值为.

a2a+h

13.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰.已

知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为；，y,且各轮问题能否正确回答互不影响，

则该选手被淘汰的概率为.

14.【原创】已知圆G：X2+/=4与圆。2：/+。一。）2=9（">0）外切，此时直线/“+丁—3=0被圆。2

所截的弦长为.

15.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，

图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,正八边形ABCDEFGH中，若HE=2AC+〃AF（Z〃eR）,

则几+〃的值为;若正八边形A8CQEFGH的边长为2,P是正八边形ABCQEFG”八条边上的动

点，则AP.AB的最小值为

图1

三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

16.（本题14分）在.ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知3（siii4-sinC）2=3sin*-2sinAsinC.

⑴求cosB的值;

(2)若5a=36,

（i）求tan（A+：）的值;

(ii)求sin[24+2)的直

17.（本题15分）已知正三棱柱ABC-4与£中，侧棱长为正，底面边长为2,。为A8的中点.

(1)证明：CDLA.D.

(2)求二面角o-AC-A的大小;

(3)求直线C4与平面AC。所成角的正弦值.

18.(本题15分)已知数列｛叫满足。向-q=2,其前8项的和为64；数列也,｝是公比大于0的等比数列，4=3,

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式;

(2)记&=也?，〃wN*,求数列｛5｝的前“项和，；

7J+1

(-1)2y=2Z-1,%WN*

4+1

⑶记4尸求S2.=54.

----,n=2k,攵wN*4=1

与

2

19.(本题15分)已知椭圆C:5+，=l(a＞人＞0)的离心率为争左、右顶点分别为A、B,点、P、Q为

椭圆上异于A、8的两点，一以3面积的最大值为2.

⑴求桶圆C的方程；

⑵设直线AP、BQ的斜率分别为吊、k2,且3占=5&.

①求证：直线PQ经过定点.

②设△P08和△PQA的面积分别为'、S-求|S1-S21的最大值.

20.体题16分）设函数/（x）=F+lnx（x>0）.

2x

⑴求f（x）的单调区间；

（2）已知a,beR,曲线y=f（幻上不同的三点（占,〃3））,（々,/（々））,（占,〃后））处的切线都经过点（。向.证

明：

（i）若〃>e,则。<6-/⑷<舞-1）；

2Q-a112e-a

（ii）若0<〃<e，F</<与，则一+（.<——十——<----.

e6e~x,x3a6e-

（注：e=2.71828是自然对数的底数）

2023年高考考前押题密卷

数学-全解全析

一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.）

1.【原创】集合A=kwZ|y=j2—log2x}，5={-1,0,2,3,5},则（）.

A.{2,3}B.{0,2,3}

C.{-1,0,5}D.0

【答案】A

【分析】根据函数定义域求出A,再根据交集定义即可求出an8.

【详解】因为2—logzXNO,解得0<x<4,且xeZ,

所以A={1,2,3,4},

所以AD5={2,3},

故选：A.

2.【原创】已知向量a=（-l,x）,%=（l,y）,x,y&R,贝心⑷引分是"x=y”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由3得出的关系，进而可得出答案.

【详解】由|5|引向得1+/=1+/，进而得出r=/,即刀二、或刀二一y；

所以由|a|=而不能推出x=y,反之则成立；

所以ZR而''是"尤=y”的必要不充分条件.

故选：B

0,x=0

3.函数/（》）=卜危的大致图象为（）

而

【分析】由函数的奇偶性排除BD选项，再根据xe(O,l)时/(x)<0排除C得A.

【详解】解：因为当x#0时，/(*)=瑞，则/(一力=胃胃"萧=一〃>当％=0时，〃x)=0,

所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除BD；

因为当xe(O,l)时，lnN=lnxvO,sinx>0,故/(X)<0,

所以C选项不满足，A选项满足.

故选：A

7T

4.已知4=0.75,b=21ogs2,c=sin《，则a,6,c的大小关系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】将。力化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知利用sing<sin;<?可得C<a,由

此可得结论.

5

【详解】a=0.75=-=log55=log5</125,&=21og52=log54=log5</256,

X</125<>/256--■-a<hi

c=sin—<sin—=>a=0.75=：,又2&<3,-.c<a.

