广东省兴宁一中2024届高三下学期入学考试数学试题试卷

广东省兴宁一中2024届高三下学期入学考试数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．2．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为()A． B． C． D．3．在平行六面体中，M为与的交点，若,，则与相等的向量是（）A． B． C． D．4．（）A． B． C．1 D．5．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．7．若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（）A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为88．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于9．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或11．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．12．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在各项均为正数的等比数列中，，且，成等差数列，则___________.14．已知为矩形的对角线的交点，现从这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为________.15．设函数，则满足的的取值范围为________.16．已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2，（1）求的值与抛物线的方程；（2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围.18．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.19．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望20．（12分）已知，均为给定的大于1的自然数，设集合，．（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；（Ⅱ）当时，，且集合满足下列条件：①对任意，；②．证明：（ⅰ）若，则（集合为集合在集合中的补集）；（ⅱ）为一个定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）设，，，其中，，若，则．21．（12分）的内角的对边分别为，若（1）求角的大小（2）若，求的周长22．（10分）已知函数（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题意，分析即得解【题目详解】由题意，故，故选：D【题目点拨】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.2、D【解题分析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率.【题目详解】双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，联立①②得，联立①③得，，即：，，解得：，直线的斜率为，故选D．【题目点拨】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．3、D【解题分析】

根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解.【题目详解】根据空间向量的线性运算可知因为,，则即，故选：D.【题目点拨】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.4、A【解题分析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【题目详解】，，因此，.故选：A.【题目点拨】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.5、A【解题分析】

由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解【题目详解】如图，其中，所以.故选：A【题目点拨】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题6、D【解题分析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【题目详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【题目点拨】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.7、D【解题分析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【题目详解】样本的平均数是10，方差为2，所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【题目点拨】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.8、D【解题分析】

试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．9、C【解题分析】

显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【题目详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【题目点拨】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.10、C【解题分析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.【题目详解】设直线的倾斜角为，则，所以，，即，所以直线的方程为.当直线的方程为，联立，解得和，所以；同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.【题目点拨】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.11、B【解题分析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【题目详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.12、D【解题分析】

根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【题目详解】对于，，，错误；对于，在上单调递减，，错误；对于，，，，错误；对于，在上单调递增，，正确.故选：.【题目点拨】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可.【题目详解】因为，成等差数列，所以，由等比数列通项公式得，，所以，解得或，因为，所以，所以等比数列的通项公式为.故答案为：【题目点拨】本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式；考查运算求解能力和知识综合运用能力；熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键；属于中档题.14、【解题分析】

基本事件总数，这3个点共线的情况有两种和，由此能求出这3个点不共线的概率．【题目详解】解：为矩形的对角线的交点，现从，，，，这5个点中任选3个点，基本事件总数，这3个点共线的情况有两种和，这3个点不共线的概率为．故答案为：．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15、【解题分析】

当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【题目详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16、【解题分析】

利用，且周期为2，可得，得.【题目详解】∵，且周期为2，∴，又当时，，∴，故答案为：【题目点拨】本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）【解题分析】

（1）根据点到焦点的距离为2，利用抛物线的定义得，再根据点在抛物线上有，列方程组求解，（2）设，根据，再由，求得，当，即时，直线斜率不存在；当时，，令，利用导数求解，【题目详解】（1）因为点到焦点的距离为2，即点到准线的距离为2，得，又，解得，所以抛物线方程为（2）设，由由，则当，即时，直线斜率不存在；当时，令，所以在上分别递减则【题目点拨】本题主要考查抛物线定义及方程的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题，18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）利用，利用正弦定理，化简即可证明（2）利用（1），得到当时，，得出，得出，然后可得【题目详解】证明：（1）据题意，得，∴，∴.又∵，∴，∴.解：（2）由（1）求解知，.∴当时，.又，∴，∴，∴.【题目点拨】本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题19、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解题分析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【题目详解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值为,,,,,的分布列为0123.【题目点拨】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）当，时，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，可得，通过求和即可证明结论．【题目详解】（Ⅰ）解：当，时，，，，，．．（Ⅱ）证明：（i）当时，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否则，而，与已知对任意，矛盾．因此有．（ii）．．，为定值．（iii）由设，，，，其中，，，2，，．，．．【题目点拨】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21、（1）（2）11【解题分析】

（1）利用二倍角公式将式子化简成，再利用两角和与差的余弦公式即可求解.（2）利用余弦定理可得，再将平方，利用向量数量积可得，从而可求周长.【题目详解】由题解得，所以由余弦定理，，再由解得：所以故的周长为【题目点拨】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.22、（1）；（2）见解