《第1章 图形的相似》单元测试卷2021-2022学年青岛版九年级上册数学

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章图形的相似》

单元测试卷

一.选择题

1.下列各组图形中一定是相似形的是（）

A.两个直角三角形B.两个等边三角形

C.两个菱形D.两个矩形

2.如图，ZVIBC中，点。、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED-

△ABC的是（）

AE_ADAD_DE

B.Z1-ZCAB=ACAB"BC

3.如图，。为△ABC边BC上一点，要使△ABOS^CBA,应该具备下列条件中的（）

AAC=ABAB_BCrAB=BD_CB

RD.---------------------D-CD

,CDCDCDAD,CBABAC

4.下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（）

A.三角形B.平行四边形C.抛物线D.圆

5.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm,6c7〃和10c”

另一个三角形的最短边长为2.5a”，则它的最长边为（）

A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

6.如图，在△ABC中，CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线，则卷包里=（）

^ABCF

A

7.下面四组图形中，必是相似三角形的为（）

A.两个直角三角形

B.两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形

C.有一个角为40°的两个等腰三角形

D.有一个角为100°的两个等腰三角形

8.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）

A.2：1B.4：1C.衣：1D.1：72

9.如图，正方形A8C。中，48=12,点E在边8c上，BE=EC,将沿。E对折至

△DFE,延长E尸交边AB于点G,连接OG,BF,给出以下结论：①△D4G四△OBG；

②BG=2AG；③BP〃。民④其中所有正确结论的个数是（）

5

10.如图，在正方形ABC。中，△8PC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交A。于点E、

F,连接B。、DP,80与C尸相交于点”，给出下列结论：

®BE=2AE；

②△DFPsgPH；

③△PFDSNDB；

@DP2=PH'PC.

其中正确的个数是（）

B

11.在长8cm,宽6a〃的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下

的矩形面积是cm2.

12.在如图所示的相似四边形中，未知边x=.

77s83'£

13.如图RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点P为BC上任意一点，连接PA,

以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值为.

14.若AABCsADEF,相似比为3：2,则对应高的比为.

15.如图，在RtzXACB中，N4BC=90°,。为BC边的中点，BE_LAD于点E,交AC于

F,若A2=4,BC=6,则线段EF的长为.

16.在aABC中，AB=5,AC=4,BC=3,。是边AB上的一点，E是边AC上的一点（£）,

E均与端点不重合），如果△CCE与△ABC相似，那么CE=

17.如图，AABC,AB=12,AC=15,。为A8上一点，且AO=]AB,在AC上取一点E,

使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于

18.如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=\2,点M在边AB上，AM=3,过点M作

直线MN与边AC交于点N,使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长

为.

19.在平面直角坐标系中，正方形ABC。的位置如图所示，点4的坐标为（1,0）,点。

的坐标为（0,2）.延长CB交x轴于点A1,作正方形AdiGC,延长CIBI交x轴于点

A2，作正方形A282c2G…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积

20.如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸

四边形的相似对角线，在凸四边形ABC。中，48=AC=J§,AO=Cg|,点E、点产

分别是边AD,边BC上的中点.如果AC是凸四边形的相似对角线，那么EF的

长等于.

三.解答题

21.小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1,图2是晒衣架的侧面示意图，立杆A3、

C。相交于点。，B、。两点在地面上，经测量得到AB=CO=136cm,OA=OC=51cm,

OE=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EE=32c7〃，垂挂

在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？

22.如图，四边形ABCOs四边形A'B‘CD',求边x、y的长度和角a的大小.

6%^°

AyBg-

23.如图，矩形ABDE中，AB=3cm,BD=7cm,点、C在边ED上,且EC=lcm,点尸在

边8。上移动，当以P,C,。为顶点的三角形与aABP相似时，求的长.

AE

24.已知：如图，点C,。在线段A8上，是等边三角形，且AC=1,CD=2,DB

=4.求证：XACPsXPDB.

25.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段OA的

端点在格点上，且OA=L请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,

保留连线的痕迹，不要求说明理由.

（1）作△OAB,使线段。8=2g，线段

（2）C为线段OB的中点，画△OCDs/vlOB.

（3）选择适当的格点E,作NBAE=45°.

26.我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似

图形.比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们

为相似图形.

现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形.请

指出其中哪儿对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.

27.已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=a.

（1）如图1,a=60°,探究线段4。与的数量关系，并加以证明；

（2）如图2,a=120°,探究线段4。与08的数量关系，并说明理由；

（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与0B的数量关系为

（直接写出答案）

图1图2郅

参考答案与试题解析

选择题

1.解：：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，

•••两个等边三角形一定是相似形，

又；直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例,

...两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，

故选：B.

