2024届北京市海淀区第二十中学高考数学试题模拟考最后一考试题

2024届北京市海淀区第二十中学高考数学试题模拟考最后一考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则的大小关系为A． B． C． D．2．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式（）A． B． C． D．3．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A． B． C． D．4．给出下列三个命题：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知集合，，则A． B．C． D．6．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D．2016年与2019年艺体达线人数相同8．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（）A． B． C． D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（）A． B．f（sin3）＜f（cos3）C． D．f（2020）＞f（2019）10．已知，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A． B．4 C． D．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B．64 C． D．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（—）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为__________．14．已知实数，满足，则的最大值为______.15．甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.16．直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.18．（12分）的内角，，的对边分别为，,已知，.（1）求；（2）若的面积，求.19．（12分）设函数，（1）当，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值为1，求证：.20．（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合.过点的直线交椭圆于，两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的上顶点，求的面积；（2）若，分别为椭圆的左、右顶点，直线，，的斜率分别为，，，求的值.21．（12分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.22．（10分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．2、C【解题分析】

利用证得数列为常数列，并由此求得的通项公式.【题目详解】由，得，可得（）.相减得，则（），又由，，得，所以，所以为常数列，所以，故.故选：C【题目点拨】本小题考查数列的通项与前项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.3、C【解题分析】

设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.【题目详解】设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为.故选：C【题目点拨】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.4、C【解题分析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【题目详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【题目点拨】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5、D【解题分析】

因为，，所以，，故选D．6、D【解题分析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【题目详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【题目点拨】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.7、A【解题分析】

设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【题目详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.【题目点拨】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.8、C【解题分析】

根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.【题目详解】依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.故选：C【题目点拨】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.9、B【解题分析】

根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【题目详解】由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，选项A，，所以，选项A错误；选项B，因为，所以，所以f（sin3）＜f（﹣cos3），即f（sin3）＜f（cos3），选项B正确；选项C，，所以，即，选项C错误；选项D，，选项D错误.故选：B.【题目点拨】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.10、A【解题分析】

根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小.【题目详解】因为，所以.因为，所以，因为，为增函数，所以所以，故选：A.【题目点拨】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.11、A【解题分析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当，，退出循环，输出结果.【题目详解】程序运行过程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循环，输出结果为，故选：A.【题目点拨】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.12、A【解题分析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【题目详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4，故.故选：A【题目点拨】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.【题目详解】画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场．故答案为：2【题目点拨】本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.14、【解题分析】

画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点与构成直线的斜率，数形结合即可求得.【题目详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为可以理解为点与构成直线的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点时，斜率取得最大值，故的最大值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.15、【解题分析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式．【题目详解】解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有种，甲乙在同一个公司有两种可能，故概率为，故答案为．【题目点拨】本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题16、【解题分析】

由已知可知直线过抛物线的焦点，求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离．【题目详解】解：如图，直线过定点，，而抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于．故答案为：．【题目点拨】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解题分析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.【题目详解】(Ⅰ)由题意：，，解得，则曲线的方程为：和.(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，设直线，则联立，得，，解得：，又由数形结合知.设点，则，，，，，即点在直线上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，设直线的方程为：，联立，得：，，设，，，，面积，令，，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.【题目点拨】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.18、（1）；（2）【解题分析】

试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得，利用正弦定理即可求出.试题解析：（1）由，得，∴.∵，∴.由，得，∴.∴.（2）由（1），得.由及题设条件，得，∴.由，得，∴，∴.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19、（1）或；（2）证明见解析【解题分析】

（1）将化简，分类讨论即可；（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.【题目详解】（1）当时，，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根据，当且仅当时，等式成立.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.20、（1）（2）【解题分析】

（1）根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得，结合椭圆离心率求得，进而求得，从而求得椭圆的标准方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程，求得两点的纵坐标，由此求得的面积.（2）求得两点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得的值，根据在椭圆上求得的值，由此求得的值.【题目详解】（1）因为抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的右焦点的坐标为，所以，因为椭圆的离心率为，所以，解得，所以，故椭圆的标准方程为.其上顶点为，所以直线：，联立，消去整理得，解得，，所以的面积.（2）由题知，，，设，.由题还可知，直线的斜率不为0，故可设：.由，消去，得，所以所以，又因为点在椭圆上，所以，所以.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形的面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.21、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.【题目详解】（1）对任意的，由得，两式相减得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得，则.当时，，即，；当时，，即，.所以，数列的最小项为.【题目点拨】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2