复数的概念教学

PAGEPAGEPAGE7课题：《复数的概念》课型：新授课 教材：上海教育出版社高中二年级第二学期(试用本)教学目标：了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，理解虚数单位.掌握复数的代数法表示及其分类，掌握复数相等的充要条件.体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系.教学重点：复数的概念，虚数单位，复数的分类和复数相等.教学难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解.教学方法：四动策略：问题驱动，学生主动，教师引动，多元互动的教学策略.教学手段：多媒体辅助教学，幻灯片.教学过程：（一）引导学生回顾数系的变化发展过程数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集.为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.把自然数集与负整数集合并在一起，构成整数集.进一步为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们进一步引进了分数；这样就把数集扩充到有理数集.有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，有时无法用有理数表示，人们又引进了无理数.有理数集与无理数集构成实数集.设计意图：通过讲解数系扩充的历程，引发学生对数系扩充过程的兴趣，积极主动地投入到学习中.设置问题情境，探究实践问题1回顾从自然数到实数系的扩充过程.每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充遵循哪些扩充规律？师：数系的扩充是生产实际的需要，也是数学学科自身发展的需要.数学扩充的规律，一、引入新数，二、原有的运算律在新数系中仍然成立，三、新数系解决了原数系提出的矛盾.设计意图：教师提出问题，学生思考回答，不足之处教师补充说明，师生共同归纳总结得出结论.联系旧知识，为实数系到复数系的扩充做铺垫.问题2如何求方程的解？师：请同学们类比引进，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决负数在实数集中不能开平方的问题？同学们可以再次类比，大胆猜测.生：如果我们承认负数可以开平方，那么这个问题就解决了.设计意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始.在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题就是要解决的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于．问题3引入的新数是个什么数呢？它有什么特征？引入虚数单位的概念：，强调不同于任何实数，它是一种新的数.虚数单位和实数之间仍能进行加法和乘法运算，加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.因此，把实数与相加，结果记作：；把实数与相乘，结果记作：；把实数与实数和相乘的结果相加，结果记作：.思考的结果是什么？首先，可得.问题4和0能不能比较大小？反证法，显然，若：1、当时，；2、当时，同理可得矛盾.（课后自己完成）所以不管还是都会得出矛盾.新课讲解，例题巩固思考：请同学们写出一些实数和虚数的组合形式？生：，，.师：总结学生回答，给出复数的一般形式.复数的定义：形如的数叫复数，其中叫做虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.复数的代数形式：复数通常用字母表示，即，其中叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，记作.问题5数系扩充后，复数集和实数集之间有什么关系？复数有哪些特殊的形式？复数集如何进行分类？实数集是复数集的真子集.复数分类：特别地，()当且仅当.设计意图：搞清楚复数系与实数系之间的关系以及复数的分类，深化学生对扩充后新数集的理解.师：复数是我们目前接触到最大数集，这也体现了从小学到初中再到高中，我们的认知领域在逐渐扩大，大家以后读了大学还可能接触到四元数，有兴趣多的同学可以上网百度一下.例题讲解：下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？， ，，，），设计意图：让学生认识复数代数形式的结构，清楚复数的实部和虚部.已知，实数取什么数值时，复数是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为，所以，都是实数，由复数是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的值.解：(1)当，即时，复数是实数；当，即时，复数是虚数；当，且，即时，复数是纯虚数.变式、已知，复数，当为何值时，是纯虚数；(2)是实数.解：(1)当，且，即时，复数是纯虚数；当，且，即时，复数是实数.设计意图：巩固复数的基本概念，让学生在变化中认识复数代数形式的结构，将求复数值的问题转化为用实数方程或不等式求解的问题.问题6两个复数与相等的充要条件是什么？其中，.生：当且仅当.师：很好，那为什么呢？复数的运算法则仍然保持，即，左边是实数，右边也必须为实数，只能.因而，.设计意图：引导学生自我探索复数相等的条件，并进行证明，加深对复数本质的理解.例3、已知，（1）已知，求与.（2）若，求与.解：（1）由已知可得：，解得：.（2）由已知可得：，解得：.设计意图：理解两个复数相等的定义，并会利用其列方程，求解.检测学生是否会利用两个复数相等的充要条件，解决复数的求值问题.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，后面我们学习了复数的几何意义后大家会明白.两个不全是实数的复数不可以比较大小，只有相等与不相等之分.（四）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法，数学思想等方面谈谈.生：知识方面，实数系到复数系的扩充过程，复数的基本概念，两复数相等的条件，两个不全是实数的复数不可以比较大小，思想方法，类比、转化等数学思想，经验，学习过程中注重知识间的联系，实数系到复数系的扩充过程是通过类比有理数系到实数系的扩充.师：分别是分析、代数、几何中三个极其重要的量.由此可见，数学各个分支之间是存在紧密联系的.是数学中的五朵金花，它们在同一个公式中绽放，体会到数学的美.是两个重要的超越数(即不是任何有理系数代数方程的根)；分别是虚数单位和自然数单位；是任何数域（所谓数域是指对四则运算封闭的数集）都包含的两个数；是数学中最基础的两个符号.等号“”在数学中表示可以相互替代；在物理学中，表示相互转换；在计算机语言中则表示赋值.有了加法运算，通过它就可以构造出减法、乘法、除法等丰富的运算；由通过四则运算，可以构造出有理数，进一步可构造出实数；利用虚数单位,通过简单的二次扩张，则可以获得最大的复数数域.的出现，导致了管辖时空结构的相对论和支配物质规律的量子力学的发现.而且可以预言，这两种理论的最终统一，需要借助复数.正因为如此神奇，伟大数学家欧拉的墓碑上刻的就是这个公式.课后作业作业：导学案和课后作业复数第一课时思考：数学家高斯已经给出复数的几何意义，那么请大家回去思考复数的几何意义是什么呢？我们知道两个非实数的复数无法比较大小，那么如何构造与复数相关的量，让它们能够比较大小？设计意图：巩固所学内容，强化训练.让学生独立思考，为了后续课程的学习做铺垫.教案设计说明：教材分析陈省身先生曾说过：“没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明.”复数的概念，是中学阶段数学的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下基础.复数的引入，实现了中学阶段数学的最后一次扩充，同时复数作为一种新的数学语言也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想.通过本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础，因此，本节课具有承前启后的作用，也是本章的重点内容之一.二、学情分析学生来自宝山