54244

综上所述：c<a<b.

故选：C.

5.某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量(单位：度)情况，抽取

了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形

最高点的纵坐标为x,则该型电动汽车月平均用电量在［200,280）的户主人数为（）

【答案】C

【分析】由频率和为1列方程求x,再根据直方图中［200,280）区间频率求样本中对应的户主人数.

【详解】由（0.002+0.0095+0.01l+0.0125+x+0.005+0.0025）x20=l,Wx=0.0075.

月平均用电量在［200,280)的用户20x(0.011+0.0125+0.0075+0.005)x150=108户.

故选：C

6.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多

见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥

的棱长均为2,则该正四棱锥的体积为（）

A.区B.2^/3C.士D.4&

33

【答案】C

【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得A。、P。的长，根据椎体体积公式，即可得答案.

【详解】如图所示，正四棱锥尸-ABC。棱长均为2,连接AC、BD交于点O,连接P。

根据正四棱锥的性质，可得P。上平面A8CD

p

所以+=应,PO=dP&-AO2=0,

所以正四棱锥P-MCD的体积丫」*2'2'0=逑.

33

故选：C

7.已知抛物线<7:丫2=2夕虫>>0)的焦点为凡准线为/,过尸且斜率为且的直线与C交于A,8两点，。

3

为AB的中点，且DMJJ于点例,AB的垂直平分线交x轴于点N,四边形DMFN的面积为326，则P=()

A.25/2B.4C.2限D.4>/2

【答案】A

【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出。点坐标，作出辅助线，求出|RV|=|ZW|=4p,

得到四边形。WFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出p=2&.

【详解】由题意知尸pOL直线AB的方程为y=

设A（%,x）,8（七,%%）,得y2-2y/3py-p2=0,

所以X+)'2=2Gp，所以为=gp,

由为得与=冬

如图所示，作DE_Lx轴于点E,则|/)£|=&p.

因为DNLDF,ZDFN=30°,

故如=2Q£|=26p"*-嬴帝-西-40，

T

又0M=%+5=4p,i^\FN\=\DM\,

又FN//OM,得四边形。MFN为平行四边形.

所以其面积为|敬卜|。目=4p•=32石，解得p=2夜.

故选：A

8.已知函数/（尤）=2百situcosx+2sin♦-2,以下说法中，正确的是（）

①函数"X）关于点心（”对称；

jrIT

②函数“X）在上单调递增；

OO

③当T专等时，/（X）的取值范围为（-2,0）；

④将函数〃x）的图像向右平移着个单位长度，所得图像对应的解折式为g（x）=2sin21.

A.①②B.②③④C.①③D.②

【答案】D

【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦函数的性质，解决函数图像的对称中心、

单调区间、值域和平移问题.

【详解】由题意可得，

/（X）=2>?3sinxcosx+2sin2x-2=Gsin2x-cos2x-l=2sin（2x-^）-l,

由2x—1=E（ZeZ）,则x=。为ZeZ）,所以f（x）图像的对称中心为佟+白,-1（%eZ）,说法①错误;

O212\212）

ITTTTTTT7TTL7T

xe，则21-之€是函数y=2sinx-l单调递增区间，说法②正确；

ooo2o2o

当xe（冷）时，sin|^2x-^e^-l1,则/（x）的取值范围为（-2』，说法③错误;

将函数/（x）的图像向右平移看个单位长度，所得图像对应的解折式为

g（x）=2sin12（x—=]—l=2sin（2x——1,说法④错误.

故选：D

71

2sin—xtO<x<l

9.已知定义在R上的函数y=/（x）是偶函数，当*20时,若关于X的方程

[〃x）了+4（x）+6=0（a1eR），有且仅有6个不同实数根，则实数〃的取值范围是（）

A.卜，一|）B.（“3

【答案】C

【分析】由偶函数性质可以画出函数/（X）的图像，关于X的方程[/（X）了+4（》）+人=0（4力€©有6个不同

的实数根，根据数形结合和韦达定理即可求得结果.

