统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷三方法技巧专练三文

专练(三)技法9割补法1．[2023·河南高三月考]某四棱锥的三视图(图中每个小方格的边长为1)如图所示，则该四棱锥的体积为()A．4B．eq\f(8,3)C．eq\f(4,3)D．12．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A．eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(4,3)3．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它由正方体切截而成，以八个正三角形和六个正方形为面，所有的棱都相等．如图是某二十四等边体的三视图，则其体积为()A．eq\f(8,3)B．4C．eq\f(16,3)D．eq\f(20,3)4．在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC.三棱锥P­ABC的各个顶点都在球O的表面上，过点D作球O的截面，则所得截面圆的面积的最小值为________．技法10整体代换法5．[2023·陕西宝鸡市高三二模]已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列前8项和为()A．36B．24C．16D．126．已知sinα＋2cosα＝0，则eq\f(cos2α,sin2α－cos2α)＝()A．－1B．2C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,5)7．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，则f(－2019)＝()A．kB．－kC．1－kD．2－k8．[2023·浙江宁波市高三月考]若正数a，b满足a＋b＋2＝ab，则eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)的最小值是________．技法11分离参数法9．已知a∈R，(ax2－x－a＋1)lnx≤0在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒成立，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))10．[2023·四川遂宁市高三二模]若ex－(a－1)x－lnx－lna≥0，则a的最大值为()A．eq\f(e,4)B．eq\f(e,2)C．eD．2e11．已知函数f(x)＝eq\f(2a－x2,ex)(a∈R).若∀x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞－1恒成立，求实数a的取值范围________．技法12估算法12．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积是()A．eq\f(\r(3),6)B．eq\f(\r(2),6)C．eq\f(\r(2),3)D．eq\f(\r(2),2)13．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)技法13等体积转化法14．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝6，AA1＝3，AC＝BC＝5，E，F分别是BB1，CC1上的点，则三棱锥A1­AEF的体积为()A．6B．12C．24D．3615．已知三棱锥D­ABC外接球的表面积为12π，△ABC是边长为1的等边三角形，且三棱锥D­ABC的外接球的球心O恰好是CD的中点，则三棱锥D­ABC的体积为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(6),3)[答题区]题号12356791012131415答案16.如图，三棱锥A­BCD中，E是AC中点，F在AD上，且2AF＝FD，若三棱锥A­BEF的体积是2，则四棱锥B­ECDF的体积为________．专练（三）1．C该四棱锥的一条侧棱垂直于底面且底面为正方形，其中高为2，底面正方形对角线的长度为2.直观图如图所示，PA＝2，AC＝2，正方形ABCD的面积为2，所以该四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).故选C.2．A在EF上取点M，N使EM＝FN＝eq\f(1,2)，连接AM，DM，BN，CN.因为ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，EF＝2，MN＝1，根据等腰梯形性质，AM⊥EF，DM⊥EF，BN⊥EF，CN⊥EF，AM，DM是平面AMD内两条相交直线，BN，CN是平面BNC内两条相交直线，所以EF⊥平面AMD，EF⊥平面BNC，MA＝MD＝NB＝NC＝eq\f(\r(3),2)，几何体体积为V＝2VE­AMD＋VAMD­BNC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))×eq\f(1,2)×2＋eq\f(1,2)×1×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))×1＝eq\f(\r(2),3)，故选A.3．D该二十四等边体的直观图的示意图如图所示，将其放入正方体中，由三视图可知，二十四等边体的棱长为eq\r(2)，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥得到的．其体积V＝2×2×2－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(20,3).故选D.4．答案：12π解析：如图所示，将三棱锥P­ABC补成直三棱柱，则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O，记三角形ABC的外心为O1，连接OO1.设球O的半径为R，PA＝2x，则易知球心O到平面ABC的距离为x，即OO1＝x.连接O1A，OA，则O1A＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×eq\r(62＋82)＝5，所以R2＝x2＋25.