江苏省淮安市盱眙中学2024届全国统一招生考试仿真模拟（十一）数学试题

江苏省淮安市盱眙中学2024届全国统一招生考试仿真模拟（十一）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等差数列的前n项和为，且，，则()A．9 B．12 C． D．2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（）A． B．C． D．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不对4．已知复数满足：，则的共轭复数为（）A． B． C． D．5．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（）A． B． C． D．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）A．2 B．5 C． D．7．设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知集合，则（）A． B． C． D．9．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为()A． B． C． D．10．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（）A．－2 B．－4 C．3 D．－311．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（）A． B． C． D．12．在直角中，，，，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.14．函数的定义域为__________．15．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为．16．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分别是AB，A1C的中点.（1）求证：直线MN⊥平面ACB1；（2）求点C1到平面B1MC的距离.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标.19．（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道B类题，参赛者需从10道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.（1）求甲同学至少抽到2道B类题的概率；（2）若甲同学答对每道A类题的概率都是，答对每道B类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.现已知甲同学恰好抽中2道A类题和1道B类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.20．（12分）在中，内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.（1）求证：平面.（2）判断与平面的位置关系，并证明.22．（10分）已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【题目详解】设公差为d，则解得，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.2、C【解题分析】

根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．【题目详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，又由在上单调递增，则有，故选C.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．3、A【解题分析】

首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【题目详解】不超过的素数有，，，，，，，，共个，从这个素数中任选个，有种可能；其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于的概率．故选：.【题目点拨】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.4、B【解题分析】

转化，为，利用复数的除法化简，即得解【题目详解】复数满足：所以故选：B【题目点拨】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5、C【解题分析】

由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．【题目详解】解：，，且，，化为：．，解得．．故选：．【题目点拨】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6、D【解题分析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.【题目详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.【题目点拨】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.7、A【解题分析】

依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【题目详解】解：依题意可得如下图象，所以则所以所以所以，即故选：A【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.8、A【解题分析】

考虑既属于又属于的集合，即得.【题目详解】.故选：【题目点拨】本题考查集合的交运算，属于基础题.9、D【解题分析】

根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【题目详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【题目点拨】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.10、D【解题分析】

设，，设：，联立方程得到，计算得到答案.【题目详解】设，，故.易知直线斜率不为，设：，联立方程，得到，故，故.故选：.【题目点拨】本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键.11、C【解题分析】

根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.【题目详解】不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.故选：C【题目点拨】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12、C【解题分析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【题目详解】在直角中，，，，，

，

若，则故选C.【题目点拨】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由在上恒成立可求解．【题目详解】，令，∵，∴，又，，从而，令，问题等价于在时恒成立，∴，解得．故答案为：．【题目点拨】本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．14、【解题分析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【题目详解】解:要使函数有意义,则,即.则定义域为:.故答案为:【题目点拨】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.15、【解题分析】试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.16、2【解题分析】

根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.【题目详解】据题设分析知，，所以，得，所以双曲线的离心率.【题目点拨】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析.（2）【解题分析】

（1）连接AC1，BC1，结合中位线定理可证MN∥BC1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求证直线MN⊥平面ACB1；（2）作交于点，通过等体积法，设C1到平面B1CM的距离为h，则有，结合几何关系即可求解【题目详解】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点；∵M是AB的中点.所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1；又MN∥BC1∴AC⊥MN，∵CB＝C1C＝1，∴四边形BB1C1C正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，而AC∩B1C＝C，且AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，∴MN⊥平面ACB1，（2）作交于点，设C1到平面B1CM的距离为h，因为MP，所以•MP，因为CM，B1C；B1M，所以所以：CM•B1M.因为，所以，解得所以点，到平面的距离为【题目点拨】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题18、（1）；（2）最小值为，此时【解题分析】

（1）消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）设出的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得的最小值及此时点的坐标.【题目详解】（1）消去得，曲线的普通方程是：；把，代入得，曲线的直角坐标方程是（2）设，的最小值就是点到直线的最小距离.设在时，，是最小值，此时，所以，所求最小值为，此时【题目点拨】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.19、（1）；（2）分布列见解析，期望为．【解题分析】

（1）甲同学至少抽到2道B类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可求得概率；（2）的所有可能值分别为，依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．【题目详解】（1）令“甲同学至少抽到2道B类题”为事件，则抽到2道类题有种取法，抽到3道类题有种取法，∴；（2）的所有可能值分别为，，，，，∴的分布列为：0123【题目点拨】本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式．20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.【题目详解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由题意知，又，，又周长的取值范围是【题目点拨】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.21、（1）见解析（2）平面.见解析【解题分析】

（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.【题目详解】（1），为边的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，，在内，，为所在边的中点，，又，，平面.（2）判断可知，平面，证明如下：连接交于点，连接.、、分别为边、、的中点，.又是的重心，，，平面，平面，平面.【题目点拨】本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键