2024届陕西省延安一中高三下学期联合数学试题

2024届陕西省延安一中高三下学期联合数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）A．24 B．36 C．48 D．642．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．3．已知复数，则（）A． B． C． D．24．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．5．设是等差数列的前n项和，且，则()A． B． C．1 D．26．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）A． B． C． D．7．复数（）A． B． C．0 D．8．的展开式中，项的系数为（）A．－23 B．17 C．20 D．639．中，，为的中点，，，则（）A． B． C． D．210．以下关于的命题，正确的是A．函数在区间上单调递增B．直线需是函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象11．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A． B．2 C． D．12．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.14．点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．15．若，则________，________.16．已知等差数列的各项均为正数，，且，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标.18．（12分）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，证明：.19．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范围；（2）当时，有两个零点，证明：.(参考数据：)20．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.22．（10分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【题目详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【题目点拨】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.2、C【解题分析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【题目详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【题目点拨】本题考查程序框图，是基础题．3、C【解题分析】

根据复数模的性质即可求解.【题目详解】,,故选：C【题目点拨】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.4、A【解题分析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【题目详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A【题目点拨】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5、C【解题分析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值.【题目详解】由于等差数列满足，所以，，.故选：C【题目点拨】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.6、C【解题分析】

判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．【题目详解】如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，设，则，，∴,．故选：C．【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．7、C【解题分析】略8、B【解题分析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.【题目详解】的展开式的通项公式为.则①出，则出，该项为：；②出，则出，该项为：；③出，则出，该项为：；综上所述：合并后的项的系数为17.故选：B【题目点拨】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.9、D【解题分析】

在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得.【题目详解】在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故选：D【题目点拨】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.10、D【解题分析】

利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.【题目详解】A选项，函数先增后减，错误B选项，不是函数对称轴，错误C选项，，不是对称中心，错误D选项，图象向左平移需个单位得到，正确故答案选D【题目点拨】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.11、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为求得值．【题目详解】解：在复平面内所对应的点在虚轴上，，即．故选D．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12、B【解题分析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【题目详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【题目点拨】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据递推公式，以及之间的关系，即可容易求得，再根据数列的单调性，求得其最大值，则参数的范围可求.【题目详解】当时，，解得.所以.因为，则，两式相减，可得，即，则.两式相减，可得.所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以，则.令，则.当时，，数列单调递减，而，，，故，即实数的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查由递推公式求数列的通项公式，涉及数列单调性的判断，属综合困难题.14、【解题分析】如图，是切点，是的中点，因为，所以，又，所以，，又，根据双曲线的定义，有，即，两边平方并化简得，所以，因此.15、【解题分析】

根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【题目详解】，故.故答案为：；.【题目点拨】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.16、【解题分析】

设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【题目详解】设公差为，因为，所以，所以，所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最小值为，此时【解题分析】

（1）消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）设出的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得的最小值及此时点的坐标.【题目详解】（1）消去得，曲线的普通方程是：；把，代入得，曲线的直角坐标方程是（2）设，的最小值就是点到直线的最小距离.设在时，，是最小值，此时，所以，所求最小值为，此时【题目点拨】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.18、(1)(2)见证明【解题分析】

（1）利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；（2）利用绝对值不等式的性质进行证明.【题目详解】（1）解：当时，不等式可化为.当时，，，所以；当时，，.所以不等式的解集是.（2）证明：由，，得，，，又，所以，即.【题目点拨】本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）求出函数的定义域为，，分和两种情况讨论，分析函数的单调性，求出函数的最大值，即可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；（2）利用导数分析出函数在上递增，在上递减，可得出，由，构造函数，证明出，进而得出，再由函数在区间上的单调性可证得结论.【题目详解】（1）函数的定义域为，且.当时，对任意的，，此时函数在上为增函数，函数为最大值；当时，令，得.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，解得.综上所述，实数的取值范围是；（2）当时，，定义域为，，当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.由于函数有两个零点、且，，，构造函数，其中，，令，，当时，，所以，函数在区间上单调递减，则，则.所以，函数在区间上单调递减，，，即，即，，且，而函数在上为减函数，所以，，因此，.【题目点拨】本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.20、（1）见解析，有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）【解题分析】

（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求.【题目详解】（1）由题意可得：城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则，所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）在城镇居民140人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有40人.采取分层抽样抽取7人，则其中经常阅读的有5人，记为、、、、；不经常阅读的有2人，记为、.从这7人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，所求概率为.【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，属于中档题.21