【详解】由题意可知，函数/（X）的图像如下图所示:

根据函数图像，函数/（X）在（9,-1）,（0,1）上单调递增，在（T0）,（1,田）上单调递减；

且犬=±1时取最大值2,在x=0时取最小值0,是部分图像的渐近线.

令/（刈=乙则关于尤的方程[〃力7+硝力+8=0（4为€阳即可写成/+〃+6=0（。/£*

此时关于/的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），

设4,%为方程的两个实数根,

显然，有以下两种情况符合题意:

①当。£（。,耳/EQ；卜寸，止匕时一。=4£（/,/）,则〃£（一耳,一,）

377

②当。=2耳£（/,2）时，此时一。=4+与£（］,4）,则。£（—4,一］）

773

综上可知，实数。的取值范围是。£（-4,-二）。（-不-彳）.

222

故选：C.

第n卷

二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对

的给5分。）

10.【原创】已知复数z=的2（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第象限.

1-z

【答案】一

【解析】化简得到z=4+9/，得到复数对应象限.

22

【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为

Z=3+2Z=（3+2/）（1+0=1+5.,z（12）,

1-i（l-j）（l+z）2222

故复数z在复平面内对应的点位于第一象限.

故答案为：一.

11.【原创】若（1+2x2）（V^x+-）6的展开式中所有项的系数和为192,则展开式中%4的系数为.

x

【答案】36

【分析】令x=l，解出a=l,进而通过二项展开式的通项公式即可求解；

【详解】令》=1，得3（而+1）6=192,解得a=l,进而可得（x+4）6的展开式为却|=C"6-2"令

X

得《=煤/=6%4,令r=2,得q=第一=15%2,故£＞的系数为1x6+2x15=36.

故答案为：36

b9a

12.【原创】已知〃/£/?+,则±+-的最小值为

a2a+。

【答案】4

【分析】将^+―纹构造变形为生心+—%——2,然后利用基本不等式即可求解;

a2a+ba2a+b

,、3A力、」b9a2。+〃9a__如也.-^—2=4,当且仅当2"2=_%一,也

【详解】由一+------=------+-------2>2.

a2a+ba2〃+。a2a+ba2a+b

即。二b时等号成立，故最小值为4.

故答案为：4

13.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰.已

知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为14，j3,y2,且各轮问题能否正确回答互不影响,

则该选手被淘汰的概率为.

【答案】—

【分析】设事件A&=1，2,3）表示“该选手能正确回答第i轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入

p（A）,&&）,P（4）的值，可得结果；

［详解】记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A（i=1，2,3）,则尸（A）=，P（4）=4）=（.

该选手被淘汰的概率：

P=P（A+A4+A4A）=P（A）+P（A）（4）+P（A）（4）（A3）

142433101

=—+—X—+—X—X—

555555T25

故答案为：

14.【原创】已知圆G：/+>2=4与圆。2：/+（>-。）2=9（。>0）外切，此时直线/“+丁—3=0被圆。2

所截的弦长为

【答案】2疗

【分析】由两圆外切关系求出。的值，进而代入公式即可求解；

【详解】由题意可得：。=2+3=5,即圆。2：/+（、一。）2=93>0）的圆心为（0,5）,半径为3,即圆心

2

到直线/:1+丁一3=0的距离为1=尬,故所截弦长为2眄二万=2J7.

故答案为：25

15.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，

图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,正八边形A8CDEFGH中，若AE=2AC+MW,〃eR）,

则4+〃的值为；若正八边形A8CDEFGH的边长为2,尸是正八边形A88MGH八条边上的动

点，则AP-AB的最小值为.

FE

Si

【答案】叵-272

【分析】以点A为坐标原点，分别以AB,AF所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，由4E=/4C+MAF,

列出方程组，求得从而得到几+〃；设尸(x,y),则-应4x42+收，由APAB=2x即可求得

的最小值.