2.解：/A=/A,

A、若添加N2=NB,可利用两角法判定△AEQsaABC,故本选项错误;

B、若添加N1=NC,可利用两角法判定△AEDS/VIBC,故本选项错误；

C、若添加绊=丝，可利用两边及其夹角法判定△AEDSAABC,故本选项错误;

ABAC

D、若添加丝=空，不能判定△AEDSAABC,故本选项正确；

ABBC

故选：D.

解：当罢

3.

BC

又,：NB=/B,

，/\ABD^/\CBA.

故选：C.

4.解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意;

8、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；

C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；

。、两个圆一定相似，故此选项符合题意；

故选：D.

5.解：设另一个三角形的最长边长为xa”，

根据题意，得:2:5

510

解得：x=5,

即另一个三角形的最长边长为551,

故选：D.

6.解：BE分别是AABC的边A8,AC上中线，

是A8的中点，E是AC的中点，

...QE是△ABC的中位线，

：.DE//BC,DE^—BC,

2

:ADEFs^CBF,

.SADEF_.DE1

^ABCFBC4

故选：D.

7.解：两个直角三角形不一定相似；

因为只有一个直角相等，

.♦.A不一定相似；

两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似;

因为这个对应角不一定是夹角；

:.B不一定相似；

有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似：

因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，

，C不一定相似；

有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；

因为100°的角只能是顶角，

所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，

一定相似；

故选：D.

8.解：根据矩形相似，对应边的比相等得到：塔•总，

ABBC

a

即：24

ba

2

则庐=且—

2

”=&:1

矩形的长边与短边的比是加：1.

9.解：如图，由折叠可知，DF=DC=DA,NDFE=NC=90°,

：.ZDFG=ZA=90°,

在RtAADG和RtAFDG中，

[AD=DF

1DG=DG'

/.RtAADG^RtAFDG(HL),故①正确；

•••正方形边长是12,

：.BE=EC=EF=6,

设AG=FG=x,则EG=x+6,BG=\2-x,

由勾股定理得：EG2=BE1+BG2,

即：(x+6)2—62+(12-x)2,

解得：x=4

.•.AG=GF=4,BG=8,BG=2AG,故②正确，

'：EF=EC=EB,

：.NEFB=NEBF,

,：ZDEC=NDEF,ZCEF=NEFB+NEBF,

:./DEC=NEBF,

J.BF//DE,故③正确；

SCGBE=4X6X8=24,SMEF=M^GBE=2X24=乌，故④正确.

ZDb1U0

综上可知正确的结论的是4个.

故选：D.

10.解：,・•四边形ABC。是正方形，

AZA=ZCBA=90°,

•••△8CP是等边三角形，

:・NPBC=NPCB=NBPC=60°,

AZABE=30°,

：.BE=2AE,故①正确，

♦:AD〃BC,

：.ZDFP=ZBCP=ZBPH=60°,

NPHB=NPCB+NCBH=600+45°=105°,

又♦:CD=CP,/PCD=3。。,

：.ZCPD=ZCDP=15°,

；・NDPF=105°,

NPHB=NDPF,

：・/\DFPSABPH,故②正确，

VZDPB=600+75°=135°W/DPF,

・・・丛PFD与APDB不相似，故③错误，

VZPDH=ZPDC-ZCDH=15°-45°=30°,

・・・ZPDH=/PCD,

,:/DPH=/CPD,

:.NDHs/xPCD,

.PD=PH

•，PC-PD，

:・PN=PH・PC,故④正确，

故选：c.

B

\

CD

二.填空题

11.解：设宽为尤，

・・•留下的矩形与原矩形相似，

・8-x_6

••~―,

68

解得X=g.

截去的矩形的面积为品6=215?2,

二留下的矩形的面积为48-21=27C〃?2,

故答案为：27.

12.解：根据题意得：率=*

1218

解得x=27.

故答案为：27.

13.解：-：ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

二BC=VAC2+AB2=5,

四边形APCQ是平行四边形，

：.PO=QO,CO=AO,

・；PQ最短也就是尸0最短，

二过。作BC的垂线OP,

VZACB^ZP'CO,ZCP'O=/CAB=90°,

:.△CABsACP，O,

•.C•OO—P',

BCAB

.2OP'

••一,

53

：.OP',

5

/.则PQ的最小值为20P'=孕，

方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，求得0P',而其他部

分的步骤共用.

故答案为：孕.

5

14.解：,:XABCSXDEF,相似比为3：2,

.•.对应高的比为：3：2.

故答案为：3：2

15.解：过点。作。G〃BF交AC于点G,如右图所示,

:•。为BC边的中点，BC=6,

：.BD=3,

.在RtZ\ACB中，ZABC=90°,AB=4,

AAD=VAB2+BD2=5>

于点E,交AC于F,

口AB.BD12

・.・BRE=--------=—,

AD5

19

・.,A8=4,BE=—ZAEB=90°,

5f

设。G=x,则B尸=2x,EF=2x--,

5

♦：EF〃DG,

・・・AAEF^AADG,

•AE

一AD

16

5一12

即5

5

解得,x=瑞,

19QQ

：.EF=2x--=2X^--_12=96

517T-85

故答案为：黑.

