高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第五节 三角恒等变换习题 理试题

第五节三角恒等变换[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.= ()A.- B.- C. D.1.C【解析】∵sin47°=sin(30°+17°)=sin30°cos17°+cos30°sin17°,∴原式==sin30°=.2.在平面直角坐标系xOy中,已知角α的顶点与点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点M的坐标为(,1),则cos的值是 ()A.-0.5 B.0 C.0.5 D.12.B【解析】∵角α终边上一点M的坐标为(,1),∴sinα=,cosα=,∴coscosα-sinα==0.3.在△ABC中,tanA+tanB+tanAtanB,则C= ()A. B. C. D.3.A【解析】由已知得tanA+tanB=-(1-tanAtanB),∴=-,即tan(A+B)=-.又tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,0<C<π,∴C=.4.(2016·江西六校联考)若3sinθ=cosθ,则cos2θ+sin2θ的值等于 ()A.- B. C.- D.4.B【解析】由3sinθ=cosθ得tanθ=,cos2θ+sin2θ=cos2θ-sin2θ+2sinθcosθ=,将tanθ=代入上式得cos2θ+sin2θ=.5.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=,则a,b,c的大小关系是 ()A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a5.B【解析】a=sin(45°+14°)=sin59°,b=sin(45°+16°)=sin61°,c=sin60°,∴a<c<b.6.已知cos<x<,则= ()A.- B. C.- D.6.A【解析】本题考查三角恒等变换.由已知得<x+<2π,sin=-,cos(x+)=cosxcos-sinxsin,则cosx-sinx=,2sinxcosx=,故=-.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2015·洛阳统考)已知tanα,tanβ分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根,则tan(α+β)=.

7.1【解析】lg(6x2-5x+2)=0,即6x2-5x+2=1,6x2-5x+1=0,由题得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,所以tan(α+β)==1.8.(2015·张掖诊断)已知α为第二象限角,sinα+cosα=,则cos2α=.

8.-【解析】由sinα+cosα=得1+2sinαcosα=,则2sinαcosα=-,又α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,从而有cosα-sinα<0,而(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=1+,所以cosα-sinα=-,又由倍角公式得cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα),故有cos2α==-.9.(2015·东北三校模拟)若cos-sinα=,则sin=.

9.【解析】∵cos-sinα=,∴cosα-sinα-sinα=,即cosα-sinα=,得cosα-sinα=,∴sin=sinαcos+cosαsin=-sinα+cosα=(cosα-sinα)=.三、解答题(共10分)10.(10分)(2015·重庆一中月考)已知函数f(x)=2cosx·cos+x+(2cos2x-1).(1)求f(x)的最大值;(2)若<x<,且f(x)=,求cos2x的值.10.【解析】(1)f(x)=2cosxcos(2cos2x-1)=2cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin,∵x∈R,∴f(x)的最大值为2.(2)∵<x<,∴2x+,由f(x)=,得sin,cos=-=-,∴cos2x=cos=coscos+sinsin=-.[高考冲关]1.(5分)已知过点(0,1)的直线l:xtanα-y-3tanβ=0的斜率为2,则tan(α+β)= ()A.- B. C. D.11.D【解析】由题意知tanα=2,tanβ=-,∴tan(α+β)==1.2.(5分)如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED= ()A. B.C. D.2.B【解析】因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC=,cos∠BEC=.sin∠CED=sincos∠BEC-sin∠BEC=.3.(5分)(2015·海南中学月考)已知β∈,满足tan(α+β)-2tanβ=0,则tanα的最小值是.

3.-【解析】因为tan(α+β)-2tanβ=0,所以tan(α+β)=2tanβ,则=2tanβ,即有2tanαtan2β-tanβ+tanα=0.①因为β∈,所以tanβ<0,即①式中有两个负根,所以Δ=1-8tan2α≥0,即tan2α≤,-≤tanα<0,故tanα的最小值是-.4.(12分)(2016·丹东测试)设函数f(x)=2cos2+sin-1.(1)求f的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.4.【解析】(1)f=2cos2+sin--1=2cos2+sin-1=0.(2)因为f(x)=cos+sin2xcos+cos2xsinsin2x+cos2x=sin,因为x∈,所以2x+,因此当2x+,即x=0时,f(x)取最大值;当2x+=-,即x=-时,f(x)取最小值-.5.(13分)(2016·天津南开中学月考)已知函数f(x)=sin2x+2sinx·sin+3sin2.(1)若tanx=,求f(x)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.5.【解析】(1)f(x)=si