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文档简介
福建省泉州市泉港二中2024届高三下学期第3次月考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的-一个公共点,且,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则的关系为()A. B.C. D.2.等比数列的前项和为,若,,,,则()A. B. C. D.3.将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,如果在区间上单调递减,那么实数的最大值为()A. B. C. D.4.已知集合,,则A. B.C. D.5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A. B. C. D.6.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.7.已知函数.若存在实数,且,使得,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.8.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()A. B. C.24 D.9.已知向量,,则与共线的单位向量为()A. B.C.或 D.或10.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()A. B.4 C.2 D.11.把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若函数是偶函数,则实数的最小值是()A. B. C. D.12.定义在上函数满足,且对任意的不相等的实数有成立,若关于x的不等式在上恒成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是______.14.已知函数有且只有一个零点,则实数的取值范围为__________.15.已知半径为的圆周上有一定点,在圆周上等可能地任意取一点与点连接,则所得弦长介于与之间的概率为__________.16.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示,弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形,若弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6,则弧田的弦AB长是__________,弧田的面积是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的内角的对边分别为,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周长是否有最大值?如果有,求出这个最大值,如果没有,请说明理由.18.(12分)已知数列满足,,数列满足.(Ⅰ)求证数列是等比数列;(Ⅱ)求数列的前项和.19.(12分)如图,是矩形,的顶点在边上,点,分别是,上的动点(的长度满足需求).设,,,且满足.(1)求;(2)若,,求的最大值.20.(12分)在平面直角坐标系中,直线与抛物线:交于,两点,且当时,.(1)求的值;(2)设线段的中点为,抛物线在点处的切线与的准线交于点,证明:轴.21.(12分)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.(Ⅰ)求证:平面平面.(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知.(1)求的单调区间;(2)当时,求证:对于,恒成立;(3)若存在,使得当时,恒有成立,试求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】
设椭圆的半长轴长为,双曲线的半长轴长为,根据椭圆和双曲线的定义得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化简求解.【题目详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的长半轴长为,由椭圆和双曲线的定义得:,解得,设,在中,由余弦定理得:,化简得,即.故选:A【题目点拨】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.2、D【解题分析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D.考点:等比数列.3、B【解题分析】
根据条件先求出的解析式,结合三角函数的单调性进行求解即可.【题目详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象,则,设,则当时,,,即,要使在区间上单调递减,则得,得,即实数的最大值为,故选:B.【题目点拨】本小题主要考查三角函数图象变换,考查根据三角函数的单调性求参数,属于中档题.4、D【解题分析】
因为,,所以,,故选D.5、D【解题分析】
由程序框图确定程序功能后可得出结论.【题目详解】执行该程序可得.故选:D.【题目点拨】本题考查程序框图.解题可模拟程序运行,观察变量值的变化,然后可得结论,也可以由程序框图确定程序功能,然后求解.6、B【解题分析】
先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【题目详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.7、D【解题分析】
首先对函数求导,利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值,根据题意,列出参数所满足的不等关系,求得结果.【题目详解】,令,得,.其单调性及极值情况如下:x0+0_0+极大值极小值若存在,使得,则(如图1)或(如图2).(图1)(图2)于是可得,故选:D.【题目点拨】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题,涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,画出图象数形结合,属于较难题目.8、A【解题分析】
推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【题目详解】解:在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,,,分别取的中点,连结,则,且,,,,平面,平面,,四面体的体积为:.故答案为:.【题目点拨】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.9、D【解题分析】
根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.【题目详解】因为,,则,所以,设与共线的单位向量为,则,解得或所以与共线的单位向量为或.故选:D.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.10、D【解题分析】
