滨州学院数学分析期末复习题及参考答案

第/\*Arabic1页2023年下学期数学分析（考试课）复习资料一、多项选择题1.设函数

$f(x)$

在

$[0,1]$

上二次可导，$f(0)=f(1)=0$。则满足

$\int_0^1

(f’'(x))^2,\mathrm

dx=1$

的函数

$f(x)$

有：(1分)A.

极少数情况下存在B.

无穷多种C.

至多存在一种D.

$\frac{d^2}{dx^2}(x-\frac{1}{3})^2$

是其中一种答案：ACD2.设

$f(x)=e^x-x-1$，则：(1分)A.

$f(x)$

在

$\mathbb

R$

内存在唯一实根B.

$f(x)$

在

$\mathbb

R$

内至少存在

$3$

个实根C.

$f(x)$

在

$(0,1)$

内有且仅有两个实根D.

$f(-1)$

为正，$f(0)$

为负答案：AD3.设函数

$f(x)$

在

$(a,b)$

内具有二阶连续导数，且满足

$f’(0)=0$，$f’'(x)>0$。则：(1分)A.

存在

$x_0

\in

(a,b)$，使得

$f(x)$

在

$x_0$

处取到最小值B.

存在唯一实数

$x_1>0$，使得

$f(x)$

在

$[0,x_1]$

上具有最大值C.

当

$x>0$

并且

$x$

充分小时有

$f(x)>x$D.

当

$x>0$

并且

$x$

充分小时有

$f(x)

\sim

\frac{1}{2}x^2$答案：ABC4.设

$f(x)$

是

$[0,1]$

上的连续函数且

$\int_0^1

f(x),\mathrm

dx=\int_0^1

xf(x),\mathrm

dx=\int_0^1

x^2f(x),\mathrm

dx$，则：(1分)A.

$f(x)=0$

在

$(0,1)$

内至少有一个根B.

方程

$f(x)=1$

在

$(0,1)$

内有唯一实根C.

存在

$x_0

\in

(0,1)$，使得

$f(x)$

在

$x_0$

处取最大值D.

$f(x)$

是偶函数答案：ABC5.设

$f(x)=\int_0^{x^2}

\frac{e^{t^2}}{t+2},\mathrm

dt$，则：(1分)A.

$f(x)$

在

$(0,+\infty)$

内存在最大值B.

$f(x)$

是

$x$

的单调递增函数C.

$f(x)$

在

$(0,+\infty)$

内有零点D.

$\lim\limits_{x

\to

0^+}f(x)=0$答案：BC6.已知

$a_1=2a_2=3a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$，则对于任意正整数

$n$，有：(1分)A.

$a_n$

为偶数的充要条件是

$n$

为奇数B.

$a_n$

为质数的充要条件是

$5

\mid

n$C.

$a_{n+2}$

与

$a_n$

的和必为偶数D.

$\lim\limits_{n

\to

\infty}

\frac{a_{n+1}}{a_n}$

存在且等于

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$答案：ABCD7.设

$f(x)=\ln

(x^2+1)$，则：(1分)A.

$f’(x)$

在

$\mathbb

R$

上有界B.

$f’(x)$

在

$(0,+\infty)$

内单调递减C.

存在

$x_0

\in

(0,+\infty)$，使得

$f(x)$

在

$x_0$

处取到最大值D.

$f(x)$

具有反函数且反函数

$f^{-1}(x)$

也是连续可导的答案：AB8.设函数

$f(x)$

在

$[a,b]$

上二次可导，$f(a)=f(b)=0$，则：(1分)A.

存在

$x_0

\in

(a,b)$，使得

$f’‘(x_0)=0$B.

当

$f’‘(x)

\geq

0$

时，$f(x)$

在

$(a,b)$

内的最小值和最大值都在区间端点处取到C.

当

$f’'(x)

\leq

0$

时，$f(x)$

在

$(a,b)$

内的最小值和最大值都在区间的内部取到D.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内至少有两个不同的零点答案：ABC9.设

$f(x)=x+\ln(x+1)-\ln

x$，则：(1分)A.

$f(x)$

在

$(0,+\infty)$

内单调递增B.

$f(x)$

在

$(0,1)$

内单调递减，在

$(1,+\infty)$

内单调递增C.

