高考数学一轮复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质习题 理 选修4-1-人教版高三选修4-1数学试题

选修4-1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质[基础达标]一、选择题(每小题5分,共5分)1.△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,下列条件中,不能判定DE∥BC的是 ()A.AD=5,AB=8,AE=10,AC=16B.BD=1,AD=3,CE=2,AE=6C.AB=7,BD=4,AE=4,EC=3D.AB=AC=9,AD=AE=8C【解析】对应线段必须成比例,才能断定DE和BC是平行关系,显然C中的条件不成比例.二、填空题(每小题5分,共20分)2.一个等腰梯形的周长是80,如果它的中位线长与腰长相等,它的高是12,则这个梯形的面积为.

240【解析】设腰长为x,则上底与下底的和为2x,所以4x=80,x=20,则该梯形的面积为×40×12=240.3.(2015·湛江月考)如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,则AB的长为.

【解析】因为DE∥BC,所以.又EF∥CD,所以,所以AF=2,又,AD=3,所以AB=.4.如图,在四边形ABCD中,EF∥BC,FG∥AD,则=.

1【解析】由已知得=1.5.已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则=.

【解析】∵EF∥BC,∴△AFE∽△ACB,∴AF∶FE=AC∶CB,又∵AC=1,BC=2,四边形DEFC为正方形,即FE=FC,∴AF∶FC=AC∶CB=1∶2.三、解答题(每小题10分,共30分)6.如图,在△ABC中,作直线DN平行于中线AM,设这条直线交边AB于点D,交边CA的延长线于点E,交边BC于点N.求证:.【解析】因为AM∥EN,所以,又因为MB=MC,所以.7.如图,等边△DEF内接于△ABC,且DE∥BC,已知AH⊥BC于点H,BC=4,AH=,求△DEF的边长.【解析】因为DE∥BC,设DE=x,则GH=x,所以,则,解得x=.8.如图,E,F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且.求证:∠AEF=∠FBD.【解析】设AF=1,则FD=2,BE=1,AE=2,AD=3.作FM⊥BD于点M,因为ABCD是正方形,所以∠FDM=45°,所以FM=,BD=3,所以BM=2,所以.又,∠A=∠BMF,所以△AEF∽△MBF,所以∠AEF=∠FBD.[高考冲关]1.(5分)如图,在△ABC中,点D为BC中点,点E在CA上,且CE=EA,AD,BE交于点F,则=.

4【解析】过点C作CG∥AD交BE的延长线于点G,则△CEG∽△AEF,所以=2,则CG=AF.又△BFD∽△BGC,所以,所以CG=2FD,则AF=2FD,则=4.2.(5分)在△ABC和△DBC中,,若△ABC与△DBC的周长之差为12,则△ABC的周长为.

21【解析】由相似三角形的性质定理知相似三角形的周长的比等于相似比,设△ABC的周长为x,则,解得x=21.3.(5分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于O,过O点作AB的平行线分别交AD,BC于E,F,交DC的延长线于G,若GE=4,GF=1,则GO=.

2【解析】延长CG,AB交于点H,因为GO∥HB,所以,所以,即,同理可得,所以,即GO2=GE·GF,所以GO=2.4.(10分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,M是AD上一点,BM,CM的延长线分别交AC,AB于点F,E.求证:EF∥BC.【解析】延长AD至G,使DG=MD,连接BG,CG.∵BD=DC,MD=DG,∴四边形BGCM为平行四边形.∴EC∥BG,FB∥CG.∴,∴,∴EF∥BC.5.(10分)如图,AD,BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为点F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于点H,求证:DF2=GF·HF.【解析】因为DF⊥AB,BE⊥AH,所以∠H+∠BAC=90°,∠GBF+∠BAC=90°,所以∠H=∠GBF.因为∠AFH=∠GFB=90°,所以△AFH∽△GFB,所以,即AF·BF=GF·HF.又在直角三角形ABD中,FD⊥AB,所以DF2=AF·BF,所以DF2=GF·HF.6.(10分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点.EF与BD相交于点M.(1)求证:△EDM∽△FBM.(2)若DB=9,求BM.【解析】(1)因为E是AB的中点,所以AB=2EB,因为AB=2CD,所以CD=EB.又AB∥CD,所以四边形CBED是平行四边形.所以CB∥DE,所以所以△EDM∽△FBM.(2)由(1)知,因为F是BC的中点,所以DE=2BF,所以DM=2BM.所以BM=DB=3.7.(10分)(2015·郑州模拟)如图,在锐角三角形ABC中,D为C在AB上的射影,E为D在BC上的射影,F为DE上一点,且满足,(1)证明:CF⊥AE.(2)若AD=2,CD=3,DB=4,求tan∠BAE的值.【解析】(1)设CF与AE交于点G,连接DG,如图.因为,所以,又△CDE∽△DBE,所以.于是有,又因为∠CDF=∠ABE,所以△CDF∽△ABE,所以∠DCG=∠DAG,所以A,D,G,C四点共圆.从而有∠AGC=∠ADC=90°,所以CF⊥AE.(2)在Rt△CEF中,因为CF