在△ABC中，取AC的中点E，连接O1D，O1E，则O1E＝eq\f(1,2)AB＝3，DE＝eq\f(1,4)AC＝2，所以O1D＝eq\r(32＋22)＝eq\r(13).连接OD，在Rt△OO1D中，OD＝eq\r(x2＋13)，由题意得当过点D的截面与直线OD垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r，则r2＝R2－OD2＝x2＋25－（x2＋13）＝12.所以所得截面圆的面积的最小值为12π.5．D由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝eq\f(8（a1＋a8）,2)＝eq\f(8（a3＋a6）,2)＝12.故选D.6．D由题意知sinα＋2cosα＝0，即sinα＝－2cosα，可得tanα＝－2，又由eq\f(cos2α,sin2α－cos2α)＝eq\f(cos2α－sin2α,2sinαcosα－cos2α)＝eq\f(1－tan2α,2tanα－1)＝eq\f(3,5).故选D.7．D∵f（2019）＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，则f（－2019）＝a（－2019）3＋b·（－2019）＋1＝－（a·20193＋b·2019）＋1＝2－k.8．答案：2eq\r(7)解析：由a＋b＋2＝ab可得（a－1）（b－1）＝3，所以b－1＝eq\f(3,a－1)，eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)＝b－1＋eq\f(7,b－1)由a＋b＋2＝ab得a＝eq\f(b＋2,b－1)>0可得b>1，所以b－1>0，所以eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)＝b－1＋eq\f(7,b－1)≥2eq\r(（b－1）×\f(7,b－1))＝2eq\r(7)，当且仅当b－1＝eq\f(7,b－1)即b＝eq\r(7)＋1，a＝eq\f(7＋3\r(7),7)时等号成立，所以eq\f(3,a－1)＋eq\f(7,b－1)的最小值是2eq\r(7).9．D易知ax2－x－a＋1＝（x－1）（ax＋a－1），不等式（ax2－x－a＋1）lnx≤0，即（x－1）（ax＋a－1）lnx≤0.当x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，lnx<0，x－1<0，则ax＋a－1≤0⇒a≤eq\f(1,1＋x)，又eq\f(1,1＋x)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))，所以a≤eq\f(1,2)；当x＝1时，lnx＝0，对任意的实数a，不等式恒成立；当x∈（1，2]时，lnx>0，x－1>0，则ax＋a－1≤0⇒a≤eq\f(1,1＋x)，又eq\f(1,1＋x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，所以a≤eq\f(1,3)；综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3))).故选D.10．C原不等式化为x＋ex≥ax＋lnax，即ex＋lnex≥ax＋lnax，令f（x）＝x＋lnx（x>0），知f（x）在（0，＋∞）上单调递增，原不等式转化为f（ex）≥f（ax），所以ex≥ax，即a≤eq\f(ex,x)，设u（x）＝eq\f(ex,x)，则u′（x）＝eq\f(ex（x－1）,x2)，当0<x<1时，u′（x）<0，u（x）单调递减；当x>1时，u′（x）>0，u（x）单调递增，故当x＝1时，u（x）取得最小值u（1）＝e，所以a的最大值为e.故选C.11．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－e,2)，＋∞))解析：∵f（x）＞－1⇔eq\f(2a－x2,ex)＞－1⇔2a＞x2－ex，∴由条件知，2a＞x2－ex对于任意x≥1恒成立．令g（x）＝x2－ex，h（x）＝g′（x）＝2x－ex，则h′（x）＝2－ex，当x∈[1，＋∞）时，h′（x）＝2－ex≤2－e＜0，∴h（x）＝g′（x）＝2x－ex在[1，＋∞）上单调递减，∴h（x）＝2x－ex≤2－e＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）＝x2－ex在[1，＋∞）上单调递减，∴g（x）＝x2－ex≤g（1）＝1－e，故f（x）＞－1在[1，＋∞）上恒成立，只需2a＞g（x）max＝1－e，∴a＞eq\f(1－e,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－e,2)，＋∞)).12．B容易得到△ABC的面积为eq\f(\r(3),4)，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以V<eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×2＝eq\f(\r(3),6)，故选B.13．B等边三角形ABC的面积为9eq\r(3)，显然球心不是此三角形的中心，所以三棱锥的体积最大时，三棱锥的高h应满足h∈（4，8），所以eq\f(1,3)×9eq\r(3)×4<V三棱锥D­ABC<eq\f(1,3)×9eq\r(3)×8，即12eq\r(3)<V三棱锥D­ABC<24eq\r(3).选B.14．B由题意可得，△AA1E的面积为eq\f(1,2)AA1·AB＝eq\f(1,2)×3×6＝9，因为AB＝6，AC＝BC＝5，AA1⊥平面ABC，所以点C到平面ABB1A1的距离为h＝eq\r(52－32)＝4，即点F到平面ABB1A1的距离为4， 则三棱锥F­AA1E的体积为eq\f(1,3)×9×4＝12.故三棱锥A1­AEF的体积为12.15．B设球心O到平面ABC的距离为d，三棱锥D­ABC外接圆的表面积为12π，则球O的半径为R＝eq\r(3)，所以R2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)，故d＝eq\f(2\r(6),3)，由O是CD的中点得：VD­ABC＝2VO­ABC＝eq