方程

$f(x)=0$

在

$(0,+\infty)$

内有唯一实根D.

$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x

\to+\infty}f(x)=1$答案：ACD10.已知

$0<b<a<1$，则：(1分)A.

$\ln

\left(

\frac{1-b}{1-a}

\right)

<

\frac{a-b}{1-ab}$B.

$\frac{ab}{1-b}

<

\frac{ab}{1-a}$C.

$\frac{a}{1-b}>\frac{b}{1-a}$D.

$\frac{1-a}{1-b}>\frac{a}{b}$答案：ACD11.设

$f(x)$

在

$[a,b]$

上连续，$f(x)$

在

$(a,b)$

内可导，且

$f(a)=f(b)$。则：(1分)A.

在

$(a,b)$

内至少存在一点

$c$，使得

$f’©=0$B.

存在

$x_0

\in

(a,b)$，使得

$f’(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$C.

在

$(a,b)$

内至少存在两点

$c_1c_2$，使得

$f’(c_1)-f’(c_2)=(c_1-c_2)f’‘(\xi)$，其中

$\xi

\in

(a,b)$D.

对于任意

$x_1x_2

\in

(ab)$，存在

$c_1c_2

\in

(a,b)$，使得

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f’(c_1)+f’(c_2)$答案：ABC12.函数

$f(x)=\sin

x+\cos

x$，则：(1分)A.

$f(x)$

不可能有最大值B.

$f(x)$

在

$x=\frac{\pi}{4}$

处取到最小值C.

$f(x)$

在区间

$\left[-\frac{\pi}{4}\frac{3\pi}{4}

\right]$

内的最大值小于

$1+\sqrt{2}$D.

方程

$f(x)=a$

在区间

$\left(

-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}

\right)$

内有唯一实根答案：BC13.已知函数

$g(x)$

满足

$g(x)+g(\sqrt{1-x^2})=\arcsin

x$，则：(1分)A.

$g(x)$

在

$x=1/\sqrt{2}$

处没有定义B.

$g(x)$

在

$[-1,1]$

内单调递减C.

$g(x)$

取到最大值时，$x$

的取值为

$\frac{1}{\sqrt{2}}$D.

$g(x)$

是周期为

$2$

的函数答案：ABC14.对于函数

$f(x)=x^3-2x^2+3x-1$，则：(1分)A.

$f(x)$

在

$[-1,3]$

内有两个驻点B.

$f(x)$

在

$(-\infty,0)$

单调递增，在

$(0,+\infty)$

单调递减C.

$f(2)>f(1)$D.

$\arccos

\frac{1}{3}$

是

$f(x)$

的零点答案：ABC15.对于数列

${a_n}$，定义

$a_{n+1}=a_n-\frac{1}{a_n}$，其中

$a_0>0$。则：(1分)A.

${a_n}$

是递减数列B.

${a_n}$

有下界C.

${a_n}$

必定收敛D.

${a_n}$

的极限为

$\sqrt{2}$答案：ABD16.设

$f(x)$

在

$[a,b]$

上连续，$f(x)$

在

$(a,b)$

内可导且

$f(a)=f(b)$。若

$\forall

x

\in

(a,b),\

f’(x)

\neq

0$，则：(1分)A.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内单调B.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内严格单调C.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内无可导反函数D.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内没有间断点答案：AC17.设

$f(x)$

为周期为

$2\pi$

的连续函数，且

$\int_0^{2\pi}f(x),\mathrm

dx=0$。若

$\forall

x

\in

[02\pi],\

f(x)

\leq

\cos

x$，则：(1分)A.

$f(x)=-\cos

x$B.

$f(x)=0$C.

$f(x)=\cos

(x+\alpha)$，其中

$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$D.

$f(x)=\cos

x+\epsilon(x)$（$\epsilon(x)$

为周期为

$2\pi$

的连续函数，$\forall

x

\in

[0,2\pi],\

0

\leq

\epsilon(x)

<

1$）答案：CD18.设

$f(x)$

在

$[a,b]$

上连续，$f(x)$

在

$(a,b)$

内可导，$\lim\limits_{x

\to

a^+}f(x)=A$

且

$\lim\limits_{x

\to

b^-}f(x)=B$，则：(1分)A.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内至少存在一点

$c$，使得

$f’©=\frac{B-A}{b-a}$B.

