山东省泰安市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题（含解析）

高三年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，其中，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过复数的运算及复数相等，求得，计算复数的模可得结果.【详解】.故选：C.2.设集合或，若，则的取值范围是（）A.或 B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，根据，可求得结果.【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.故选：B.3.是第一象限角或第二象限角，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题可得时的范围，再根据充分必要条件的概念即得．【详解】由，可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴非负半轴，所以由推不出，而由是第一象限角或第二象限角，可得，所以由可推出，所以是的必要不充分条件．故选：B．4.已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（）A. B. C.48 D.96【答案】C【解析】【分析】根据题意，由条件得到关于与的方程，即可得到，从而得到结果.【详解】设等比数列公比为，因为成等差数列，所以，即，又，所以，解得所以故选:C5.已知函数在处取得最大值，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.【详解】因为，其中，当时，取得最大值，即，所以，所以故选：A6.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r，R，因为圆锥轴截面顶角为直角，所以圆锥母线长为，设圆柱高为h，则，，由题，，得.故选：D.7.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出直线，联立，得到两根之和，两根之积，得，，，利用基本不等式即可求出最值.【详解】由题意得：，设直线，联立得：，设，不妨令，则，故，，则，当且仅当，即时，等号成立.故选：B8.设，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件构造函数，，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.【详解】令，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以所以，即，所以.令，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，即，所以，综上，.故选：D.【点睛】解决此题的关键是构造函数，，然后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由不等式的性质判断.【详解】∵，则，，∴，即，A正确；例如，，，，，显然，B错误；由得，，∴，即，C正确；易知，，，，∴，D正确；故选：ACD．10.已知，，动点P满足．设点P的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（）A.曲线C的方程为 B.的取值范围为C.当最小时， D.当最大时，【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程判断A；再利用曲线C的性质计算判断B，C，D作答.【详解】设点，则，由得：，整理得：，即，所以曲线C的方程为，A正确；显然曲线C是以点为圆心，4为半径的圆，，点A在圆C外，，所以的取值范围为，B正确；直线l：恒过定点，显然点在圆C内，线段是经过点的圆的弦，直线斜率，由圆的性质知，当最小时，，则有，解得，C错误；当最大时，线段是经过点的圆的直径，则，解得，D正确.故选：ABD11.已知函数，则（）A.是偶函数B.在区间上单调递增C.在上有4个零点D.的值域是【答案】AB【解析】【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，A正确；对于B，当时，.令，由于函数在时单调递减，函数在时单调递增，所以函数在区间上单调递减，故函数在区间上单调递增，B正确；对于C，当时，由，得或，所以或或，所以偶函数在上有6个零点，C不正确；对于D，当时，.因为，所以当时，，当时，.由于函数是偶函数，因此，函数的值域为，D不正确.故选：AB.12.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（）A.三点共线B.的长度为1C.直线与平面所成角的正切值为D.的面积为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用公理3，分别证明点同时在两个平面上即可；对于B，利用长方体的性质，以及中位线定理，可得答案；对于C，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可得答案；对于D，利用三角形之间的关系，可得答案.【详解】对于A，连结，则四点共面，平面平面，又平面在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上.三点共线，故A正确：对于B，设直线与平面的交点为，易证平面平面，从而得到，因为为中点，所以为中点，同理可得为的中点，所以，故B正确；对于C，取中点，连接，因为平面平面，则即为直线与平面所成角，，故C错误；对于D，因为，所以•，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知函数则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，直接代入计算即可得到结果.【详解】因为，则.故答案为:14.已知向量，若，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据向量坐标运算及垂直关系的向量表示求解即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得故答案为：15.已知定义在上的函数满足：对任意实数a，b都有，且当时，．若，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性将不等式进行转化求解即可．详解】解：对任意实数a，b都有，且当时，．设，则，．所以，即，所以是增函数．因为，即，所以.所以原不等式化为等价为，则，即，则，得，故不等式的解集是.故答案为：16.已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，若，则的两条浙近线的斜率之积为__________.【答案】【解析】【分析】设，进而根据点差法得，再根据得，进而得，再求渐近线的斜率之积即可得答案.【详解】解：设，因为是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，所以①，②，③，④，所以，②③得，整理得所以，因为双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，所以，，因为，所以，即，整理得：，所以，整理得，所以，即，所以，整理得，因为的两条浙近线分别为，所以，的两条浙近线的斜率之积为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求B；（2）若，D为边AC的中点，且，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将条件中的角向边进行转化，然后由余弦定理可得答案；（2）由可得，然后可得值，然后可得答案.【小问1详解】因为，所以，所以，所以，即，所以，又，所以．【小问2详解】因为，D为边AC的中点，所以，且，在中，，同理，在中，，因为，所以，所以，在中，，即，所以，所以的面积．18.已知数列的前n项和为，，且（）．（1）求的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由与的关系可得是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求得结果；（2）根据题意，由裂项相消法即可求得，从而证明.【小问1详解】由，得．当时，，所以，所以，由于，所以，因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以．【小问2详解】由（1）知，，，，因为，所以．19.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．（1）求证：；（2）若，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理证得平面ABC，再得到平面PBC，从而即可得证；（2）根据题意，以C为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立空间直角坐标系，再由空间向量的坐标运算结合线面角的计算公式，即可得到结果.【小问1详解】证明：在中，，，，所以，所以，又平面平面ABC，平面平面，平面PAB，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，PB，平面PBC，所以平面PBC，又平面PBC，所以．【小问2详解】在中，，，，所以．以C为坐标原点，，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正A方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面ADB的一个法向量为，则取，则，所以．设直线BC与平面ADB所成的角为，则，所以直线BC与平面ADB所成角的正弦值是．20.如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为（即），已知两座高塔的高AD为30m，BC为60m，塔底A，B在同一水平面上，且，．（1）求两座高塔底部A，B之间的距离；（2）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?【答案】（1）60m（2）在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果【解析】【分析】（1）由二倍角的正切公式与三角比的定义求解；（2）由两角和的正切公式表达为关于的函数后求解最值.【小问1详解】由题知，，，，，如图，作，垂足为E，则四边形ABED为矩形，所以．所以，所以，设，则，解得或（舍去），所以，所以两座高塔底部A，B之间的距离为60m．【小问2详解】设，则．所以，，所以．设，则，所以，当且仅当即时，等号成立．又因为在锐角范围内，越大，越大，所以当时，取得最大值，此时．所以在距离A处米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．21.已知椭圆E：过，两点．（1）求椭圆E的方程；（2）已知，过的直线l与E交于M，N两点，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将两点坐标代入，求出椭圆方程；（2）依据斜率是否为零，分类讨论，斜率为零时易得结论，斜率不为零时证明QP平分，可得结论.【小问1详解】由题知，椭圆E过，，所以，解得，，所以椭圆E的方程为．【小问2详解】证明：当直线l的斜率为0时，直线l的方程为，所以，或，．所以．当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，由，得，所以，，，所以，，所以，所以QP平分，因为，，所以，即．22.已知函数.（1）若，证明：；（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)证明不等式成立，即证明，建立新的函数，求导判断函数的单调性，求出最值即可判断.(2)对的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值.当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.【小问1详解】证明：因为的定义域为，所以若，.要证，即证，即证.令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.【小问2