导数的应用练习题及详解

一、导数应用单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，那么为增函数；如果，那么为减函数；如果在某区间内恒有，那么为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；二、导数应用的细节1、导数与函数的单调性的关系㈠与为增函数的关系。能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。㈡时，与为增函数的关系。假设将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。㈢与为增函数的关系。为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，那么为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。㈣单调区间的求解过程，分析的定义域;〔2〕求导数〔3〕解不等式，解集在定义域内的局部为增区间〔4〕解不等式，解集在定义域内的局部为减区间。我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数在某个区间内可导。2、求极值、求最值。用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路:假设满足，且在的两侧的导数异号，那么是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负〞，那么是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正〞，那么是的极小值点，是极小值1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，那么f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac>0B．b>0，c>0C．b＝0，c>0D．b2－3ac<0[答案]D[解析]∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2023·广东，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，应选D.3．函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，那么该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2)D．[2，＋∞)[答案]B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案]C[解析]当0<x<1时xf′(x)<0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否认A、B、D应选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－π<x<－eq\f(π,2)时，cosx<0，∴y′＝xcosx>0，当0<x<eq\f(π,2)时，cosx>0，∴y′＝xcosx>0.6．对于R上可导的任意函数f(x)，假设满足(x－1)f′(x)≥0，那么必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)[答案]C[解析]由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.7．y＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，那么b的范围为________．[答案]b<－1或b>2[解析]假设y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，那么Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.8．函数f(x)＝ax－lnx，假设f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a≥1[解析]由a＞eq\f(1＋lnx,x)在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝eq\f(1＋lnx,x)，那么g′(x)＝－eq\f(lnx,x2)＜0(x＞1)，∴g(x)＝eq\f(1＋lnx,x)在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴eq\f(1＋lnx,x)＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.9．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a＋3b＝－11,3－6a＋3b＝－12))，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.所以当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．10.在区间上的最大值是(A)-2(B)0(C)2(D)4解：，令可得x＝0或2〔2舍去〕，当－1x0时，0，当0x1时，0，所以当x＝0时，f〔x〕取得最大值为2。选C11.假设f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，那么a的取值范围是___。答案:a>2或a<-1。提示：∵f(x)既有极大值又有极小值,有两个不同的解。12．f〔x〕=1+3sinx+4cosx取得最大值时，tanx=解答：f′〔X〕=3cosx－4sinx=0tanx=，f(X)在tanx=时取得最大值，即填。13设函数，是奇函数。〔Ⅰ〕求、的值。〔Ⅱ〕求的单调区间与极值。思路分析：先求出,再利用奇函数定义即可求出b,c的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：〔Ⅰ〕∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，从而，令=0，解得，由，由此可知，函数的单调递增区间是和；单调递减区间是；进而得在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。14设a为实数,函数求的极值.解：(I)=3－2－1假设=0，那么==－，=1当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+极大值极小值∴的极大值是，极小值是15a为实数，〔1〕假设，求在[－2，2]上的最大值和最小值；思路分析：〔1〕按照利用导数求函数的最值的步骤去求解。〔2〕当函数f(x)在给定的区间上递增时，那么在该区间上恒有,从而得到关于a的不等式。解:(Ⅰ)由原式得∴由得,此时有.由得或x=－1,当变化时，的变化如下表-递增极大值递减极小值递增所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为16函数的图象为曲线E.(Ⅰ)假设曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；(Ⅱ)说明函数可