$f(x)$

在

$(a,b)$

内的最大值和最小值必然出现在区间的端点

$a$

或

$b$C.

当

$A=B$

时，仅有

$f(x)$

在

$(a,b)$

内各个零点对称D.

若

$f(x)=f(x^2)$（$x

\in

[0,1]$），则

$f’(1/2)$

存在答案：BCD19.设

$f_n(x)=\frac{1}{1+x^n}$，则：(1分)A.

$\lim\limits_{n

\to

\infty}f_n(x)=1\

\forall

x

\in

[0,1]$B.

$\int_0^1

f_n(x),\mathrm

dx<\int_0^1f_{n+1}(x),\mathrm

dx\

\forall

n

\in

\mathbb{N}$C.

$f_n(x)$

在

$(0,1]$

上单调递减D.

在

$(0,1]$

上，$\lim\limits_{n

\to

\infty}nf_n(x)=0\

(x

\neq

0)$答案：ABD20.对于方程

$\sin

x

=

kx$，其中

$k$

为常数，若存在两个实数解

$a<b$，则：(1分)A.

$k

\geq

1$B.

$k

=

0$C.

$0

<

k

<

1$D.

$k

>

1$答案：CD二、简答题21.什么是微积分基本定理？它有哪些种类？(1分)答案：微积分基本定理是微积分中最重要的定理之一，将积分和微分联系起来。它有两种形式：第一种形式是牛顿-莱布尼茨定理，它指出如果

$F(x)$

是

$f(x)$

的一个原函数，则

$\int_a^b

f(x)

dx

=

F(b)

-

F(a)$；第二种形式是积分第二中值定理，它指出如果

$f(x)$

在

$[a,b]$

内连续，则存在

$c

\in

(a,b)$，使得

$\int_a^b

f(x)

dx

=

f©

(b-a)$。22.什么是可导性？函数

$f(x)$

在

$a$

处可导的充分必要条件是什么？(1分)答案：在数学中，可导性是指函数在某一点处有切线的特性。函数

$f(x)$

在

$a$

处可导的充分必要条件是：(1)

$a$

在

$f(x)$

的定义域内；(2)

$f(x)$

在

$a$

处存在；(3)

$\lim_{x\to

a}

\frac{f(x)

-

f(a)}{x

-

a}$

存在且有限。23.什么是连续性？函数

$f(x)$

在

$a$

处连续的充分必要条件是什么？(1分)答案：在数学中，连续性是指函数在某一点或某一区间内没有突变的特性。函数

$f(x)$

在

$a$

处连续的充分必要条件是：(1)

$a$

在

$f(x)$

的定义域内；(2)

$f(x)$

在

$a$

处存在；(3)

$\lim_{x\to

a}

f(x)$

存在且等于

$f(a)$。24.什么是极值？什么是临界点？(1分)答案：在微积分中，极值是指函数在某一点取得的局部最大值或最小值。临界点是指函数导数为

$0$

或不存在的点。极值通常在临界点处取得。25.什么是导数？导数的几何意义是什么？(1分)答案：在微积分中，导数是函数在某一点处的变化率，是函数的切线斜率。导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。26.什么是极限？极限存在的充要条件是什么？(1分)答案：在数学中，极限是指一个函数或序列逐渐趋近于某个值的特性。极限存在的充要条件是：(1)

无论从左边还是右边逼近，极限值都相同；(2)

函数或序列值越来越接近极限值但不等于极限值。27.什么是微分方程？它有哪些类型？(1分)答案：在数学中，微分方程是描述自然现象中变化率和初始条件的方程。它有很多种类型，其中最常见的类型是：一阶线性微分方程、二阶线性常系数齐次微分方程、二阶线性常系数非齐次微分方程等。28.什么是定积分？它的几何意义是什么？(1分)答案：在数学中，定积分是对某一函数在某一区间上的积分。它的几何意义是在坐标轴上某一区间内的曲线与

$x$

轴之间形成的面积。29.什么是泰勒展开式？它有什么应用？(1分)答案：在数学中，泰勒展开式是将某一函数在某一点处展开成一组无限项的幂级数的表达式。它有非常广泛的应用，例如可用于求函数在某一点的近似值、函数的渐近行为、解微分方程等。30.什么是偏导数？它和一元函数的导数有什么不同？(1分)答案：在数学中，多元函数的偏导数是指把函数看作某一个变量的函数，将其它变量看作常数的导数。它和一元函数的导数不同之处在于，偏导数只是多元函数沿着一个方向的变化率，而不是整个函数的变化率。三、单项选择题31.(1分)A.B.C.D.答案：B32.(1分)A.B.C.D.答案：B33.(1分)A.B.C.D.答案：B34.(1分)A.B.C.D.答案：B35.在数学分析中，连续函数的定义式为（

）(1分)A.对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得|f(x)-f(a)|<ε成立，当|x-a|<δ时B.