【详解】

AF^AB,以点A为坐标原点，分别以A8,AF所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系,

正八边形内角和为(8-2)x180。=1080°,则NHAB=-xl080°=135°,

8

所以，A(0,0),B(2,0),C(2+夜,&),E(2,2+2&),尸(0,2+2忘),〃(-&,0),

AE=(2,2+2&),4F=(O,2+2&),4C=(2+0,。，

因为AE=4AC+“AF,贝IJ(2,2+2正)=Z(2+0,&)+〃(0,2+2立)，

2=(2+>/2)/1广r-

所以LLL，解得2=2-应,〃=2&-2,

2+2V2=V2Z+(2+2V2)//

所以2+〃=>/2；

设P(x,y),则一+

AP=(x,y),AB=(2,0),则APAB=2x>-2&,

所以，当点尸在线段GH上时，APSB取最小值-2a.

故答案为：应，-25/2.

三、解答题(本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

16.体题14分）在一45C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知3（sinA-sinC）2=3sin2B-2sinAsinC.

(1)求cosB的值；

⑵若5a=36,

(i)求tan[A+：)的值;

（ii）求sin[2A+[J的值.

2

【答案】（l）cos8=§

⑵（i）3；（ii）4小+3

10

【分析】（1）利用正弦定理化简原式，直接利用余弦定理求cosB的值即可；

（2）（i）由（1）可得sinB=好，再利用正弦定理求sinA的值，利用同角三角函数的基本关系和两角和的

3

正切公式即可求解；

（ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果.

【详解】（1）在-MC中，由正弦定理，7=g

sinAsinBsinC

可得：3（a-c^=3b2-2ac,整理得《土C二匕=2,

2ac3

2

由余弦定理，可得cos8=§；

（2）（i）由（I）可得sinB=@,又由正弦定理三=工

3sinAsmB

及已知5a=36,可得sinA=^^=3x@=@，

b535

由已知5a=3/?,可得a<6,故有A<8，

.•.A为锐角，可得cosA=±叵，.,.tanA=:，

52

,7C1i

tanA+tan——+1

7T__________4_2

则tan(A+R==二3；

,A7111

1-tanA-tan—1——

42

(ii)由(i)可得cos2A=l-2sin24=sin24=2sinAcosA=1,

4G+3

sin[2A+看=sin2Acos——ncos2Asin—=—x-^—+—x—

66525210

17.（本题15分）己知正三棱柱ABC-A4G中，侧棱长为正，底面边长为2,。为A3的中点.

(1)证明：CDLA.D.

(2)求二面角。-A。-A的大小；

(3)求直线CA与平面4CD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

呜

⑶当

6

【分析】(1)由正三棱柱的性质可得平面ASC,再利用线面垂直的判定定理即可证明COJ•平面

AB8M，即可得COJ_A。；(2)以AG的中点。为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角

的几何关系即可求得二面角Q-AC-A的大小为2；(3)根据(2)中结论，利用线面角与空间向量的关系

即可得直线C4与平面AC。所成角的正弦值为逅.

6

【详解】(1)由ABC-A为正三棱柱可知，8片，平面A8C,

又CDu平面ABC,所以

由底面是边长为2的正三角形，。为AB的中点，所以CD_LAB；

又BB、cAB=B,8片,45匚平面48玛4，所以CDJ_平面ABgA；

又A^u平面A8B|A，所以COJ_A。；

(2)取线段AC，AC的中点分别为0,E,连接。4，。£,

易知O%OE,OG两两垂直，以。为坐标原点，分别以OG，OE,OBI所在直线为X,y,z轴建立空间直角坐标系

O-xyz,如下图所示;

/L%二—-]/yA

’0一一』y辉^

由侧棱长为正，底面边长为2可得，

A(-1,0,0)4(1,&,0),4卜1,应,0),8(0,应,@,耳(0,0,@,

(1向

山。为A8的中点可得。，

uuir,；_、uuir

所以AC=（2,&,o）,oc=

设平面D41C的一个法向量为”=(x,y,z),

n-4c-2x+V2y=0

则〈3J3,令x=l,可得y=—&,z=6

n-DC=-x--z=0

22

即〃=0,-&,G)；

易得诚=(0,0,g)即为平面AC4的一个法向量,

1UUU_

/FUlUIxn-OB.3V2

所以cos（几OB,

设二面角3-AC-A的平面角为以由图可知。为锐角,

所以cos"cos9,08）,即6=；；

即二面角3-AJA的大小町.

