实数的概念与运算总复习教案

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型C〔实数的概念〕C〔实数的运算〕T〔能力强化〕授课日期及时段教学内容一、知识梳理知识点1、实数的分类：有理数：任何一个有理数总可以写成的形式，其中p、q是互质的整数。无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如、……；特定意义的数，如π、°等。3、判断一个实数的数性不能仅凭外表上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。知识点2、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。〔1〕实数a的相反数是-a；〔2〕a和b互为相反数a+b=02、倒数：〔1〕实数a〔a≠0〕的倒数是；〔2〕a和b互为倒数；〔3〕注意0没有倒数3、绝对值：〔1〕一个数a的绝对值有以下三种情况：绝对值的问题经常分类讨论；〔2〕实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。〔3〕去掉绝对值符号〔化简〕必须要对绝对值符号里面的实数进行数性〔正、负〕确认，再去掉绝对值符号。4、n次方根〔1〕平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a的平方根，叫a的算术平方根。〔2〕正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。〔3〕立方根：叫实数a的立方根。〔4〕一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。知识点3、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。知识点4、实数大小的比拟1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。知识点5、实数的运算1、加法：〔1〕同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；〔2〕异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。3、乘法：〔1〕两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。〔2〕n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；假设n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。〔3〕乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。4、除法：〔1〕两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。〔2〕除以一个数等于乘以这个数的倒数。〔3〕0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。知识点6、有效数字和科学记数法1、科学记数法：设N＞0，那么N=a×〔其中1≤a＜10，n为整数〕。2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：〔1〕精确到哪一位；〔2〕保存几个有效数字。题型分析考点1：相反数、绝对值和倒数的概念理解。1：互为相反数，互为倒数，且的绝对值是5，求的值。变式训练：a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值是1，求的值。解：原式=考点2：实数的分类.2:在、0.618、、、sin中，无理数的个数是〔〕。A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。变式训练：〔2023•六盘水〕实数中是无理数的个数有〔〕个． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点3：近似数、有效数字和科学记数法。3：截至到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最，将21600用科学记数法表示应为〔〕。A、0.216×。B、21.6×。C、2.16×。D、2.16×。变式训练：2023年北京奥运会全球共选拔了21880名火炬手，创历史记录，将这个数据精确到千位，用科学记数法表示为〔〕。A、22×。B、2.2×。C、2.2×。D、0.22×。〔2023•达州〕今年我市参加中考的学生人数约为6.01×104人．对于这个近似数，以下说法正确的选项是〔〕A．精确到百分位，有3个有效数字B．精确到百位，有3个有效数字C．精确到十位，有4个有效数字D．精确到个位，有5个有效数字考点4：实数的运算。4：计算：。变式训练：〔2023、南通〕eq\x\ri\le(－1)+(－2)²+(7－π)0－(EQ\F(1,3))-10a0a10b例6图5：实数在数轴上对应点的位置如下图，那么必有〔〕A． B． C． D．变式训练：(2023、南通)如AB图，数轴上两点分别对应实数，AB那么ba01以下结论正确的选项是〔〕ba01A． B． C． D．考点6：数的平方根与立方根。6：求值：=,的算术平方根考点7：实数中的非负数及性质。所谓非负数就是正数和零，我们学过的非负数共有两种：一是绝对值，二是偶次幂，即〔x为任意有理数，n为正整数〕。