对于任意给定的ε>0，总存在N，使得当n>N时，|an-a|<εC.

对于任意给定的正整数n，都有Un⊆Un+1D.

对于任意给定的正实数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-a|<ε答案：A36.数学分析是数学中的一种基础学科，它主要研究（

）

(1分)A.离散型数据B.

连续型数据C.

概率论D.

统计学答案：B37.(1分)A.B.C.D.答案：D38.“极限”是数学分析的核心概念之一，它表示（

）

(1分)A.一个函数在某一点的取值B.

函数的导数C.

无穷小量和无穷大量的关系D.

函数的积分答案：C39.(1分)A.B.C.D.答案：D40.在数学分析中，罗尔中值定理是说对于函数f(x)，在[a,b]区间内必定存在一个点c，使得（

）

(1分)A.f(c)=0B.

f'(c)=0C.

f''(c)=0D.

f'''(c)=0答案：B41.(1分)A.B.C.D.、答案：D42.(1分)A.B.C.D.答案：A43.在数学分析中，人们常用“极大值”和“极小值”来描述什么（

）(1分)A.函数在某个点的取值B.

函数在某一区间的变化规律C.

函数的导数D.

函数的积分答案：B44.在数学分析中，当x趋于0时，sin(x)与x的关系为（

）

(1分)A.sin(x)

=

xB.

sin(x)

=

x^2C.

sin(x)

=

x^3D.

sin(x)

=

1/x答案：A45.在数学分析中，变限积分的求法是（

）

(1分)A.先求导再代入极限B.

先代入极限再求导C.

将积分号内的变量替换为极限值D.

先求出原函数再用极限值相减答案：C46.(1分)A.B.C.D.答案：A47.在数学分析中，反函数是指什么（

）

(1分)A.两个函数互为倒数B.

一个函数求导后的结果C.

一个函数的逆运算D.

两个函数之差答案：C48.在数学分析中，对于一阶常微分方程y'=f(x,y)，若有y(x0)=y0，则其通解为（

）(1分)A.y

=

f(x,y)+CB.

y

=

∫f(x,y)dx

+

CC.

y

=

∫f(y,x)dy

+

CD.

y

=

f(y,x)

+

C答案：B49.(1分)A.B.C.D.答案：D50.(1分)A.B.C.D.答案：D51.在数学分析中，复变函数描述了什么（

）

(1分)A.多元函数B.

向量函数C.

实变函数D.

复平面上的变化答案：D52.(1分)A.B.C.D.答案：C53.(1分)A.B.C.D.答案：A54.(1分)A.B.C.D.答案：A55.在数学分析中，导数的定义式为（

）

(1分)A.f(x)

=

x^n,

f'(x)

=

nx^(n-1)B.

f(x)

=

ln(x),

f'(x)

=

1/xC.

f(x)

=

e^x,

f'(x)

=

e^xD.

f(x)

=

sin(x),

f'(x)

=

cos(x)答案：A56.在数学分析中，泰勒级数展开可以将一个函数表示为（

）

(1分)A.无穷多个正弦函数之和B.

无穷多个余弦函数之和C.

无穷多个幂函数之和D.

无穷多个指数函数之和答案：C57.在数学分析中，牛顿-莱布尼茨公式指出了什么？（

）(1分)A.对于连续函数f，若a、b两点之间的路径长度为s，则∫a^b(f(x))^2dx

≤

s

∫a^b[f'(x)]^2dxB.

对于连续函数f和其原函数F，有∫a^bf(x)dx

=

F(b)-F(a)C.

对于连续函数f，在[a,b]上存在一点c，使得f(c)(b-a)=∫a^bf(x)dxD.