(3)由(2)可知温=(-2,0,0),平面D4C的一个法向量为:二(卜血,6),

设直线C4与平面ACO所成的角为a,

ruur

n-CA

所以sina=cos（/i,

即直线CA与平面ACO所成角的正弦值为好.

6

18.(本题15分)己知数列几｝满足。田-%=2,其前8项的和为64；数列也｝是公比大于0的等比数列，仇=3,

瓦一瓦=18.

⑴求数列｛q｝和也｝的通项公式；

—1/、

(2)记c“=优丁，〃eN,，求数列｛&｝的前八项和

n+\

(-1)2•〃〃,〃=2%-1,左£N"

a+X

⑶记dn=<i，求S?”=%*.

---,n=2k,keN*A=I

b.

、2

【答案】⑴生=2枕-1,2=3"

11

(2)2-2(2W+1)-3"

⑶邑,=“'、

义"货卜2"，"=2QW

【分析】(1)根据条件得到等差数列的公差，利用前〃项和公式，求出首项，得到通项公式，设出公比，得

到方程，求出公比，写成通项公式；

(2)写出｛c,J的通项公式，利用裂项相消法求和；

(3)方法一：变形得至!Js?“=(4+W+痣—+4+4+…+〃2,1)，其中4+34+4+…+W”利用

错位相减法求和，4+为+4+…+4211T分”为偶数和"为奇数两种情况求解，最终求出邑.；

方法二：变形后，4+4+4+…利用裂项相消法求和，4+4+4+…+4“T分”为偶数和"为奇数两

种情况求解，最终求出$2”

【详解】(1)•."“*「4=2,

数列｛a,,｝是公差为d=2等差数列，且纵=64,

Q7

8a,+^x-x2=64,解得q=l,

/.an=1+2(M-1)=2/I-1；

设等比数列也｝的公比为4(4>0),

・；4=3,Z?3-/?2=18,

.,.3/-3q=18，即g2-g-6=0,

解得g=-2（舍去）或q=3,

二〃,=3x3"T=3"

a,-12（n+2}-2

（2）由（1）得％=c

a“a“*也,（2〃-1）（2〃+1）.3

+2

=2/?]_________1

・3"（2"-1）3”「（2〃+1）3"

]_

H-------F

21x3°3x3'3x3'5x325x327x33、（2〃_[）.3"-（2〃+]）3[

一，|j^_（2〃+l）.3"

11

-2-2（2M+1）-3,';

(3)方法一:

n+1

（-1）2y=2k-l,k£N*

a“+l

----,n=2k,kGN*

bn

2

・名〃=（4+4+4+・・,+4〃）+（4+4+4+・・・+4〃一1）

咄+~+上+…+上+[_q+%_%+…+（一1）"Ft]

.仿t>2&t>„

=W+*+4■+…+4+[-1+5-9+13…+（-l）".（4"-3）]

M+2,

n2462〃G

工行+铲+3+…+三①

1八2462n—22n

w=铲+?+下+…+『+产②

两式相减得,

2

1-

2_222222n3F2n12n2九+3

3Pn=7+?+F+3T+'"+F-Fr="=1-11-------；-

T-1诃F'一尹二3”+i

1一§

2/1+332〃+3

3"+|2~2-3"

当”为偶数时，Q„=-l+5-9+13---+（-l）

=（-l+5）+（-9+13）+---+[-（4n-7）+（4；7-3）]=4+4+---+4=4x-=2n,

当"为奇数时，Q„=4+4+…+4-（4〃-3）=4xg--（4〃-3）=-2〃+1

-2n+1,〃=2Z-1,%wN*

Q„=,

2n,〃=2k,keN"

32"+3

1--2n+l,n=2jl-UeN，

2

』=匕+2,=

32n+3

1-+2〃,〃=2%/eN*

23,,+,

4+1

一一,〃为偶数^^-,n=2k

方法二：d=瓦

n2

k

“+1（-l）-a2k_l,n=2k-1

(―1)2为奇数

2k”I（2k+\2k+3

=于n=2k,n=2k

23*-'3"