85

16.解：'：AB=5,AC=4,BC=3,

：.AC2+BC2=AB2,

.♦.△ABC为直角三角形，NACB=90°,

当△ABCs/xCDE,如图1,则NCEZ)=/4CB=90°,ZDCE^ZA,

.•.△AOC为等腰三角形，

：.CE=AE,

：.CE=^AC=2；

当AABCSADCE,如图2,则/CE£>=NACB=90°,NDCE=NB,

而NBC£>+NQCE=90°,

AZB+ZBCD=90°,

：.CD±AB,

.i、_BC,AC_12

•.C-1J，

AB5

,:△ABCSMCE,

19

：.AB：CD=BC：CE,即5：—=3：CE,

5

：.CE=~

25

当AABCSACED,如图3,ZCDE=ZACB=90°,NDCE=NA,

:・DC=DA,

,.・NA+N8=90°,NDCE+NBCD=90°,

：.ZB+ZBCD=90°,

:.DB=DC,

1R

・,.CD=DA=DB=±AB=?,

22

・.・XABCsMCED,

5

：.CE：AB=CDzAC,BPCE：5=—：4,

2

CE=—

综上所述，CE的长为2,孕，坐.

825

故答案为2,孕，架.

825

图2

图1

17.解：VAABC^AADE,

•AD=AEnvAD=AE

♦•而一而而一而

2

'：AD=—AB,A8=12,

3

：.AD=8,

；AC=15,

•8_皿或8AE

"1215-1512

解得：AE=10或6.4.

故答案为10或6.4

18.解：•.•△4WN和△ABC相似,

.•.①如图1,AAMNSAABC,

.AM_MN

••而一而‘

；AM=3,8c=12,AB=9,

•.M•N—3,

129

解得MN=4.

②如图2,/\AMN^/\ACB,

•AMMN

**AC-BC'

；AM=3,AC=6,BC=12,

.•理/，MN=6,

126

综上所述，MN为4或6.

故答案为：4或6.

19.解：：正方形A8CO的点4的坐标为（1,0）,点。的坐标为（0,2）,

：.OA=l,OD=2,AD=yR,斑」，

V0D2

延长C8交x轴于点4，作正方形45[C]C,

・・・/XA418s△D4O,

♦・------=—f

AB2

•：AD=AB=^,

.\A\B=

.•.第1个正方形的面积为：S|=A1C2=（V5+^V5）2=5,弓）2

22

同理可得，A2C-（175+1X-|V5）

4

第2个正方形的面积为：S2=5-（-1）

.•.第2020个正方形的面积为：$2020=5•（口•）4038.

故答案为：5-（-|）4038.

20.解：如图所示：

9

：AB=ACfAD=CD,AABC^ADAC,

2

：.AC=BC-AD9

,**AC=^3，AD=-^t

:.CB=2,

,:XABCs3AC,

：.ZACB=ZCADf

J.CB//AD,

VAB=AC,F为BC中点,

：.AF_LCBfBF=CF=\,

・・・NAFC=90°,

U

：CB//AD9

：.ZFAE=ZAFC=90°,

,:AC={^,

Q

・・・4。=5，E为A。中点,

：.AE=—,

4

,，,EF=VAF?+AE'J（加产+号）2=邛1.

故答案为：叵.

4

A

E

三.解答题

21.解：・・・A8、CD相交于点。,

・・・ZAOC=ZBOD

t：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=—(180°-NBOD),

2

同理可证：ZOBD=ZODB=—(180°-ZBOD),

2

:・NOAC=NOBD,

J.AC//BD,

在RtZ\OEN中，CW=JOE2_EN2=3O(an),

过点A作AMLB。于点M,

同理可证：EF//BD,

：.NABM=NOEN,则RtAOE^RtAABM,

3QX136

•OE=ONAM==120(cm),

34

所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上.

22.解：•.•四边形A8C£>s四边形4‘B'CD',

.•.三--3/C=a,/D=/D'=140。.

8116

22

：.x=ny=—,a=ZC=360°-ZA-ZB-ZD=360°-62°-75°-140°

9.2

83°.

23.解：,・,四边形48OE为矩形，AB=3cmfBD=lcm,EC=\,

:・DC=DE-CE=BA-CE=2cm,BD=AE=lcm,

设DP=xcm,则BP=(7-x)cm.

VZB=ZD=90°,

・••存在两种情况.

①当时，更=坦，

②当时，—.

DCBP

整理，得：?-7x+6=0,

解得：司=1,%2=6.

...当以P,C,。为顶点的三角形与△ABP相似时，的长为毕的或1的或6c〃?.