贵州省铜仁市2022-2023学年高三上学期期末质量监测数学（文）试题（含解析）

铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（文科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无放．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C.M D.N【答案】C【解析】【分析】求出集合再求并集可得答案.【详解】因，所以．故选：C．2.在复数范围内，复数的共轭复数的模是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算可得，再结合共轭复数和模的概念求解.【详解】因为复数，所以，其模为．故选：B．3.已知向量，满足，则动点的轨迹是（）A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【答案】B【解析】【分析】将坐标代入运算后即可辨析为圆的标准方程.【详解】因为，所以，即．故动点的轨迹是一个圆．故选：B．4.世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．下列结论中错误的是（）A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢D.2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平【答案】C【解析】【分析】结合图像逐一辨析即可.【详解】由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确：由扇形统计图可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确：由条形统计图可知2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确：三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故C错误．故选：C．5.已知实数x，y分别是方程的解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据实数x，y分别是方程的解可得，进而可得.【详解】因表示实数t的范围是，所以．所以，且当时，有最大值是3；当时，有最小值是0．故的取值范围是．故选:C．6.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上不同两点，且中点的横坐标为，则（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知，即，设，因为中点的横坐标为，所以，所以，由抛物线焦半径公式得故选：D．7.设则a，b，c之间的大小关系式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】，构造函数，得，由得时，知在区间上是增函数，于是，即.故选：B．8.函数在区间的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，即可得答案.【详解】由于，,则，所以为奇函数，图象关于原点对称，而中图象不是关于原点对称，故错误；当时，，∴，则当时，，故C错误，只有D中图象符合题意，故选：D．9.在棱长为1的正方体中，下列结论错误的是（）A.B.若E是棱的中点，则平面C.正方体的外接球的表面积为D.的面积是【答案】D【解析】【分析】对于A,连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可判断；对于B，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D，为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A，连接，由正方体可得平面，平面，所以，在正方形中，，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；对于B，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确；对于C,正方体的外接球的直径长度为正方体体对角线的长度，所以外接球的表面积为，故正确，对于D，因为是正三角形，其边长为，所以它的面积为，即D错误．故选：D．10.已知等比数列的前项和，且，则数列的前项和（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列前项和求出参数的值，以及的通项，从而得到，再利用裂项相消法求和即可；【详解】解：因为等比数列的前项和，当时，，即，当时，，即所以，解得，所以，则所以故选：B【点睛】本题考查由前项和求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.11.已知，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式结合三角函数的值域求解.【详解】设，又，则有由三角函数的有界性，知，所以．故选：B．12.已知正四棱锥的体积为，则该正四棱锥内切球表面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将问题转化为正四棱锥内切球的大圆是的内切圆，利用几何关系表示出内切球的表面积，利用基本不等式求最大值.【详解】如图，在正四棱锥中，M、N分别是线段的中点，该正四棱锥内切球的大圆是的内切圆．圆心为E．设，则圆E的半径．．于是，正四棱锥的体积为，即有，所以，此时，该正四棱锥内切球的表面积．，即．当，即时取等号，故．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列满足，且，则________．【答案】##【解析】【分析】化简可得，则，进而得到.【详解】由，得，且，则是首项为2，公差为1的等差数列，所以，故，故答案为：.14.从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为__________．【答案】##【解析】【分析】求得全是男医生参加概率，根据对立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意从3男2女共5名医生中，抽取3名医生参加社区核酸检测工作，共有种选法，如果全是男医生参加，则只有一种选法，此时的概率为，故至少有1名女医生参加的概率为，故答案为：．15.已知直线，，当任意的实数m变化时，直线与的交点的轨迹方程是_____________．【答案】【解析】【分析】联立方程消m整理即可.【详解】联立两直线得，将这两式相乘，消去参数m，得，即，可得轨迹方程为．故答案为：16.已知函数满足函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图象，利用导数求切线进行求解.【详解】因为函数满足，所以，因为函数恰有5个零点，所以函数与的图象恰有5个交点，如图，因为与交于原点，要恰有5个交点，与必有2个交点，设与相切，切点为，此时切线斜率为，解得，解得，所以切点为，所以，解得，所以要使函数恰有5个零点，则．故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设的三个内角A，B，C所对的边长为a，b，c，的面积为S．且有关系式：．（1）求C；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)根据二倍角公式可得，再根据正弦定理可得再用余弦定理求解；(2)利用三角形的面积公式和余弦定理可得，再利用基本不等式求解.【小问1详解】由二倍角公式，得，即，由正弦定理、余弦定理，得，，又因为，所以．【小问2详解】注意到．由余弦定理，得，所以．当时等号成立，故的最小值为.18.如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）利用等体积公式，转化为，即可求解体积.【小问1详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因为，，且点是的中点，所以平面，又因为平面，所以；【小问2详解】三棱锥,由条件可知是等腰直角三角形，，所以，点到平面的距离，19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物资，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求出直方图中m的值，并利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；（2）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口门罩中恰好有1个口罩为一等品的概率．【答案】（1），平均数为71，中位数为73.33（2）【解析】【分析】（1）利用频率之和为1可算出，然后利用直方图的平均数，中位数计算方式即可求解；（2）所抽取的5个口罩中一等品，二等品各有3个，2个，记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，从5个口罩中抽取2个的可能结果10种，恰有1个口罩为一等品的可能结果共6种，利用古典概型概率公式求解即可【小问1详解】由得，所以该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为，设中位数为n，因为，所以中位数位于，则，得，故，可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33．【小问2详解】由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品，二等品分别有个，个，由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品，二等品分别有3个，2个，记3个一等品为a，b，c，2个二等品为d，e，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：，共10种，其中，恰好有1个口罩为一等品的可能结果有：，共6种，故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为．20.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求函数的单调区间和极值；（2）求证：当时，．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，（2）由，令，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可【详解】（1）解：定义域：，∵，∴，当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；，无极大值．（2）证明：由（1）知，令，则，，，，∴，即在上单调递减，，∴当时，．21.平面内定点，定直线，P为平面内一动点，作，垂足为Q，且．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点F与坐标轴不垂直的直线交动点P的轨迹于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点R，试判断是否为定值．【答案】（1）（2）为定值．【解析】【分析】（1）设，利用可得到，化简即可；（2）设，与椭圆的方程进行联立可得，可求出的坐标，继而求出线段的垂直平分线的方程，通过距离公式和弦长公式即可求解【小问1详解】设，因为，即，所以化简整理，得，所以动点P的轨迹方程为【小问2详解】法一：由条件可得直线的斜率必存在且不为0，可设，联立方程组消去y，得，设，则，设中点为，知，，∴线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，而，∴为定值．法二：设直线的方程为，联立方程组整理得，设中点为，则，由可得，∴，，又线段的垂直平分线方程为，令，得，∴，∴为定值．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是（t是参数）．（1）求直线l及曲线C的直角坐标方程；（2）求直线l被曲线C截得弦的长．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l与曲线C的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为，则，即，把代入得，，所