（-1）.（4A—3）,〃=2A—1（-1），（4%_3）,〃=2%-1

355__7_+12〃+3|-等当”为偶数时,

匕=@+4+&6+…+&“）=g（三一变++…+

要一三3〃

Qn-1+5-9+13…+（-1）"%

=（-l+5）+（-9+13）+---+[-（4/7-7）+（4??-3）]=4+4+---+4=4x-=2n,

当“为奇数时，Q„=4+4+…+4-（4〃-3）=4'--（4〃-3）=-2〃+1

-2n+\,n=2k-\,kGN*

•-Qn=<

2n,n=2k,keN*

32n+3

1-一2〃+1,〃=2攵-1,攵cN*

23"+i

・•・S2.=EI+Q“=

32"+3

1-+2nn=2k,keN*

23n+1y

19.（本题15分）已知椭圆C：，+，=l（a>〃>0）的离心率为岑，左、右顶点分别为A、B,点P、。为

椭圆上异于A、8的两点，.砂面积的最大值为2.

⑴求椭圆C的方程；

（2）设直线AP、8。的斜率分别为匕、k2,且3匕=5右.

①求证：直线PQ经过定点.

②设△PQB和ArQA的面积分别为凡、邑，求|S|-S2|的最大值.

【答案】⑴三+丁=1

4

（2）①证明见解析；②巫

4

【分析】（1）根据题意可得出关于。、〃、。的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；

（2）①分析可知直线尸。不与y轴垂直，设直线PQ的方程为*="+〃，可知〃r±2,设点尸（不乂）、Q（程力）.

k.5

将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用U=与求出〃的值，即可得出直线PQ所

过定点的坐标；

②写出I'-Szl关于r的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得％-S2I的最大值.

【详解】（1）解：当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为如。=gx2a〃=ab=2,

~a~~2a=2

由题意可得■ab=2,解得，b=\

c2=a2-b2c=6

所以，椭圆C的标准方程为上+^=1.

4

（2）解：①设点P（X1,yJ、（2（x3,y2）.

若直线PQ的斜率为零，则点尸、Q关于）’轴时称，则《=-七,不合乎题意.

设直线尸。的方程为x="+〃，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，贝*工±2,

联立[；=，可得（r+4）/+2奶+〃2-4=0,

[X+4y=4\）

△=42_4（/+4）（〃2-4）=16（*+4-/2）>0,可得/</+4,

由韦达定理可得以+%=-/£，乂%=%5=，则。?-(%+%)，

,-,-...匕％石-2(必+〃-2)%OM+(〃-2)M3-(X+)‘2)+(〃-2)X

Jyyyj^,==--------------------------=-------------------------------=---------------------------------------

卜%+2%(例+〃+2)%)跖+(〃+2)必驾(%+%)+(〃+2)%

=j(2+〃心+冷)-2叫=j/,解得〃=」，

2+〃(2-+必)+2〃%2+几32

即直线PQ的方程为X2-g,故直线PQ过定点M.

15

②由韦达定理可得x+必=甘t4，乂必=一而二可，

所以,|£-SJ=；||AM-忸根卜也-刃=3J(x+y2)2-4y

_\_卜f丫丁"『+1M4“产+15________4_________

一利〔产+4尸产+4一产+4一⑷2+15)+1一"•示1，

J4r+15

产20，则，4尸+152岳，

因为函数/(x)=x+［在［岳,+8)上单调递增，故府［E+旨在Nj将+京=3沪，

Is-姮

所以，22|~16V15~4，当且仅当，=0时，等号成立，

15

因此，|&-$2|的最大值为孚.

20.体题16分)设函数f(x)=f+lnx(x>0).

2x

(1)求/*)的单调区间；

(2)已知MeR,曲线y=f(x)上不同的三点(即〃%)),(々,〃々)),(0〃玉))处的切线都经过点(。向.证

明：

(i)若“〉e,则0<八/(")<架7)；

2e-a112e-a

(ii)若0<。<e，M<%<占，则一十~TT<-+—<----.

e6ex}x3a6e

(注：e=2.71828是自然对数的底数)

【答案】⑴f(x)的减区间为(o，'|}增区间为C，+8).

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ii)k=旦,

x\

a?保一13)仇2_加+12)

，〃二<］，则题设不等式可转化为2-方-6、羽)结合零点满足的方程进一步转化为

+-