由复数的综合运算求出,再写出其共轭复数,然后由模的定义计算模.【题目详解】,.故选:D.【题目点拨】本题考查复数的运算,考查共轭复数与模的定义,属于基础题.11、A【解题分析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式,从而可求其最小值.【题目详解】的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为,故.令,,解得,.因为为偶函数,故直线为其图象的对称轴,令,,故,,因为,故,当时,.故选:A.【题目点拨】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质,注意平移变换是对自变量做加减,比如把的图象向右平移1个单位后,得到的图象对应的解析式为,另外,如果为正弦型函数图象的对称轴,则有,本题属于中档题.12、B【解题分析】
结合题意可知是偶函数,且在单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数,计算最值,即可.【题目详解】结合题意可知为偶函数,且在单调递减,故可以转换为对应于恒成立,即即对恒成立即对恒成立令,则上递增,在上递减,所以令,在上递减所以.故,故选B.【题目点拨】本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
用树状图法列举出所有情况,得出甲不输的结果数,再计算即得.【题目详解】由题得,甲、乙两人玩一次该游戏,共有9种情况,其中甲不输有6种可能,故概率为.故答案为:【题目点拨】本题考查随机事件的概率,是基础题.14、【解题分析】
当时,转化条件得有唯一实数根,令,通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当时,,故不是函数的零点;当时,即,令,,,当时,;当时,,的单调减区间为,增区间为,又,可作出的草图,如图:则要使有唯一实数根,则.故答案为:.【题目点拨】本题考查了导数的应用,考查了转化化归思想和数形结合思想,属于难题.15、【解题分析】在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,其中满足条件AB弦长介于与之间的弧长为•2πR,则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P==;故答案为:.16、612π﹣9【解题分析】
过作,交于,先求得圆心角的弧度数,然后解解三角形求得的长.利用扇形面积减去三角形的面积,求得弧田的面积.【题目详解】∵如图,弧田的弧AB长为4π,弧所在的圆的半径为6,过作,交于,根据圆的几何性质可知,垂直平分.∴α=∠AOB==,可得∠AOD=,OA=6,∴AB=2AD=2OAsin=2×=6,∴弧田的面积S=S扇形OAB﹣S△OAB=4π×6﹣=12π﹣9.故答案为:6,12π﹣9.【题目点拨】本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算,考查中国古代数学文化,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值为3.【解题分析】
(Ⅰ)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理计算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,则,再根据正弦函数的性质计算可得;【题目详解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因为,所以.(Ⅱ)当时,的周长有最大值,且最大值为3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因为,所以,所以当即时,取到最大值2,所以的周长有最大值,最大值为3.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函数的性质的应用,属于中档题.18、(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解题分析】
(Ⅰ)利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列(Ⅱ)数列是“等比-等差”的类型,利用分组求和即可得出前项和.【题目详解】解:(Ⅰ)当时,,故.当时,,则,,数列是首项为,公比为的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【题目点拨】(Ⅰ)证明数列是等比数列可利用定义法得出(Ⅱ)采用分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.19、(1)(2)【解题分析】
(1)利用正弦定理和余弦定理化简,根据勾股定理逆定理求得.(2)设,由此求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【题目详解】(1)设,,,由,根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.(2)设,,由(1)的结论知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以当,即时,取得最大值,且最大值为.【题目点拨】本小题考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转换思想,应用意识.20、(1)1;(2)见解析【解题分析】
(1)设,,联立直线和抛物线方程,得,写出韦达定理,根据弦长公式,即可求出;(2)由,得,根据导数的几何意义,求出抛物线在点点处切线方程,进而求出,即可证出轴.【题目详解】解:(1)设,,将直线代入中整理得:,∴,,∴,解得:.(2)同(1)假设,,由,得,从而抛物线在点点处的切线方程为,即,令,得,由(1)知,从而,这表明轴.【题目点拨】本题考查直线与抛物线的位置关系,涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程,考查转化思想和计算能力.21、(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【解题分析】
(I)证明平面得出平面,根据面面垂直的判定定理得到结论;(II)当平面时,棱锥体积最大,建立空间坐标系,计算两平面的法向量,计算法向量的夹角得出答案.【题目详解】(I)证明:分别为的中点,,又平面平面,又平面平面平面(II),为定值当平面时,三棱锥的体积取最大值以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系则,设平面的法向量为,则即,令可得平面是平面的一个法向量平面与平面所成角的正弦值为【题目点拨】本题考查了面面垂直的判定,二面角的计算,关键是能够根据体积的最值确定垂直关系,从而可以建立起空间直角坐标系,利用空间向量法求得二面角,属于中档题.22、(1)单调减区间为,单调增区间为;(2)详见解析;(3).【解题分析】
试题分析:(1)对函数求导后,利用导数和单调性的关系,可求得函数的单调区间.(2)构造函数,利用导数求得函数在上递减,且,则,故原不等式成立.(3)同(2)构造函数,对分成三类,讨论函数的单调性、极值和最值,由此求得的取值范围.试题解析:(1),当时,.解得.当时,解得.所以单调减区间
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