对于平面图形S，其面积可以表示为∬S

dxdy答案：B58.(1分)A.B.C.D.答案：B59.(1分)A.B.C.D.答案：C60.(1分)A.B.C.D.答案：C61.(1分)A.B.C.D.答案：D62.在数学分析中，积分可以看做是什么运算的逆运算？（

）

(1分)A.相加B.

相减C.

相乘D.

相除答案：A63.(1分)A.B.C.D.答案：C64.(1分)A.B.C.D.答案：C65.(1分)A.B.C.D.答案：D66.在数学分析中，高斯消元法是求解什么问题的算法（

）

(1分)A.线性方程组B.

非线性方程组C.

微分方程组D.

偏微分方程答案：A67.(1分)A.B.C.D.答案：B68.在数学分析中，拉格朗日中值定理是说对于函数f(x)，在[a,b]区间内必定存在一个点c，使得（

）

(1分)A.f(b)-f(a)=(b-a)f'(a)B.

f(b)-f(a)=(b-a)f'((a+b)/2)C.

f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)D.

f(b)-f(a)=(b-a)f''(a)答案：C69.(1分)A.B.C.D.答案：C70.在数学分析中，人们常以什么为标准来衡量一个函数的连续性（

）(1分)A.函数在某一点处是否有定义B.

函数在某一点处的导数是否存在C.

函数在某一区间内是否满足柯西中值定理D.

函数在某一点处是否满足极限定义答案：D71.(1分)A.B.C.D.答案：B72.在数学分析中，柯西中值定理是说对于函数f(x)和g(x)，在[a,b]区间内必定存在一个点c，使得（

）

(1分)A.f(c)-g(c)=0B.

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)C.

f(c)g'(c)-g(c)f'(c)=0D.

(f'(c))^2+(g'(c))^2=1答案：B73.(1分)A.B.C.D.答案：C74.(1分)A.B.C.D.答案：B75.(1分)A.B.C.D.答案：D76.在数学分析中，矩阵的行列式是什么（

）

(1分)A.矩阵的特征值之积B.

矩阵的特征值之和C.

矩阵中每个元素的和D.

矩阵中每个元素的积答案：A77.在数学分析中，微积分基本定理的内容是（

）(1分)A.积分与导数是互逆运算B.

积分具有可加性C.

极限与积分的先后顺序可以交换D.

导数具有可加性答案：A四、判断题78.(1分)答案：错误79.(1分)答案：正确80.(1分)答案：错误81.(1分)答案：正确82.(1分)答案：正确83.(1分)答案：错误84.(1分)答案：错误85.(1分)答案：正确86.(1分)答案：错误87.(1分)答案：错误88.(1分)答案：错误89.(1分)答案：错误90.(1分)答案：错误91.(1分)答案：错误92.(1分)答案：正确93.(1分)答案：错误94.(1分)答案：错误95.(1分)答案：正确96.(1分)答案：正确97.(1分)答案：正确98.(1分)答案：错误99.(1分)答案：错误100.(1分)答案：正确五、填空题101.函数

$f(x)$

在

$[a,b]$

区间上可积的充分条件是

$f(x)$

在该区间上连续，即

________

函数可积。(1分)答案：连续102.函数

$f(x)$

在

$x_0$

处可导的充分必要条件是

$f(x)$

在

$x_0$

处

________。(1分)答案：连续103.函数

$f(x)$

在

$[a,b]$

区间上一阶可导，则在

$(a,b)$

内至少存在一点

$c$，使得

$f(b)-f(a)=f’©(b-a)$，其中

$f’©$

代表函数

$f(x)$

在

$(a,b)$

内的

________。(1分)答案：导数104.极限存在的条件之一是函数在该点的左右极限

________。(1分)答案：存在且相等105.在微积分中，导数的几何意义是函数图像在该点的

________。(1分)答案：切线斜率106.在微积分中，多元函数的偏导数是指把函数看作某一个变量的函数，将其它变量看作

________

的导数。(1分)答案：常数107.广义积分

$\int_a^{+\infty}

f(x)dx$

收敛的充分必要条件是

$f(x)$

在

$[a,+\infty)$

内

________

和

________

。(1分)答案：有界;可积108.函数

$f(x,y)$

的梯度是一个向量，表示函数增长最快的方向