非负数性质为：n个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0，这是非负数常见的题型。7：假设互为相反数，求a+b的值分析：由绝对值非负特性，可知，又由题意可知：所以只能是：a–2=0，b+2=0，即a=2，b=–2，所以a+b=0解：略变式训练：〔2023•荆门〕假设与互为相反数，那么x+y的值为〔D〕 A．3 B． 9 C． 12 D． 27点评： 此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式〔算术平方根〕．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．三、知识收获：实数的分类实数大小的比拟相反数、倒数、绝对值实数的运算绝对值的化简与讨论〔分类思想〕科学计数法、精确度的两种形式专题精讲一、比拟大小例1：假设，比拟a、b、c的大小。分析：；c＞0；所以容易得出：变式训练：〔2023•西城区〕的整数局部为a，小数局部为b，那么代数式a2-a-b的值为．思路分析：由于3＜＜4，由此可得的整数局部和小数局部，即得出a和b，然后代入代数式求值．解：∵3＜＜4，∴a=3，b=-3，那么a2-a-b=32-3-〔-3〕=9-3-+3=9-，故答案为：9-．点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法〞是估算的一般方法，也是常用方法．二、非负性性质的运用例2：假设与︱b－1︱互为相反数，那么的值为〔〕。．B、＋1。C、－1。D、1－。变式训练：〔2023•广东〕假设x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，那么〔〕2023的值是．绝对值的分类讨论在研究问题时，有些问题包括多种情况，需进行分类讨论。分类讨论时应遵循两条原那么：〔1〕每次分类要按照同一标准进行；〔2〕分类时不重复、不遗漏。例3：假设，那么a与3的大小关系分析可知四、有理数的计算：(1)〔2〕科学计数法：例4：〔2023南通〕至2023年末，南通市户籍人口为764．88万人，将764．88万用科学记数法表示为( )A.7．6488×102 B.7．6488×104 C.7．6488×106 D.7．6488×107二、专题过关：1、估算的值应在〔〕。A、6.5～7.0之间.B、7.0～7.5之间.C、7.5～8.0之间.D、8.0～8.5之间.2、假设m实数满足m－︱m︱=0，那么m的取值范围是〔〕。A、m≥0.B、m＞0。C、m≤0。D、m＜0。3、要使=4－m，m的值为〔〕。A、m≤4.B、m≥4。C、0≤m≤4。D、一切实数。4、假设__________学法提炼：例1的变式用到了了何种比拟实数大小的方法？例3用到了哪个重要的数学思想？用科学计数法表示实数时须注意什么？能力培养一、实数中的规律探索：1、符号“f〞表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：⑴f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，…⑵f()=2，f()=3，f()=4，f()=5，…利用以上的规律计算：f－f=。2、观察以下等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：＋＋=＋＋=。⑴、猜测并写出=。⑵、直接写出以下各式的运算结果：①、＋＋+…＋=.②、＋＋+…＋=。⑶、探究并计算：…。二、实数中的新运算1、〔2023•张家界〕阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad-bc．例如：，．〔1〕按照这个规定，请你计算的值；〔2〕按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，的值．思路分析：〔1〕根据符号的意义得到=5×8-7×6，然后进行实数的乘法运算，再进行实数的减法运算即可；〔2〕利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2，那么=，然后根据符号的意义得到3×1-4×1，再进行实数的运算．解：〔1〕=5×8-7×6=-2；〔2〕由x2-4x+4=0得〔x-2〕2=4，∴x=2，∴==3×1-4×1=-1．点评：此题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．2、定义“@〞的运算法那么为：@=,那么〔2@6〕@8=。变式训练：有一个运算程序，可以使：⊕=(为常数)时，得〔+1〕⊕=+2，⊕〔+1〕=-3现在1⊕1=4，那么2023⊕2023=．技巧提炼1、绝对值的化简需要分类讨论，如何分类讨论？2、会根据新的定义进行运算，培养探索规律的能力。课后作业填空题1、，把按从大到小的顺序排列为3、倒数等于它本身的数是，相反数等于它本身的数是，绝对值等于它本身的数是，平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是。4、绝对值不大于4的非正整数为。5、=〔n为自然数〕6、假设那么，。7、定义新运算：那么=选择题1、以下说法不正确的选项是〔〕A、0是自然数B、0的相反数是0C、0不是偶数D、0没有倒数2、假设那么〔〕A、B、C、D、3、如果a是有理数，那么以下说法正确的选项是〔〕A、一定是负数B、一定是正数C、一定不是负数D、—一定是负数4、假设，且，那么以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数是〔〕A、1个B、2个C、3个D、4个5、假设，那么必有〔〕A、B、C、异号且正数的绝对值较大D、异号且负数的绝对值较大6、假设，那么化简的